| 1 |
Décomposition de Dunford (version non algorithmique) |
Tout endomorphisme $f$ s'écrit, sous réserve que $\chi_f$ soit scindé dans $K$, sous la forme $f = d + n$ où $d$ est un endomorphisme diagonalisable et $n$ un endomorphisme nilpotent.\r\rIl existe une démonstration algorithmique de cette décomposition. |
2026-07-23T12:42:15.763441 |
2026-07-23T12:42:15.763445 |
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| 2 |
Surjectivité de l'exponentielle matricielle |
L'application $\exp : M_n(\mathbb{C}) \to GL_n(\mathbb{C})$ est surjective. |
2026-07-23T12:42:15.763462 |
2026-07-23T12:42:15.763462 |
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| 3 |
Théorème de Von Neumann des sous-variétés |
Soit $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $G$ un sous-groupe fermé de $GL_n(K)$. Alors $G$ est une sous-variété de $M_n(K)$. |
2026-07-23T12:42:15.763478 |
2026-07-23T12:42:15.763478 |
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| 4 |
Équation de la chaleur sur le cercle |
On résoud l'EDP suivante :\r\r$$ \partial_t u - \Delta_x u = 0 $$\r\rsur le cercle $\mathbb{U} = \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. |
2026-07-23T12:42:15.763496 |
2026-07-23T12:42:15.763496 |
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| 5 |
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques) |
La loi de réciprocité quadratique stipule que \r\r$$ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{ \frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} } $$\r\roù $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs.\r\rCe développement propose une démonstration utilisant classification des formes quadratiques sur un corps finis. |
2026-07-23T12:42:15.763521 |
2026-07-23T12:42:15.763521 |
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| 6 |
Loi de réciprocité quadratique (par le résultant) |
La loi de réciprocité quadratique stipule que \r\r$$ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{ \frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} } $$\r\roù $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs.\r\rCe développement propose une démonstration utilisant les propriétés du résultant. |
2026-07-23T12:42:15.763544 |
2026-07-23T12:42:15.763544 |
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| 7 |
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss) |
Un entier est somme de deux carrés si et seulement si la $p$-valuation de chacun des facteurs premiers $p$ congru à $3$ modulo $4$ est paire.\r\r\rCela revient à donner une condition nécessaire sur l'existence d'une solution à l'équation diophantienne \r\r$$ n = x^2+ y^2$$ |
2026-07-23T12:42:15.763563 |
2026-07-23T12:42:15.763564 |
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| 8 |
Lemme de Morse |
Soit $f : U \to \mathbb{R}$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ de classe $C^3$ telle que $0 \in U$, $df_0 = 0$, $d^2f_0$ soit non-dégénérée. On note $(p,n-p)$ la signature de $d^2f_0$. Alors à un $C^1$-difféomorphisme près on a\r\r$$ f(x) = f(0)+ x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{n}^2 $$ |
2026-07-23T12:42:15.763583 |
2026-07-23T12:42:15.763584 |
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| 9 |
Simplicité du groupe alterné An |
Le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est simple si $n \ge 5$. |
2026-07-23T12:42:15.763594 |
2026-07-23T12:42:15.763594 |
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| 10 |
Simplicité du groupe alterné (par les commutateurs) |
Le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est simple si $n\ge 5$. |
2026-07-23T12:42:15.763605 |
2026-07-23T12:42:15.763606 |
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| 11 |
Décomposition polaire |
Toute matrice inversible $M \in GL_n(\mathbb{R})$ se décompose de manière unique en $M=OS$ où $O \in O_n(\mathbb{R})$ et $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$.\r\rEn d'autres termes, l'application suivante est un homéomorphisme \r\r$$ \begin{array}{ccc}\rO_n(\mathbb{R}) \times S_n^{++}(\mathbb{R}) & \to & GL_n(\mathbb{R}) \\\r(O,S) & \longmapsto & OS \r\end{array}$$ |
2026-07-23T12:42:15.763635 |
2026-07-23T12:42:15.763635 |
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| 12 |
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++ |
L'application suivante est un homéomorphisme :\r\r$\begin{array}{ccc}\rS_n(\mathbb{R}) & \to & S_n^{++}(\mathbb{R}) \\\rS & \longmapsto & \exp(S) \r\end{array}$ |
2026-07-23T12:42:15.763656 |
2026-07-23T12:42:15.763656 |
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| 13 |
C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal |
L'anneau $C[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ est principal. |
2026-07-23T12:42:15.763664 |
2026-07-23T12:42:15.763665 |
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| 14 |
Théorème de Chevalley-Warning |
Ce théorème porte sur le nombre de racines communes d'un nombre fini de polynômes sur $\mathbb{F}_q^n$.\r\rÀ la limite on peut voir ce problème comme une équation diophantienne si on se restreint au cas de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. En effet résoudre $P(x) = 0 [p]$ revient à résoudre l'équation diophantienne $ P(x) = pk$ avec les variables $x$ et $k$. |
2026-07-23T12:42:15.763685 |
2026-07-23T12:42:15.763685 |
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| 15 |
Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré |
Le groupe modulaire est le groupe $PSL_2(\mathbb{Z})$. On montre que ce groupe est engendré par \r\r$$ PSL_2(\mathbb{Z}) = \left \langle \overline{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} , \overline{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} \right\rangle $$\r\roù $\overline{M}$ est la projection canonique d'une matrice $M \in SL_2(\mathbb{Z})$ dans $PSL_2(\mathbb{Z})$. |
2026-07-23T12:42:15.763719 |
2026-07-23T12:42:15.763719 |
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| 16 |
Endomorphismes semi-simples |
On dit que $u \in L(E)$ est semi-simple si tout sous-espace $F$ stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u$.\r\rOn montre que $u$ est semi-simple si et seulement le polynôme minimal de $u$ est sans facteurs carrés.\r\rCe développement se recase dans les leçons sur les extensions pour la version de Tom. |
2026-07-23T12:42:15.763736 |
2026-07-23T12:42:15.763736 |
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| 17 |
Théorème de Gauss (polygones constructibles) |
Un polygône régulier à $n$ côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si $$ n = 2^a p_1 \cdots p_r $$\roù $a \ge 1$ et les $p_i$ sont des nombres premiers de Fermat ($= 2^n +1$) distincts.\r\rPour le recasage dans la leçon sur les anneaux anneaux principaux c'est parce qu'il y a des histoires de polynômes minimaux ... |
2026-07-23T12:42:15.763757 |
2026-07-23T12:42:15.763757 |
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| 18 |
Théorème taubérien fort |
Soit $(a_n)$ une suite réelle telle que $a_n = o(1/n)$. On suppose que la série entière $\sum_{n \ge 0} a_n x^n$ soit de rayon de convergence $1$ et que sa somme $F$ vérifie $F(x) \to 0$ lorsque $x \to 1^-$. Alors la série $\sum_{n \ge 0} a_n$ est convergente. et vaut $0$.\r\rIl s'agit d'une sorte de réciproque au théorème d'Abel angulaire. |
2026-07-23T12:42:15.763781 |
2026-07-23T12:42:15.763781 |
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| 19 |
Théorème du relèvement |
Soient $\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}$, $n \ge 1$ et $u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{U}$ de classe $C^k$ avec $k \ge 2$. Alors il existe une fonction $t : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $C^k$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on ait \r\r$$ u(x) = e^{it(x)} $$ |
2026-07-23T12:42:15.763804 |
2026-07-23T12:42:15.763804 |
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| 20 |
Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement) |
Soit $(X^n_i)_{ i \ge 1, n \ge 1}$ une famille de variables aléatoires iid à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit $Z_0=1$ et $Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} X^{n+1}_i$ pour tout $n \ge 0$. On pose $m = E[X^1_1]$.\r\rOn suppose que $P(Z_1 = 1) \ot=1$, alors\r\r$$ \begin{cases}\rP(Z_n =0) \to 1 \text{ lorsque } n \to +\infty \text{ si } m \le 1 \\\r\exists c > 0 : P(Z_n > 0) \ge c, \forall n \ge 0 \text{ sinon }\r\end{cases}$$\r\r |
2026-07-23T12:42:15.763839 |
2026-07-23T12:42:15.763839 |
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| 21 |
Théorème des lacunes d'Hadamard |
Soit $(\lambda_n)_{ n \ge 0}$ une suite croissante d'entiers telle que pour tout $n \ge 0$ on ait $\lambda_{n+1}/\lambda_n \ge \alpha > 1$. \r\rSoit $f(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^{\lambda_n}$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$ qu'on dit lacunaire.\r\rAlors tout point du cercle de module $1$ est singulier pour $f$. En d'autres termes pour tout $z$ de module $1$, pour tout ouvert contenant $\{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ et $z$, il n'existe pas de prolongement analytique de $f$ à cet ouvert. |
2026-07-23T12:42:15.763872 |
2026-07-23T12:42:15.763872 |
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| 22 |
Théorème de Pfister |
Soient $K$ un corps de caractéristique $\ot=2$ et $n \ge 1$. Soient $\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in K^*$, $P \in K[X]$ et $F_1, \ldots, F_n \in K(X)$ telles que $\sum_{i=1}^n \alpha_i F_i^2 = P $. Alors il existe $P_1 , \ldots , P_n \in K[X]$ telles que \r\r$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i P_i^2 = P $$\r\rPour le recasage ça passe dans les anneaux principaux parce qu'on utilise le théorème de Bézout. |
2026-07-23T12:42:15.763900 |
2026-07-23T12:42:15.763900 |
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| 212 |
Automorphismes de Z/nZ |
Si $p \ge 3$, ... |
2026-07-23T12:42:15.767931 |
2026-07-23T12:42:15.767932 |
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| 23 |
Théorème d'Artin |
Soient $K$ un corps et $G$ un sous-groupe fini des automorphismes de $K$. On note $n$ le cardinal de $G$ et on pose $K^G = \{ x \in K : \forall g \in G, g(x) = x \}$. Alors $[K:K^G] = n$ et $\mathsf{Aut}_{K^G}(K) = G$. |
2026-07-23T12:42:15.763916 |
2026-07-23T12:42:15.763917 |
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| 24 |
Sous-groupes distingués et tables de caractères |
Soit $G$ un groupe d'ordre $n$. Soient $\chi_1, \ldots , \chi_r$ les caractères irréductibles de $G$. On note $K_\chi = \{ g \in G : \chi(g) = \chi(e) \}$ où $\chi$ est un caractère irréductible de $G$ et $e$ l'élément neutre de $G$.\r\rSoit $H$ un sous-groupe distingué de $G$. Alors il existe $I \subseteq \{ 1 , \ldots , r \}$ telle que\r\r$$ H = \bigcap_{i \in I} K_{\chi_i} $$ |
2026-07-23T12:42:15.763946 |
2026-07-23T12:42:15.763946 |
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| 25 |
Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre |
On calcule la table de $\mathfrak{S}_4$ en trouvant une représentation de dimension $3$ qu'on interprète comme l'action de $\mathfrak{S}_4$ sur les sommets d'un tétraèdre. |
2026-07-23T12:42:15.763961 |
2026-07-23T12:42:15.763962 |
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| 26 |
Algorithme de Berlekamp |
Le but de cet algorithme est de trouver un facteur non trivial d'un polynôme $P \in \mathbb{F}_q[X]$ où $q=p^n$ est une puissance d'un nombre premier. Cet algorithme utilise l'algèbre linéaire pour trouver un polynôme $V \in \mathbb{F}_q[X]$ et $a \in \mathbb{F}_q$ tels que $\mathsf{pgcd}( P, V- a) $ soit un facteur trivial de $P$.\r\rCe développement se recase dans la leçon sur les anneaux principaux car on utilise la principalité de K[X] et ses propriétés arithmétiques. |
2026-07-23T12:42:15.763987 |
2026-07-23T12:42:15.763987 |
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| 27 |
Détermination du nombre de racines distinctes d'un polynôme |
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On montre dans ce développement que l'on peut calculer le nombre de racines réelles en fonction de la signature d'une forme quadratique bien définie. |
2026-07-23T12:42:15.764003 |
2026-07-23T12:42:15.764003 |
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| 28 |
Classification des formes quadratiques sur Fq |
Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini de caractéristique différente de $2$. Soit $E$ un $\mathbb{F}_q$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $a \in \mathbb{F}_q^*$ qui ne soit pas un carré. Il y a alors deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur $E$. Leur matrice dans une base adaptée est $I_n$ ou $\mathsf{diag} ( 1 ,\ldots , 1 , a)$. |
2026-07-23T12:42:15.764024 |
2026-07-23T12:42:15.764024 |
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| 29 |
Menelaüs et Ceva |
Soit $ABC$ un triangle non applati du plan affine $\mathcal{E}$. Soient trois points $A\ B'$ et $C'$ respectivement sur les droites $(BC), (CA)$ et $(AB)$. On pose $\mathcal{D}_A = (AA')$, $\mathcal{D}_B = (BB')$ et $\mathcal{D}_C = (CC')$. \r\r\r$\bullet$ (Menelaüs) Les points $A\ B'$ et $C'$ sont alignés si et seulement si\r\r$$ \frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}} \frac{ \overline{B'C} }{\overline{B'A}} \frac{ \overline{C'A}}{\overline{C'B}} = 1 $$\r\r$\bullet$ (Ceva) Les droites $\mathcal{D}_A$, $\mathcal{D}_B$ et $\mathcal{D}_C$ sont alignées si et seulement si\r\r$$ \frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}} \frac{ \overline{B'C} }{\overline{B'A}} \frac{ \overline{C'A}}{\overline{C'B}} = -1 $$ |
2026-07-23T12:42:15.764084 |
2026-07-23T12:42:15.764084 |
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| 30 |
Par cinq points passe une conique |
Par cinq points distincts d'un plan affine passe une conique. On précise l'unicité et la dégénérescence de cette conique en fonction des positions de ces points. |
2026-07-23T12:42:15.764096 |
2026-07-23T12:42:15.764096 |
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| 31 |
Invariants de similitude (réduction de Frobenius) |
Soit $u \in L(E)$ et $E$ un espace vectoriel de dimension finie. La réduction de Frobenius consiste à montrer qu'il existe des sous-espaces $F_i$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r F_i$, les $F_i$ soient stables par $u$, $u_{F_i}$ soit cyclique et $P_i$ soit le polynôme minimal de $u_{F_i}$ de sorte que $P_r | \cdots | P_1 = \mu_u$. |
2026-07-23T12:42:15.764115 |
2026-07-23T12:42:15.764115 |
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| 32 |
Ellipse de Steiner |
On identifie le plan affine euclidien à $\mathbb{C}$. Soient $a,b,c \in \mathbb{C}$ trois points non alignés. Alors il existe une unique ellipse tangente aux côtés du triangle $abc$ en leurs milieux. De plus les foyers de cette ellipse sont les racines du polynôme dérivée de $(X-a)(X-b)(X-c)$. |
2026-07-23T12:42:15.764132 |
2026-07-23T12:42:15.764133 |
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| 33 |
SO₃(R) et les quaternions |
Soit $H$ le corps non commutatif des quaternions. Soit $G$ le groupe des quaternions de module $1$ : $G = \{ a + bi +cj + dk \in H : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \}$. \r\rOn montre qu'il existe un isomorphisme entre $G / \{ 1 , -1 \}$ et $SO_3(\mathbb{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.764150 |
2026-07-23T12:42:15.764150 |
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| 34 |
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R) |
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL(E)$. Soit $K$ un compact convexe non vide tel que $\forall u \in G, u(K) \subseteq K$. \r\rAlors il existe $x \in K $ tel que $u(x) = x$ pour tout $u \in G$. |
2026-07-23T12:42:15.764169 |
2026-07-23T12:42:15.764169 |
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| 35 |
Méthode du gradient conjugué |
Le but de cette méthode est de trouver une solution à l'équation $Ax = b$.\r\rOn se place dans le cas où $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}^n$. On définit $r_0 = b- Ax_0$ et les sous-espaces vectoriels $K_m = \mathsf{Vect} ( r_0 , \ldots , A^m r_0 )$. Il existe une unique suite $(x_m)$ définie par récurrence de sorte que $x_m \in x_0 + K_{m-1}$, $r_m = b - A x_m\bot K_{m-1}$ et $r_m \in K_m$ et cette suite stationne vers l'unique solution de $Ax = b$ après au plus $n$ itérations. |
2026-07-23T12:42:15.764198 |
2026-07-23T12:42:15.764198 |
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| 36 |
Chemin optique et calcul des variations |
Soient $A,B \in \mathbb{R}^2$ et $E = \{ u \in C^1 ( [0,1], \mathbb{R}^2 ) , u(0) = A, u(1) = B \}$. Soit $n : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+^*$ de classe $C^2$. On munit $\mathbb{R}^2$ du produit scalaire usuel.\r\rSi $u \in E$, on pose $F(u) = \int_{[0,1]} n(u) ||u''||^2 $ et on suppose qu'il existe $u_0 \in E$ tel que $F(x_0) = \min_E F$. Alors $u_0$ est $C^2$ et vérifie $2 n(u_0) u_0'' - ||u_0'||^2 \nabla n(y) + 2 \langle \nabla n(u_0) , u_0' \rangle u_0' = 0$. |
2026-07-23T12:42:15.764234 |
2026-07-23T12:42:15.764234 |
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| 37 |
Points de Lebesgue d'une fonction L1 |
Soit $f \in L^1(\mathbb{R}^k)$. Alors, pour presque tout $x \in \mathbb{R}^k$, \r\r$$ \lim_{r \to 0} \frac{1}{\lambda( B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y) - f(x)| dy = 0 $$ |
2026-07-23T12:42:15.764251 |
2026-07-23T12:42:15.764251 |
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| 38 |
Théorème de Müntz |
On munite $C( [0,1], \mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $(a_n)$ une suite stictement croissante de $\mathbb{R}_+^*$. \r\rAlors la famille $(x^{a_k})_{k \ge 0}$ est une base hilbertienne de $C( [0,1], \mathbb{R})$ si et seulement si la série $\sum_{k \ge 0} \frac{1}{a_k}$ est divergente. |
2026-07-23T12:42:15.764271 |
2026-07-23T12:42:15.764272 |
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| 39 |
Simplicité de SOn(R) |
Le groupe $SO_n(\mathbb{R})$ est simple pour $n \ge 3$ impair. |
2026-07-23T12:42:15.764281 |
2026-07-23T12:42:15.764281 |
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| 40 |
Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal) |
Soit $G$ un groupe fini et $p$ premier tel que $|G| = p^a m$ avec $a$ un entier non nul et $m$ premier à $p$. On note $n_p$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors $n_p$ est non nul et divise $m$. De plus $n_p = 1 [p]$ et tous les $p$-Sylow sont conjugés.\r\rCe développement présente une démonstration de ce théorème à l'aide du principe de récurrence. Il existe une autre démonstration utilisant des actions de groupes. |
2026-07-23T12:42:15.764302 |
2026-07-23T12:42:15.764302 |
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| 41 |
Enveloppe convexe de On(R) |
L'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ est la boule unité fermée de $M_n(\mathbb{R})$ pour la norme $||.||_2$. |
2026-07-23T12:42:15.764314 |
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| 42 |
Optimisation dans un Hilbert |
Soient $H$ un espace de Hilbert et $J : H \to \mathbb{R}$ convexe, continue et coercive (c'est-à-dire $J(x) \to +\infty$ lorsque $||x|| \to +\infty$). Alors il existe $a \in H$ tel que $J(a) = \inf_H J$. |
2026-07-23T12:42:15.764330 |
2026-07-23T12:42:15.764330 |
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| 365 |
Groupes de pavages directs du plan |
On montre qu'il n'y a que $5$ pavages directs possibles du plan. |
2026-07-23T12:42:15.770653 |
2026-07-23T12:42:15.770653 |
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| 43 |
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme) |
Tout ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$ et distinct de $\mathbb{C}$ est biholomorphe au disque unité ouvert. |
2026-07-23T12:42:15.764343 |
2026-07-23T12:42:15.764343 |
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| 44 |
Formule des compléments |
Pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $0 < \mathsf{Re}(z) < 1$, alors \r\r$$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)} $$\r\roù $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ est la fonction $\Gamma$ d'Euler définie pour $\mathsf{Re}(z) > 0$. |
2026-07-23T12:42:15.764366 |
2026-07-23T12:42:15.764366 |
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| 45 |
Chemin au dessus d'une courbe concave |
Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ et concave. Soit $\gamma$ un chemin dans $\mathbb{R}^2$ de classe $C^1$ situé au dessus du graphe de $f$ et joignant ses extrémités. Alors \r\r$$ l(\gamma) \ge l(\Gamma_f)$$\r\roù $\Gamma_f : x \to (x,f(x))$ pour $x \in [0,1]$ et $l(\Gamma)$ est la longueur d'un arc $\Gamma$. |
2026-07-23T12:42:15.764390 |
2026-07-23T12:42:15.764390 |
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| 46 |
Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert) |
Soient $K$ un corps algébriquement clos et $I$ un idéal de $K[X_1 , \ldots , X_n]$ vérifiant $V(I) = \{ x \in K : P(x) = 0 \forall P \in P \} = \emptyset$. Alors $I = K[X_1, \ldots , X_n]$.\r\rCe développement se recase dans la leçon sur les anneaux principaux car on utilise à plusieurs reprises la principalité de $K[X]$ (pas uniquement dans l'initialisation de la récurrence). |
2026-07-23T12:42:15.764415 |
2026-07-23T12:42:15.764416 |
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| 47 |
Théorème de Lüroth |
Soit $K/k$ une extension transcendante pure telle que $\mathsf{deg tr}_k( K) = 1$. Soit $L$ un sous-corps de $K$ contenant strictement $k$. Alors $L$ est une extension transcendante pure telle que $\mathsf{degtr}_k (L) = 1$.\r\rCe théorème a comme conséquence une CNS pour une courbe algébrique plane (irréductible) soit paramétrable par des fractions rationnelles (cf pp 8-9 du tome 1 de Shafarevich). |
2026-07-23T12:42:15.764435 |
2026-07-23T12:42:15.764435 |
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| 48 |
Théorème de Brauer |
Soient $K$ un corps et $n$ un entier. On note $P_\sigma$ la matrice associée à la permutation $\sigma$ de $\mathfrak{S}_n$. Soient $\sigma$ et $\sigma' \in \mathfrak{S}_n$. Alors $\sigma $ et $\sigma'$ sont conjugués si et seulement si $P_\sigma$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables dans $M_n(K)$. |
2026-07-23T12:42:15.764457 |
2026-07-23T12:42:15.764458 |
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| 49 |
Les automorphismes isométriques des l(p) |
Soit $p \in [1 , +\infty [$ avec $p \ot=2$. Pour toute bijection $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ et pour toute suite $\epsilon : \mathbb{N} \to \{ 1 , - 1 \}$ on définit la fonction $T_{\varphi, \epsilon } : l^p \to l^p$ définie par\r\r$$ T_{\varphi , \epsilon } (u_n) = ( \epsilon_n u_{\varphi(n)} ) $$\r\rAlors les automorphismes isométriques de $l^p$ sont exactement les $T_{\varphi, \epsilon}$ pour les bijections $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ et les suites $\epsilon : \mathbb \to \{ 1 , -1 \}$. |
2026-07-23T12:42:15.764495 |
2026-07-23T12:42:15.764495 |
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| 50 |
Étude qualitative de x' = x^2 - t |
On considère l'équation différentielle $x' = x^2 - t$. Soit $t_0 , x_0 \in \mathbb{R}$. On note $\varphi_{(t_0, x_0)}$ l'unique solution maximale de $(E)$ vérifiant $\varphi_{(t_0,x_0)}(t_0) = x_0$. Alors il existe un unique $\gamma \in [0,1]$ tel que \r\r$$ \varphi_{(0,\gamma)}(t) = \sqrt{t} + O(1/\sqrt{t}) $$ |
2026-07-23T12:42:15.764519 |
2026-07-23T12:42:15.764519 |
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| 51 |
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente |
Soient $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel. On munit $L_C(E,F)$ de la norme subordonnée $|||f||| = \sup_{ ||x||_E = 1} ||f(x)||_F$. Soit $H \subseteq L_C(E,F)$. Alors ou bien $H$ est bornée (c'est-à-dire qu'il existe $M >0$ telle que $\forall f \in H, |||f||| < M$ ) ou bien il existe $\Omega$ un $G_\delta$ dense de $E$ tel que $\forall x \in \Omega$, $\sup_{ f \in H} || f(x)||_F = +\infty$.\r\rOn utilise ce résultat pour obtenir un exemple de série de Fourier divergente. |
2026-07-23T12:42:15.764547 |
2026-07-23T12:42:15.764548 |
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| 52 |
Densité des fonctions tests dans Lp |
Soit $p \in [1, +\infty[$, alors l'espace $D( \mathbb{R}^n)$ des fonctions $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^n$ à support compact est dense dans $L^p(\mathbb{R}^n)$. |
2026-07-23T12:42:15.764562 |
2026-07-23T12:42:15.764562 |
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| 53 |
Théorème d'Hadamard Levy |
Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^2$. La fonction $f$ est un $C^1$ difféomorphisme de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ si et seulement si $f$ est propre et pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $Df_x$ est inversible. |
2026-07-23T12:42:15.764580 |
2026-07-23T12:42:15.764580 |
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| 54 |
Théorème de Sturm |
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $q_1, q_2 : I \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues telles que $q_1 \ge q_2$. Soient $\alpha < \beta$ deux zéros d'une solution non nulle de $y'' + q_2 y = 0$. Alors toute solution de $y'' + q_1 y = 0$ s'annule sur $[\alpha, \beta ]$. |
2026-07-23T12:42:15.764603 |
2026-07-23T12:42:15.764603 |
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| 55 |
Théorème de d'Alembert-Gauss |
Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.\r\rLe développement propose ici une démonstration par récurrence. |
2026-07-23T12:42:15.764615 |
2026-07-23T12:42:15.764615 |
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| 56 |
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent |
Soit $u \in L(E)$ un endomorphisme nilpotent. Il existe une base dans laquelle $u$ s'écrit\r\r$$ \begin{pmatrix}\r0 & v_1 & 0 & & & \\\r & \ddots & \ddots & \ddots & \\\r & & \ddots & \ddots & 0 \\\r & & & \ddots & v_1\\\r& & & & 0 \r\end{pmatrix}$$ |
2026-07-23T12:42:15.764643 |
2026-07-23T12:42:15.764643 |
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| 57 |
Isomorphisme entre PSU2(C) et SO₃(R) |
Le groupe $PSU_2(\mathbb{C})$ est isomorphe au groupe $SO_3(\mathbb{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.764653 |
2026-07-23T12:42:15.764653 |
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| 58 |
Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux |
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ un entier. On note $r_n$ la probabilité que deux entiers pris au hasard dans $\{ 1 ,\ldots , n \}$ soient premiers entre eux. Alors\r\r$$ r_n = \frac{1}{n^2} \sum_{d=1}^n \mu(d) E( n/d)^2 \to 6/\pi^2$$\r\roù $\mu$ est la fonction de Möbius. |
2026-07-23T12:42:15.764675 |
2026-07-23T12:42:15.764675 |
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| 59 |
Théorème de l'application ouverte |
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $T : E \to F$ une application linéaire. Elle est ouverte si et seulement si elle est ouverte en $0$. Dans ce cas, elle est surjective. \r\rRéciproquement si elle est surjective, alors elle est ouverte si on suppose de plus que $E$ et $F$ sont complets. |
2026-07-23T12:42:15.764691 |
2026-07-23T12:42:15.764692 |
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| 60 |
Théorème de Cauchy-Lipschitz local |
Soit $U$ un ouvet de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ et $f : U \to \mathbb{R}^n$ continue et localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. Soit $(t_0, x_0) \in U$, alors il existe une solution locale au problème de Cauchy $x' = f(t,x)$ avec $x(t_0) = x_0$. |
2026-07-23T12:42:15.764710 |
2026-07-23T12:42:15.764710 |
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| 61 |
Théorème fondamentale de l'étude locale des courbes |
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ contenant $0$. Soit $c : I \to \mathbb{R}_+^*$ de classe $C^1$. Soit $d : I \to \mathbb{R}$ de classe $C^0$. Soient $a \in \mathbb{R}^3$, ||v|| = 1, ||w||= 1, v orthogonal à $w$. \r\rAlors il existe une unique courbe $\gamma$ de classe $C^3$ telle que $\gamma : I \to \mathbb{R}^3$ soit birégulière paramétrée par longueur d'arc et que sa courbure soit $c$, sa torsion $d$, $\gamma(0) = a$, $\gamma'(0) = v$ et $\gamma''(0) / ||\gamma''(0)|| = w$. |
2026-07-23T12:42:15.764746 |
2026-07-23T12:42:15.764746 |
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| 62 |
Endomorphismes de Mn(C) stabilisant le groupe linéaire |
Soit $\varphi$ un endomorphisme de $M_n(\mathbb{C})$. Alors $\varphi$ conserve le rang si et seulement si \r\r$$ M \in GL_n(\mathbb{C}) \Rightarrow \varphi(M) \in GL_n(\mathbb{C}) $$ |
2026-07-23T12:42:15.764784 |
2026-07-23T12:42:15.764785 |
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| 63 |
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R)) |
$$\exp( M_n(\mathbb{C}) = GL_n(\mathbb{C}) $$\r\r$$ \exp( M_n(\mathbb{R}) = \{ M \in GL_n(\mathbb{R}) : \exists A \in GL_n(\mathbb{R}) , M = A^2 \}$$ |
2026-07-23T12:42:15.764811 |
2026-07-23T12:42:15.764811 |
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| 431 |
Complexité amortie des tableaux dynamiques |
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2026-07-23T12:42:15.771507 |
2026-07-23T12:42:15.771507 |
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| 432 |
Algorithme de Bellman-Ford |
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2026-07-23T12:42:15.771513 |
2026-07-23T12:42:15.771514 |
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| 64 |
Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne) |
Soit $I$ un intervalle de $R$ et $\rho:I \to ]0, \infty[$ une fonction mesurable. S'il existe $a$ tel que $$ \int_I e^{a|x|} \rho(x) dx < \infty$$, alors la famille de polynômes orthogonaux associée à $\rho$ forme une base hilbertienne de $L^2(I, \rho)$. |
2026-07-23T12:42:15.764840 |
2026-07-23T12:42:15.764841 |
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| 65 |
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd) |
Soit $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, on définit $\widehat{u} (y) = \mathcal{F}(u)(y) = \int_{\mathbb{R}^d} u(x) e^{-ixy} dx$ et $\overline{\mathcal{F}}(u)(x) =(2\pi)^{-d} \int_{\mathbb{R}^d} u(y) e^{ixy}dy $.\rAlors \r\r$$ \mathcal{F} \circ \overline{\mathcal{F}} = \overline{\mathcal{F}} \circ \mathcal{F} = \mathsf{id}_{\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)} $$ |
2026-07-23T12:42:15.764884 |
2026-07-23T12:42:15.764885 |
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| 66 |
Théorème de Fourier-Plancherel |
Soit $f \in L^1 \bigcap L^2$. Alors $|| \widehat{f} ||_2 = ||f||_2$ et $\mathcal{F} (L^1 \bigcap L^2) \subseteq L^2$ et de plus cette partie est dense. |
2026-07-23T12:42:15.764916 |
2026-07-23T12:42:15.764916 |
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| 67 |
Dimension du commutant |
Soit $A \in M_n(K)$. On note $C(A) = \{ M \in M_n(K) : AM = MA \}$. Alors $\mu_A = \chi_A$ si et seulement si $K[A] = C(A)$. |
2026-07-23T12:42:15.764942 |
2026-07-23T12:42:15.764942 |
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| 68 |
Galois inverse |
Soit $p$ un nombre premier. Il existe un polynôme $P \in \mathbb{Q}[X]$, irréductible sur $\mathbb{Q}$, dont on note $K$ le corps de décomposition, tel que $\mathsf{Aut}(K) \simeq \mathfrak{S}_p$. |
2026-07-23T12:42:15.764970 |
2026-07-23T12:42:15.764970 |
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| 69 |
Structure des polynômes symétriques |
L'algèbre $A[X_1 , \ldots , X_n]_{\text{sym}}$ des polynômes symétriques est engendrée par les polynômes symétriques élémentaires en $X_1 , \ldots , X_n$. |
2026-07-23T12:42:15.764995 |
2026-07-23T12:42:15.764995 |
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| 70 |
Théorème de Burnside |
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$ tel qu'il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $\forall A \in G$, $A^N = I_n$. Alors $G$ est fini. |
2026-07-23T12:42:15.765021 |
2026-07-23T12:42:15.765021 |
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| 71 |
Test de Miller-Rabin |
La probabilité d'échec du test de primalité de Miller-Rabin est inférieure à $1/4$. |
2026-07-23T12:42:15.765040 |
2026-07-23T12:42:15.765041 |
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| 72 |
Caractères linéaires continues de U |
Soit $G$ un sous-groupe infini de $\mathbb{U}$. Alors les seuls morphismes continues de $G$ dans $\mathbb{C}^*$ sont les $z \longmapsto z^k$ pour $k \in \mathbb{Z}$. |
2026-07-23T12:42:15.765067 |
2026-07-23T12:42:15.765067 |
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| 73 |
Prolongement des caractères |
Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$ tel que \r\r$$ \forall g \in G \setminus H , gHg^{-1} \bigcap H= \{1 \} $$\r\rOn définit $N = (G \setminus \bigcup_{g \in G} gHg^{-1} ) \bigcup \{1 \}$. Alors tout caractère de $H$ se prolonge en un caractère de $G$. S'il est irréductible sur $H$, son prolongement peut être choisi irréductible. |
2026-07-23T12:42:15.765110 |
2026-07-23T12:42:15.765110 |
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| 75 |
Théorème de Paley-Wiener |
Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R})$ d'ordre $N_0$ telle que $\mathsf{supp}(T) \subseteq [-r,r]$. Il existe alors $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ holomorphe telle que $F_{|\mathbb{R}} = \widehat{T}$ et pour tout $z \in \mathbb{C}$ on a\r\r$$ | F(z)| \le C ( 1 + |z|)^{N_0} e^{r |Im(z|} $$\r |
2026-07-23T12:42:15.765151 |
2026-07-23T12:42:15.765152 |
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| 76 |
Méthode de Newton-Raphson |
Soient $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^m$ et $ f : \Omega \to \mathbb{R}^m$ de classe $C^1$ telle qu'il existe $a \in \Omega$ vérifiant $f(a) = 0$. On suppose $df_a$ inversible. Il existe un voisinage $U$ de $a$ dans $\Omega$ tel que l'application $\varphi : x \longmapsto x - df_x^{-1}(f(x))$ de $U$ dans $\mathbb{R}^m$ soit bien défini et possède $a$ comme point fixe superattractif. |
2026-07-23T12:42:15.765193 |
2026-07-23T12:42:15.765193 |
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| 77 |
Construction de l'exponentielle et de Pi |
Dans ce développement on défini l'exponentielle et $\pi$ à partir de la série entière $\sum_{n \ge 0} \frac{z^n}{n!}$. |
2026-07-23T12:42:15.765219 |
2026-07-23T12:42:15.765219 |
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| 78 |
Courbe à courbure croissante et applications |
Soit $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^2$ une courbe $C^3$ paramétrée par longueur d'arc. On suppose que $\forall s \in [a,b]$ , $k(s) > 0$ et $k'(s) > 0$.\r\rSi $s_1 < s_2$ alors $D_{s_2} \subsetneq D_{s_1}$.\r\rSi $A$ est la couronne ouverte comprise entre $D_b$ et $D_a$, si $x \in A$, alors il existe un unique $C_s$ cercle osculateur à $\gamma$ en $\gamma(s)$ tel que $x \in C_s$. |
2026-07-23T12:42:15.765263 |
2026-07-23T12:42:15.765263 |
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| 79 |
Inégalité de Hoeffding |
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes centrées telles que $|X_n| \le c_n$ presque surement. Soit $S_n = \sum_{j=1}^n X_j$. Alors pour tout $\epsilon > 0$, \r\r$$ P( |S_n| > \epsilon ) \le 2 \exp \left( - \frac{\epsilon^2}{2\sum_{j=1}^n c_j^2 } \right)$$ |
2026-07-23T12:42:15.765301 |
2026-07-23T12:42:15.765301 |
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| 80 |
Méthode de Monte-Carlo |
Soit $P = [0,1]^d$ muni de la mesure de Lebesgue. Soit $f \in L^1(P)$ et $X_1 , \ldots , X_n$ des variables aléatoires iid de loi uniforme sur $P$. Soit $e_N = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N f(X_j) - \int_P f$.\r\rAlors $e_N $ converge vers $0$ presque sûrement.\r\rSi de plus il existe $A$ et $B$ tels que $|f| \le A$ presque partout et $| \int f^2| \le B$ alors $\forall \beta \in [0,B/A^2]$, \r\r$$ P( |e_N| \ge \beta A ) \le 2 \exp \left( \frac{ -N \beta^2 A^2}{4B} \right) $$ |
2026-07-23T12:42:15.765355 |
2026-07-23T12:42:15.765355 |
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| 81 |
Statistiques d'ordre |
Soient $(X_i)$ une suite de variables aléatoires iid de loi $\mu$ et admettant une densité $f$ $C_n^0$, une fonction de répartition $F$. On note $r(x_1 , \ldots , x_n) = (x_{(1)} , \ldots , x_{(n)} )$ où $x_{(1)} \le \cdots x_{(n)}$ et $\{x_1 , \ldots , x_n \} = \{ x_{(1)} , \ldots , x_{(n)} \}$ et $(X_1 , \ldots , X_n) = r (X_1, \ldots , X_n)$ où $X_{(k)}$ est la $k$-ième statistique d'ordre. \r\rAlors $X_{(k)}$ admet une densité $f_k$. |
2026-07-23T12:42:15.765405 |
2026-07-23T12:42:15.765405 |
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| 82 |
Temps d'arrêt |
Soient $(X_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires iid de loi de Bernouli de paramètre $p$. Notons $A_n$ l'événement $X_{n-1} \ot= X_n$ pour $n\ot=2$ et appelons $T$ la variable aléatoire $T = \int \{ n \in \mathbb{N} : A_n \text{ soit vérifiée} \} $. Alors\r\rLes $A_n$ sont indépendantes ssi $p = 1/2$.\r\r$P ( T < +\infty) = 1$\r\r$ P( (X_T , X_{T+1}) = (0,1) ) = p^2$ |
2026-07-23T12:42:15.765430 |
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| 83 |
Marche aléatoire dans Z^d |
On considère le modèle suivant. Soit $d $ un entier $\ge 1$ et $(u_i)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$, on pose $S_0 = 0 \in \mathbb{Z}^d$, le $k$-ième pas est défini par $e_k \in \{ \pm u_i : 1 \le i \le d \} = A$ et $P(e_k = u_i ) = P(e_k = -u_i) = 1/2d$ pour tout $i$.\rLes $e_k$ sont des variables aléatoires iid de sorte que $P(e_1 = \epsilon_1, \ldots , e_k = \epsilon_k) = 1/(2d)^k$.\r\rOn pose $S_n = \sum_{k=1}^n e_k$ pour $n \ge 1$.\r\rAlors si $d \le 2$, $P( S_n = 0 \text{ infiniment souvent} ) = 1$\rSi $ d \ge 3$, alors $P( \lim |S_n| = +\infty ) = 1 $ |
2026-07-23T12:42:15.765467 |
2026-07-23T12:42:15.765467 |
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| 84 |
Théorème de Weierstrass (par les probabilités) |
Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour tout $n$ on définit $B_n(x) = \sum_{k=0}^n f(k/n) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}$ avec $x \in [0,1]$. La suite de polynômes $(B_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f$. |
2026-07-23T12:42:15.765484 |
2026-07-23T12:42:15.765484 |
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| 85 |
Fonctions caractéristiques et moments |
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note $\varphi_X$ sa fonction caractéristique. \r\rSi $X$ admet un moment d'ordre $n$, $\varphi_X$ est $C^n$ et pour tout $k \in [1, n]$ , on a pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\varphi_X^{(k)}(t) = i^k \int_{\Omega} X^k \exp(itX) dP$. En particulier $\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$. \r\rSi $\varphi_X$ est $k$ fois dérivable en $0$, avec $k \ge 2$, alors $X$ admet des moments jusqu'à l'ordre $2 E(k/2)$ ,où $E(k/2)$ est la partie entière, données par $\mathbb{E} [X^j] = (-1)^j \varphi_X^{(j)} (0)$. |
2026-07-23T12:42:15.765515 |
2026-07-23T12:42:15.765516 |
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| 433 |
Exemples de réduction polynomiale |
Il y a plein de choix possibles sur les réductions à faire… |
2026-07-23T12:42:15.771522 |
2026-07-23T12:42:15.771523 |
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| 86 |
Existence de l'espérance conditionelle |
Soient $(\Omega, A , P)$ un espace probabilisé, $B$ une sous-tribu de $A$ et $X$ une variable aléatoire réelle $L^1$. Alors il existe une unique (au sens presque sûrement) variable aléatoire $Y$ notée $E(X|B)$, $B$ mesurable vérifiant $\forall B \in \mathcal{B}$, $\int_B E( X|\mathcal{B})(w) dP(w) = \int_B X dP$ et $E( E(X | \mathcal{B} ) 1_B) = E( X 1_B)$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.765538 |
2026-07-23T12:42:15.765539 |
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| 87 |
Billard convexe |
Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^2$ dont le bord $\delta K$ est une sous-variété $C^1$ de dimension $1$ de $\mathbb{R}^2$. Alors il existe une trajectoire fermée à trois rebonds vérifiant les lois de l'optique. |
2026-07-23T12:42:15.765553 |
2026-07-23T12:42:15.765553 |
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| 88 |
Fractions rationnelles et séries formelles |
Soit $S \in K[[X]] \setminus K[X]$ notée $\sum_{n \ge 0} a_n X^n$ avec $a_n \in K$ pour tout $n \ge 0$. Sont équivalents :\r \r $\bullet$ La fraction rationnelle $S \in K(X)_0$.\r $\bullet$ Il existe $ N \ge 1, m \ge N, \lambda_1 , \ldots , \lambda_N \in K$ telles que $\lambda_N \ot= 0$ et $\forall n \ge m$ on a la relation $a_n - \lambda_1 a_{n-1} - \cdots - \lambda_N a_{n-N} = 0$.\r $\bullet$ Il existe $N \ge 1$ telle que $\forall n \ge N$, $\det(A_n) = 0$ où $A_n = ( a_{i+j})_{ 0 \le i , j \le n } \in M_{n+1}(K)$.\r \r\r |
2026-07-23T12:42:15.765595 |
2026-07-23T12:42:15.765595 |
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| 89 |
Théorème d'Abel angulaire |
Soit $\sum a_n z^n$ une série entière, de rayon de convergence $1$. On note $f(z)$ la somme de cette série entière sur $D = D(0,1)$. On suppose que $\sum a_n$ converge. On note $S = \sum a_n$. Soit $\theta_0 \in [0, \pi/2[$. \rOn note \r\r$$ \Delta_{\theta_0} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \text{ et } 1-z = \rho e^{i \theta} \text{ où } \rho > 0 \text{ et } \theta \in [-\theta_0 , \theta_0] \} $$\r\rSous ces hypothèses, $f(z) \to S$ lorsque $z $ tend vers $1$ en restant dans $\Delta_{\theta_0}$.\r |
2026-07-23T12:42:15.765631 |
2026-07-23T12:42:15.765631 |
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| 90 |
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet) |
Pour tout $p \in [1 , +\infty]$, $L^p$ est complet. |
2026-07-23T12:42:15.765641 |
2026-07-23T12:42:15.765641 |
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| 91 |
Stabilité d'un système autonome |
L'équilibre $O$ de $x' = Ax$ est stable si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle $< 0$ ou nulle et de multiplicité $1$. |
2026-07-23T12:42:15.765653 |
2026-07-23T12:42:15.765653 |
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| 92 |
Cercle d'Euler |
Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan affine euclidien. Alors il existe un unique cercle qui passe par $9$ points particuliers du triangle $ABC$. De plus le centre de ce cercle est l'isobarycentre de $(H,A,B,C)$ où $H$ est l'orthocentre de $A,B,C$. |
2026-07-23T12:42:15.765669 |
2026-07-23T12:42:15.765669 |
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| 93 |
Théorèmes de Kakutani et Massera |
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact convexe non vide de $E$. Toute application affine continue $T : E \to E$ admet un unique point fixe dans $K$. |
2026-07-23T12:42:15.765680 |
2026-07-23T12:42:15.765681 |
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| 94 |
Générateurs de O(E) |
Soit $E$ un espace euclidien et $u \in O(E)$. On note $r = \mathsf{rg}(u- \mathsf{id}_E)$. Alors $u$ est produit de $r$ réflexions mais pas moins. Si $u \in SO(E)$, $u$ est produit d'au plus $r$ retournements (avec $\mathsf{dim}(E) \ge 3$). |
2026-07-23T12:42:15.765697 |
2026-07-23T12:42:15.765698 |
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| 95 |
Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann |
On pose $\zeta (s) = \sum_{n \ge1} \frac{1}{n^s}$ pour $Re(s) > 1$. Alors la fonction $\zeta$ admet un prolongement méromorphe à $\mathbb{C}$ et vérifie\r\r$$ \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) = \pi^{ -(1-s)/2} \Gamma( (1-s)/2) \zeta(1-s) $$ |
2026-07-23T12:42:15.765719 |
2026-07-23T12:42:15.765719 |
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| 96 |
Théorème d'inversion locale |
Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ et $a \in \mathbb{R}^n$. Si $Df_a$ est inversible, alors il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $ W = f(V)$ est ouvert et $f_{|V} : V \to W$ est un $C^1$-difféomorphisme.\r |
2026-07-23T12:42:15.765736 |
2026-07-23T12:42:15.765736 |
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| 97 |
Formule de Poisson |
Soit $A$ un anneau commutatif intègre. Soit $f = a_m X^m + \cdots + a_0$ avec $a_m \in A^*$. Soit $g \in A[X]$. On note $S = A[X]/(f)$ et $g_S : S \to S$ le passage au quotient de la multiplication par $g$. Alors \r$$ Res_{m,n}(f,g) = a_m^n \det(g_S)$$ |
2026-07-23T12:42:15.765752 |
2026-07-23T12:42:15.765753 |
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| 98 |
Formule sommatoire de Poisson |
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ telle qu'il existe $M > 0$ et $\alpha > 1$ vérifiant $|f(x)| \le \frac{M}{ (1+|x|)^\alpha}$ pour tout $x$. Si $\sum_{\mathbb{Z}} | \widehat{f}(m)| < +\infty$ alors \r$$ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(m) = 2 \pi \sum_{m \in \mathbb{Z}} f(2\pi m )$$ |
2026-07-23T12:42:15.765778 |
2026-07-23T12:42:15.765778 |
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| 99 |
Théorème de Borel |
Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes. Alors il existe $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une application $C^\infty$ telle que pour tout $n$,\r$$ \frac{f^{(n)}}{n!} = a_n $$ |
2026-07-23T12:42:15.765792 |
2026-07-23T12:42:15.765793 |
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| 100 |
Théorème de Sophie-Germain |
Soit $p$ un nombre premier impair tel que $q = 2p+1$ soit premier. Alors il n'existe pas de triplet $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ tel que $x^p + y^p + z^p = 0$ et $xyz \ot=0 [p]$. |
2026-07-23T12:42:15.765806 |
2026-07-23T12:42:15.765806 |
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| 101 |
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q |
Pout tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Phi(n)$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$. |
2026-07-23T12:42:15.765818 |
2026-07-23T12:42:15.765818 |
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| 102 |
Loi de réciprocité de la puissance d-ième |
Soient $a,P,Q \in A$ avec $P$ et $Q$ irréductibles unitaires de degré $\delta$ et $\gamma$. Alors\r$(\frac{a}{P})_d = 1 \iff x^d = a [P]$ admet une solution\r\ret $(\frac{Q}{P})_d = (-1)^{ \frac{q-1}{d} \delta \gamma} (\frac{P}{Q})_d$ |
2026-07-23T12:42:15.765838 |
2026-07-23T12:42:15.765839 |
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| 103 |
Étude de la suite logistique : x(n+1) = 1 - a x(n)^2 |
Soit $\lambda \in ]0,1]$ et $x_0 \in ]0,1[$. On définit la suite $(x_n)$ par récurrence : $x_{n+1} = 1 - \lambda x_n^2$.\rOn pose $f(x) = 1 -\lambda x^2$. On étudie $f\circ f $ et $f\circ f - x$ pour étudier la limite éventuelle de la suite. |
2026-07-23T12:42:15.765857 |
2026-07-23T12:42:15.765857 |
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| 104 |
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire |
Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$ et $u$ l'unique solution de$Au = b$. On pose $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et $u_{k+1} = M^{-1} ( N u_k +b)$ où $A = M-N$ avec $M \in GL_n(\mathbb{R})$. Alors la suite $(u_k)$ converge vers $u$ (quelque soit $u_0$) si et seulement si $\rho( M^{-1}N) < 1$. |
2026-07-23T12:42:15.765879 |
2026-07-23T12:42:15.765879 |
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| 105 |
Théorème de Barany |
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$. Soit $m \ge n+1$. Soient $A_1 , \ldots , A_m$ des parties de $\mathcal{E}$. On appelle convexe multicolore tout convexe de la forme $\mathsf{conv}(a_1 , \ldots , a_m)$ où $(a_1 , \ldots , a_m) \in A_1 \times \cdots \times A_m$.\r\rSoit $w\in \mathcal{E}$. Si $w \in \bigcap_{i=1}^m \mathsf{conv}(A_i)$ alors il existe un convexe multicolore $S$ tel que $w \in S$. |
2026-07-23T12:42:15.765906 |
2026-07-23T12:42:15.765907 |
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| 106 |
Théorème de Sylow (version opération de groupes) |
Soit $G$ un groupe fini et $p$ premier tel que $|G| = p^a m$ avec $a$ un entier non nul et $m$ premier à $p$. On note $n_p$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors $n_p$ est non nul et divise $m$. De plus $n_p = 1 [p]$ et tous les $p$-Sylow sont conjugés.\r\rCe développement présente une démonstration de ce théorème à l'aide d'opérations de groupes. Il existe une autre démonstration utilisant le principe de récurrence. |
2026-07-23T12:42:15.765927 |
2026-07-23T12:42:15.765927 |
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| 107 |
Méthode de Newton |
Soit $f : [c,d] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tel que $f(a) = 0$ où $a \in ]c,d[$. On définit la suite $(x_n)$ par $x_0 \in [c,d]$ et $x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) }{ f'(x_n)}$ si $f'(x_n) \ot=0$ et $x_{n+1} = x_n$ sinon. Alors sous certaines conditions on montre que $(x_n)$ converge vers $a$. |
2026-07-23T12:42:15.765946 |
2026-07-23T12:42:15.765946 |
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| 472 |
Continuité des fonctions convexes |
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2026-07-23T12:42:15.772027 |
2026-07-23T12:42:15.772027 |
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| 473 |
Étude de y'' + qy = 0 |
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2026-07-23T12:42:15.772034 |
2026-07-23T12:42:15.772034 |
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| 108 |
Méthode de Newton pour les polyômes |
La méthode de Newton générale est la suivante. Soit $f : [c,d] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tel que $f(a) = 0$ où $a \in ]c,d[$. On définit la suite $(x_n)$ par $x_0 \in [c,d]$ et $x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) }{ f'(x_n)}$ si $f'(x_n) \ot=0$ et $x_{n+1} = x_n$ sinon. Alors sous certaines conditions on montre que $(x_n)$ converge vers $a$.\r\rOn précise ici la convergence dans le cas où $f$ est un polynôme. |
2026-07-23T12:42:15.765969 |
2026-07-23T12:42:15.765969 |
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| 109 |
Inégalité isopérimétrique |
Soit $\gamma$ une courbe fermée simple de classe $C^1$ du plan euclidien $\mathbb{R}^2$. On pose $A = \frac{1}{2} | \int xdy - y dx | $ qui correspond à l'aire enfermée par $\gamma$. Alors \r$$ A \le \frac{l^2}{4 \pi} $$ |
2026-07-23T12:42:15.765987 |
2026-07-23T12:42:15.765987 |
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| 110 |
Résolution d'une équation matricielle grâce aux équations différentielles |
Soient $A$ et $B$ deux matrices réelles telles que $\forall \lambda \in Sp(A) \bigcup Sp(B)$, $Re(\lambda)< 0$. Alors pour toute matrice réelle $C$, il existe une unique matrice $X \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $AX + XB = C$. |
2026-07-23T12:42:15.766006 |
2026-07-23T12:42:15.766006 |
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| 111 |
Théorème de Frobenius-Zolotarev |
Soient $p$ un nombre premier au moins égal à $3$, $m \in \mathbb{N}^*$ et $u \in GL_n(\mathbb{F}_p)$. Alors $u$ est une permutation de $\mathbb{F}_p^n$, de signature $(\frac{ \det(u)}{p} )$. |
2026-07-23T12:42:15.766021 |
2026-07-23T12:42:15.766022 |
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| 112 |
Théorème de Wedderburn |
Tout corps fini est commutatif. |
2026-07-23T12:42:15.766029 |
2026-07-23T12:42:15.766029 |
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| 113 |
Construction de variables aléatoires indépendantes de loi donnée |
Soit $(\mu_j)_{j \in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $(\mathbb{R} , \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Alors il existe une suite de variables aléatoires $(X_j)_{j \in \mathbb{N}^*}$ définie sur $([0,1[, \mathcal{B}( [0,1[) , P)$ où $P$ est la mesure de Lebesgue telle que $X_j$ soit de loi $\mu_j$ pour tout $j$. |
2026-07-23T12:42:15.766051 |
2026-07-23T12:42:15.766052 |
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| 114 |
Réduction de Jordan (par la dualité) |
Soit $u \in L(E)$ un endomorphisme nilpotent. Il existe une base dans laquelle $u$ s'écrit\r\r$$ \begin{pmatrix}\r0 & v_1 & 0 & & & \\\r & \ddots & \ddots & \ddots & \\\r & & \ddots & \ddots & 0 \\\r & & & \ddots & v_1\\\r& & & & 0 \r\end{pmatrix}$$ |
2026-07-23T12:42:15.766091 |
2026-07-23T12:42:15.766091 |
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| 115 |
Théorème du point fixe de Brouwer |
On note $B^{n}$ la boule unité fermée de $\mathbb{R}^{n}$. Toute application continue $B^{n} \longrightarrow B^{n}$ admet un point fixe. |
2026-07-23T12:42:15.766103 |
2026-07-23T12:42:15.766103 |
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| 116 |
A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60 |
$\mathfrak{A}_{5}$ est l'unique groupe simple d'ordre 60. |
2026-07-23T12:42:15.766115 |
2026-07-23T12:42:15.766115 |
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| 117 |
Prolongement de la fonction Zeta de Riemann |
La fonction $\zeta$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$ holomorphe sur $\mathbb{C} \setminus \{1\}$ et admettant un pôle simple en $1$. |
2026-07-23T12:42:15.766130 |
2026-07-23T12:42:15.766130 |
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| 118 |
Théorème de Jordan C1 |
Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une application $L$-périodique $C^1$, injective sur $[0,L[$, telle que $g(0) = 0$, $g'(0) = 1$, et $|g'(t)| = 1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. On pose $\Gamma = g(\mathbb{R})$. \r\rAlors $\mathbb{C} \setminus \Gamma$ a deux composantes connexes. |
2026-07-23T12:42:15.766151 |
2026-07-23T12:42:15.766151 |
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| 119 |
Fonction continue 2Pi-périodique dont la série de Fourier diverge en 0 |
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction paire, $2\pi$-périodique telle que pour tout $x \in [0, \pi]$ on ait \r\r$$ f(x) = \sum_{p \ge 1} \frac{1}{p^2} \sin( (2^{p^3} + 1) x/2 ) $$\r\rOn montre que série de de Fourier de $f$ diverge en $0$. |
2026-07-23T12:42:15.766172 |
2026-07-23T12:42:15.766173 |
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| 120 |
Ellipsoïde de John Loewner |
Pour tout $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, on définit l'ellipsoïde \r\r$$ \Sigma_S = \{ x \in \mathbb{R}^n : {}^t x S x \le 1 \} $$\r\rSoit $K$ un compact d'intérieur contenant $0 \in \mathbb{R}^n$. Alors l'ensemble des ellipsoïdes contenant $K$ admet un élément de volume minimal. |
2026-07-23T12:42:15.766196 |
2026-07-23T12:42:15.766196 |
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| 121 |
Méthode de Laplace |
Soit $I = ]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ borné ou non. Soit $\varphi \in C^2(I, \mathbb{R}) , f \in C( I, \mathbb{C})$. On suppose que \r\r$$ \forall t > 0 , \int_a^b e^{t \varphi(x)} | f(x)|dx < +\infty $$\r\rque $\varphi'$ ne s'annule qu'en un point $x_0$ et que $\varphi''(x_0) < 0$.\r\rque $f(x_0) \ot=0$.\r\rAlors on a l'équivalent trop hype :\r\r$$ F(t) = \int_a^b e^{t \varphi(x)} f(x) dx \sim_{t \to +\infty} \sqrt{ \frac{ 2\pi}{t |\varphi''(x_0)|} } e^{t \varphi(x_0)} f(x_0) $$ |
2026-07-23T12:42:15.766234 |
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| 122 |
Équation différentielle dans les espaces de Hölder |
Soient $\alpha \in ]0,1[$, $a,b \in \mathbb{R}$, $q \in C^{0, \alpha}( ]a,b[)$ positive. Pour tout $f \in C^{0,\alpha}( ]a,b[)$ et tous $u_0, u_1 \in \mathbb{R}$, le problème \r\r$$\begin{cases}\r-u''(x) + q(x) u(x) = f(x) , x \in ]a,b[ \\\ru(a) = u_0 , u(b) = u_1\r\end{cases}$$\r\radmet une unique solution $u \in C^{2, \alpha}( ]a,b[)$. |
2026-07-23T12:42:15.766264 |
2026-07-23T12:42:15.766264 |
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| 123 |
Équation de Schrödinger |
Soit $g \in S'(\mathbb{R}^n)$. Il existe une unique solution $u = (u_t)_{t \in \mathbb{R}} \in C^{\infty}(\mathbb{R}, S'(\mathbb{R}^n))$ au problème\r\r$$\begin{cases}\r\partial_t u - i \Delta u = 0 \text{ dans } \mathcal{D}'( \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n)\\\ru_0 = g\r\end{cases}$$ |
2026-07-23T12:42:15.766292 |
2026-07-23T12:42:15.766292 |
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| 124 |
Théorème de Bézout faible (par le résultant) |
Soient $P,Q \in \mathbb{C}[X,Y]$ sans facteur commun (i.e. $\mathsf{pgcd}_{\mathbb{C}[X][Y]} (P,Q) = 1$). Soit $d$ le degré total de $P$ et $d'$ celui de $Q$. On note $V(P) = \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : P(x,y) =0 \}$. Alors\r\r\[\r | V(P) \bigcap V(Q) | \le dd'\r\] |
2026-07-23T12:42:15.766315 |
2026-07-23T12:42:15.766315 |
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| 125 |
Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq |
Soient $d$ divisant $q-1$ et $S_d$ l'ensemble des $n$-uplets de caractères $(\chi_1, \ldots , \chi_n)$ tels que $\chi_j \ot= \chi_0$, $\chi_j^d = \chi_0$ et $\chi_1 \cdots \chi_n = \chi_0$ où $\chi_0$ est le caractère trivial. Le nombre $N$ de solutions de l'équation $a_1 x_1^d + \cdots + a_n x_n^d = 0$ dans $\mathbb{F}_q^n$ est égal à \r\r$$ N = q^{n-1} + \frac{q-1}{q} \sum_{ (\chi_1 , \ldots , chi_n) \in S_d } \overline{\chi_1}(a_1) \cdots \overline{\chi_n}(a_n) G( \chi_1, \psi) \cdots G(\chi_n, \psi) $$ |
2026-07-23T12:42:15.766355 |
2026-07-23T12:42:15.766355 |
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| 126 |
Théorème de Witt |
Soient $(E, q)$ , $(F,\varphi)$ , $(G, \psi)$ trois espaces quadratiques réguliers. Alors $(E, q) \bot (F,\varphi)$ est isomorphe à $(E,q) \bot (G,\psi)$ si et seulement si $(F, \varphi)$ est isomorphe à $(G, \psi)$. |
2026-07-23T12:42:15.766372 |
2026-07-23T12:42:15.766372 |
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| 127 |
Densité des fonctions continues nulles part dérivables |
L'ensemble des fonctions continues nulles part dérivables est dense dans $C([0,1], R)$ munie de la norme infinie. |
2026-07-23T12:42:15.766384 |
2026-07-23T12:42:15.766384 |
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| 128 |
Nombres de Bell |
Pour tout $n \in \mathbb{N}_{> 0}$, on définit $B_n$ comme étant le nombre de partition de $\{1 , \ldots , n \}$. Alors ces nombres vérifient\r\r$$ B_n =\frac{1}{e} \sum_{k \ge 0} \frac{k^n}{n!} $$ |
2026-07-23T12:42:15.766401 |
2026-07-23T12:42:15.766402 |
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| 129 |
Partition d'un entier en parts fixées |
Soient $a_1 , \ldots , a_k$ des entiers naturels non nuls premiers entre eux dans leur ensemble. Pour tout $n \ge 1$, on note $u_n$ le nombre de $k$-uplets $(x_1 , \ldots , x_k) \in \mathbb{N}^k$ tels que $a_1 x_1 + \cdots + a_k x_k = n $. Alors \r\r$$ u_n \sim_{n \to +\infty } \frac{1}{a_1 \cdots a_k} \frac{n^{k-1}}{(k-1)!} $$ |
2026-07-23T12:42:15.766425 |
2026-07-23T12:42:15.766425 |
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| 130 |
Théorème de l'élement primitif |
Toute extension séparable de type finie est monogène. |
2026-07-23T12:42:15.766434 |
2026-07-23T12:42:15.766434 |
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| 242 |
Lemme de Grothendieck |
Si $(X,\mathcal{A}, \mu)$ est un espace probabilisé, tout sous-espace de $L^{\infty}(X,\mathcal{A})$, fermé dans $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ pour un certain $p \geqslant 1$, est de dimension finie. |
2026-07-23T12:42:15.768820 |
2026-07-23T12:42:15.768820 |
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| 131 |
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt |
Soit $n$ un entier naturel. On dit que $n$ est un nombre de Carmichael si $a^n = a [n]$ pour tout entier $a$.\r\rUn entier naturel $n$ est de Carmichael ssi $n$ est sans facteur carré et pour tout nombre premier $p$ divisant $n$,\r\r$$ p-1 | n-1 $$ |
2026-07-23T12:42:15.766450 |
2026-07-23T12:42:15.766450 |
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| 132 |
Calcul de trois intégrales |
À l'aide de la convergence monotone, de la convergence dominée et du théorème des résidus, on calule\r\r$$ \int_0^\pi \frac{x}{ 1 - e^{ix}} dx$$ |
2026-07-23T12:42:15.766464 |
2026-07-23T12:42:15.766464 |
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| 133 |
Méthode de relaxation |
Méthode numérique pour résoudre $$A u = b$$\r\roù $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ et on décompose $A$ sous la forme de $D + T + {}^t T$ où $D$ est la diagonale de $A$ et $T$ est la partie triangulaire supérieure stricte. On introduit alors $w >0$, $M = D/w + {}^t T$ et $N = (1-w)/wD - T$ de sorte que $A = M-N$. |
2026-07-23T12:42:15.766481 |
2026-07-23T12:42:15.766481 |
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| 134 |
Résolution de y'' - y = H dans S'(R) |
L'équation différentielle $(E)$: $y'' - y = H$ admet une unique solution tempérée, qui est une fonction continue sur $\mathbb{R}$. |
2026-07-23T12:42:15.766495 |
2026-07-23T12:42:15.766495 |
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| 135 |
Théorème de Sard (version faible) |
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$, on pose $C = \{ x \in \mathbb{R} : f'(x) = 0\}$. Alors $f(C)$ est de mesure de Lebesgue nulle. |
2026-07-23T12:42:15.766510 |
2026-07-23T12:42:15.766511 |
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| 136 |
Réduction des endomorphismes normaux |
Soit $E$ un espace euclidien et $f$ un endomorphisme normal (qui commute à son adjoint). Alors il existe une bonne base telle que la matrice de $f$ dans cette base soit presque diagonale par blocs avec des blocs de dimension $1$ et des blocs de dimensions $2$ spéciaux. |
2026-07-23T12:42:15.766524 |
2026-07-23T12:42:15.766525 |
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| 137 |
Isomorphismes entre espaces de fonctions C(K) |
Soient $K_1$ et $K_2$ deux espaces topologiques métriques compacts. Alors $K_1$ et $K_2$ sont homéomorphes ssi $C(K_1)$ sont $C(K_2)$ sont homéomorphes en tant qu'algèbres. |
2026-07-23T12:42:15.766537 |
2026-07-23T12:42:15.766537 |
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| 138 |
Un développement limité |
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2026-07-23T12:42:15.766544 |
2026-07-23T12:42:15.766544 |
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| 139 |
Équation de Fermat sur un corps fini |
Soient $k \ge 1$ un entier et $d = \mathsf{pgcd}(d,q-1)$. Si $q \ge d^4 +4$, l'équation $x^k + y^k = z^k$ possède des solutions dans $(\mathbb{F}_q^*)^3$. |
2026-07-23T12:42:15.766558 |
2026-07-23T12:42:15.766558 |
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| 140 |
Structure des groupes abéliens finis |
Soit $G$ un groupe abélien fini non trivial. Il existe un entier $r \ge 1$ et des entiers $n_1 , \ldots , n_r \ge 2$ tels que $n_r | n_{r-1} | \cdots | n_1 $ et \r$$G \simeq \mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_r \mathbb{Z}$$ |
2026-07-23T12:42:15.766578 |
2026-07-23T12:42:15.766579 |
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| 141 |
Injection compacte dans les espaces de Sobolev |
On définit $H^1([0,1]) = \{ u \in L^2( [0,1]) : u' \in L^2([0,1]) \}$. Alors $H^1$ est un espace de Hilbert, ses éléments sont des fonctions continues sur $[0,1]$ et l'injection $H^1 \to C^0$ est compacte. |
2026-07-23T12:42:15.766595 |
2026-07-23T12:42:15.766595 |
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| 142 |
Un isomorphisme entre groupes topologiques |
Les espaces $PSL(2, \mathbb{R})$ et $SO_0(1,2)$ (composante connexe de $I_3$ dans $SO(1,2)$) sont des groupes isomorphes. |
2026-07-23T12:42:15.766606 |
2026-07-23T12:42:15.766606 |
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| 143 |
Théorème de Morgenstern |
L'espace $C^{\infty}$ muni de la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées, contient un ensemble dense de fonctions nulle part développables en série entière. |
2026-07-23T12:42:15.766619 |
2026-07-23T12:42:15.766619 |
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| 144 |
Théorème de Cauchy-Peano |
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $X$ un champ de vecteurs continu sur $U$. Alors en tout point $y_0$, il existe $T > 0$ et une solution définie sur $[-T,T]$ qui passe par $y_0$ en $t = 0$. |
2026-07-23T12:42:15.766631 |
2026-07-23T12:42:15.766631 |
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| 145 |
Le groupe SO3(R) est simple |
C'est peut être simple à énoncer mais c'est pas simple. |
2026-07-23T12:42:15.766640 |
2026-07-23T12:42:15.766641 |
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| 146 |
Automorphismes de Sn |
Pour tout $n \ot=6$, les automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ sont intérieurs.\r\rC'est-à-dire que pour tout automorphisme $f$ de $\mathfrak{S}_n$, il existe $\sigma_0 \in \mathfrak{S}_n$ tel que pour toute permutation $\sigma$,\r\r$$ f(\sigma) = \sigma_0 \sigma \sigma_0^{-1} $$ |
2026-07-23T12:42:15.766662 |
2026-07-23T12:42:15.766663 |
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| 147 |
Générateurs du groupe Isom(E) |
Soit $E$ un espace affine euclidien et $f \in Isom(E)$. On note $r = rg( \overrightarrow{f} - id)$. \r\rSi $f$ admet un point fixe alors $f$ est la composée de $r$ réflexions et pas moins.\r\rSinon, $f$ est la composée de $r+2$ réflexions et pas moins. |
2026-07-23T12:42:15.766678 |
2026-07-23T12:42:15.766678 |
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| 148 |
Théorème ergodique de Von Neumann |
Soit $H$ un espace de Hilbert, $T$ un endomorphisme continue de norme $\le 1$ et $p$ la projection orthogonale sur $ker(T - id)$. On pose $T_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n T^k$. Alors pour tout $x\in H$, \r\r$$ T_n(x) \to p(x) $$\r\rlorsque $n \to +\infty$. |
2026-07-23T12:42:15.766697 |
2026-07-23T12:42:15.766697 |
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| 149 |
Suite récurrente : convergence lente |
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ définie au voisinage de $0$ qui a développement limité de la forme \r\r$$ f(x) = x - ax^\alpha + o(x^\alpha) $$\r\ravec $a > 0$ et $\alpha > 1$. Alors la suite récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ admet l'équivalent \r\r$$ u_n \sim \frac{1}{ (na(\alpha-1)^{\frac{1}{1-\alpha} } } $$ |
2026-07-23T12:42:15.766720 |
2026-07-23T12:42:15.766721 |
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| 150 |
Topologie des classes de similitude |
Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$.\r\rLa matrice $A$ est nilpotente ssi $0$ appartient à la classe de similitude de $A$.\r\rLa matrice $A$ est diagonalisable ssi la classe de similitude de $A$ est fermée. |
2026-07-23T12:42:15.766735 |
2026-07-23T12:42:15.766735 |
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| 151 |
Diagonalisibilité et semi-simplicité |
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$.\r\rL'endomorphisme $u$ est diagonalisable ssi tout sous-espace admet un supplémentaire stable.\r\rL'endomorphisme $u$ est diagonalisable ssi $\chi_u$ est scindé et tout sous-espace stable admet un supplémentaire stable. |
2026-07-23T12:42:15.766753 |
2026-07-23T12:42:15.766754 |
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| 152 |
Théorème de Pascal |
Un hexagone est une famille de six points distincts dont trois ne sont jamais alignés.\r\rUn hexagone $(a,b,c,d,e,f)$ est inscrit dans une conique $C$ de $P_2(K)$ ssi les points $(ab) \bigcap (de)$, $(bc) \bigcap (ef)$ et $(cd)\bigcap (fa)$ sont alignés. Dans ce cas, la conique est propre. |
2026-07-23T12:42:15.766771 |
2026-07-23T12:42:15.766771 |
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| 153 |
Théorème de Dirichlet faible |
Soit $n$ un entier. Alors il existe une infinité de nombre premiers congru à $1$ modulo $n$. |
2026-07-23T12:42:15.766781 |
2026-07-23T12:42:15.766781 |
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| 154 |
Table de caractères de D4 et H8 |
On dresse la table de caractères de $D_4$ et de $H_8$ (qui est la même). |
2026-07-23T12:42:15.766789 |
2026-07-23T12:42:15.766790 |
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| 155 |
Théorème de Molien |
Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{C})$. On pose $A= \mathbb{C} [X_1 , \ldots , X_n]$. On définit la représentation $\rho$ suivante de $G$ :\r\r$$ \rho(g)(P) = P \circ g^{-1} $$\r\roù $P \in A$. Cette représentation conserve $A_k$ : les polynômes $k$ homogènes de $A$ pour tout $k$. On note $A_k^G$ l'ensemble des vecteurs invariants de $A_k$ sous l'action de $G$. On note $a_k(G)$ la dimension de cet espace. Alors\r\r$$ \sum_{k\ge 0} a_k(G) X^k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{1}{\det( id - Xg)} $$ |
2026-07-23T12:42:15.766821 |
2026-07-23T12:42:15.766821 |
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| 156 |
Point de Fermat-Torricelli |
Soit $ABC$ un triangle non aplati du plan affine euclidien identifié à $\mathbb{C}$ via un repère orthonormé. On note $a,b,c$ les fixes des points $A,B,C$. On construit les points $A\B\C'$ tels que $ACB'$, $CB'A$ et $A'CB$ soient les triangles équilatéraux directs. Alors :\r\rLes droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ concourent en un point $M$.\r\rSi les angles du triangle $ABC$ sont tous $\le 2\pi/3$ alors $M$ est un minimum de la fonction Fermat $f(M)= MA + MB + MC$. |
2026-07-23T12:42:15.766849 |
2026-07-23T12:42:15.766850 |
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| 326 |
Hachage parfait |
ref : Cormen |
2026-07-23T12:42:15.770093 |
2026-07-23T12:42:15.770094 |
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| 157 |
Équation de la chaleur et distributions |
L'équation de la chaleur : $\partial_t u - \Delta u = 0$.\r\rSi $u_0 \in \mathcal{E}'(\mathbb{R})$, il existe une solution $u$ à ce problème. De plus, si $u_0$ est dans $C_c^0(\mathbb{R})$ alors la solution obtenue est $C^0$ sur $[0, +\infty[ \times \mathbb{R}$ et $C^\infty$ sur $]0, +\infty[ \times \mathbb{R}$ et vérifie la condition initiale $u(0,.) = u_0$ |
2026-07-23T12:42:15.766876 |
2026-07-23T12:42:15.766876 |
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| 158 |
Théorème de Pascal (par le birapport) |
Soit $\varphi$ une homographie de $P^1(K)$ qui n'est pas l'identité. Il y a équivalence entre\r\r$\varphi$ est une involution\r\r$\varphi$ est de trace nulle\r\rIl existe $p \in P^1(K)$ tel que $\varphi(p) \ot= p$ et $\varphi^2(p) = p$. |
2026-07-23T12:42:15.766896 |
2026-07-23T12:42:15.766897 |
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| 159 |
Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach) |
Soient $G$ un groupe compact, $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, $\rho : G \to GL(V)$ un morphisme de groupes continu et $\Omega \subseteq V$ un convexe $G$-stable non vide. Alors \r\r$$ \exists x \in \Omega : g(x) = x, \forall g \in G $$ |
2026-07-23T12:42:15.766917 |
2026-07-23T12:42:15.766917 |
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| 160 |
Théorème de réarrangement de Riemann |
<h3>Théorème [Riemann]</h3>\rSoit $(u_n)$ une série réelle semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais pas absolument convergente, et soit $\alpha \in [-\infty, +\infty]$. Alors il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que \r\r$$ \sum_{k = 0}^n u_{\sigma(k)} \to \alpha \;. $$\r\r<h3> Contexte </h3>\r\rOn sait que si une série numérique (réelle) $\sum_{n \geq 1}u_n$ est absolument convergente, alors elle est commutativement convergente, c'est-à-dire que pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{N})$, on a $$ \sum_{n \geq 0}u_{\sigma(n)} = \sum_{n \geq 0}u_n. $$ |
2026-07-23T12:42:15.766957 |
2026-07-23T12:42:15.766957 |
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| 161 |
Théorème de Sharkovski |
Soit $f : I \to I$ continue où $I$ est un intervalle. Si $f$ admet un point périodique de période $n$, alors pour tout $m$ succédant à $n$ dans l'ordre de Sharkovski, $f$ admet un point périodique de période $m$. |
2026-07-23T12:42:15.766970 |
2026-07-23T12:42:15.766971 |
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| 162 |
Translatés d'une fonction |
Pour $f : R \to R$ et $a \in R$, on note $f_a(x) = f(a +x)$. Soit $f : R \to R$ dérivable, alors : $Vect( f_a)_{a \in R}$ est de dimension finie ssi $f$ est solution homogène d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. |
2026-07-23T12:42:15.766988 |
2026-07-23T12:42:15.766988 |
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| 163 |
Polynômes semi-symétriques |
Soit $K$ un corps de caractéristique $\ot=2$. \rUn polynôme $P \in K[T_1,\ldots , T_n]$ est dit semi-symétrique si pour tout $\sigma \in \mathfrak{A}_n$, $\sigma \dot{} P = P$.\r\rSoit $F \in K[T_1 , \ldots , T_n]$ un polynôme semi-symétrique. Alors il existe un unique couple $(P,Q)$ de polynômes symétriques tels que $F = P + QV$ (où $V$ est le Vandermonde de $T_1, \ldots , T_n$). |
2026-07-23T12:42:15.767012 |
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| 164 |
Théorème de Lax-Milgram et une application |
Soit $H$ un espace de Hilbert. Soit $a$ une forme bilinéaire telle que \r\r$ \exists M > 0, \forall u,v, |a(u,v)| \le M ||u|| \dot{} ||v|| $ (a est continue)\r\r$\exists \u >0, \forall u , a(u,u) \ge \u ||u||^2 $ ($a$ est coercive)\r\rSoit $l$ une forme linéaire continue.\rAlors il existe un unique $u \in H$ tel que $\forall v \in H$, $a(u,v) = l(v)$. |
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| 165 |
Espaces hyperboliques |
Soit $E$ un espace vectoriel et $q$ une forme quadratique. On note $f$ la forme bilinéaire symétrique associée.\r\rUn plan hyperbolique pour $q$ c'est un sous-espace vectoriel de dimension $2$ tel qu'il existe $x,y \in P$ tels que $q(x) = q(y) = 0$ et $f(x,y) = 1$.\r\rSoit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On note $F_0 = Ker(q_{|F})$ et $U$ un supplémentaire de $F_0$ dans $F$. Soit $(u_1, \ldots , u_r)$ une base de $F_0$. Il existe alors $v_1 , \ldots , v_r \in E$ tels que \r\r$P_i = Vect(u_i, v_i)$ est un plan hyperbolique pour $q_{|P_i}$ et $(u_i,v_i)$ est une base hyperbolique de $P_i$.\r\r$U,P_1 , \ldots , P_r$ sont en somme directe dans $E$ deux à deux orthogonaux. |
2026-07-23T12:42:15.767070 |
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| 166 |
Birapport et homographies |
On montre que les homographies de la droite projective sont caractérisées par l'invariance du birapport. |
2026-07-23T12:42:15.767080 |
2026-07-23T12:42:15.767081 |
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| 167 |
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel |
On considère l'équation différentielle $xy'' + y' + xy = 0$.\rIl existe une unique solution développable en série entière en $0$ et valant $1$ en $0$. C'est \r\r$$ f(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2} x^n $$\r\r |
2026-07-23T12:42:15.767101 |
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| 168 |
Développement asymptotique de la série harmonique |
Soit $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.\r\rIl existe $\gamma > 0$ tel que $H_n -\ln(n) \to \gamma$.\r\r$H_n = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} + o(1/n)$\r\rOn pose $h_n = \min\{ k \in \mathbb{N} : H_k \ge n\}$. Alors $h_{k+1}/h_k \to e$. |
2026-07-23T12:42:15.767126 |
2026-07-23T12:42:15.767126 |
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| 169 |
Application du Vandermonde |
On note $V(a_1 , \ldots , a_n) = \det( a_i^{j-1} )$ le déterminant de Vandermonde.\rSoit $P_1 , \ldots , P_n \in \mathbb{R}_m[X]$, $a_1 , \ldots , a_n \in \mathbb{R}$.\rOn suppose que $n > m$.\r\rAlors \r\r$$\r\begin{vmatrix}\rP_1(a_1) & \cdots & P_1(a_n) \\\r\vdots & & \vdots \\\rP_n(a_1) & \cdots & P_n(a_n)\r\end{vmatrix} = V(a_1, \ldots , a_n) \det(P_1, \ldots , P_n) $$\r\roù le dernier déterminant est le déterminant dans la base canonique de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.\r |
2026-07-23T12:42:15.767163 |
2026-07-23T12:42:15.767163 |
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| 170 |
Automorphismes de K(X) |
Les automorphismes de $K$-algèbre de $K(X)$ sont les applications de $K(X)$ vers $K(X)$ définies par \r\r$$ F \longmapsto F \left( \frac{aX +b}{cX + d} \right) $$\r\ravec $ad-bd \ot=0$ |
2026-07-23T12:42:15.767179 |
2026-07-23T12:42:15.767179 |
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| 171 |
Géodésiques du demi plan de Poincarré |
Soit $H = \{ z \in \mathbb{C} : Im(z) > 0 \}$. Soient $A,B \in H$ on pose $V = \{ v \in C^1 ( [0,1], H) , v(0) = A, v(1) = B \}$. Pour tout $v \in V$, on pose \r\r$$ E(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{v_1'(s)^2 + v_2'(s)^2}{ v_2(s)^2} ds $$\r\rSoit $v$ minimisant $E$. Alors $Im(v)$ est incluse soit dans une demi-droite verticale soit dans un demi-cercle centré sur l'axe des abscisses.\r |
2026-07-23T12:42:15.767205 |
2026-07-23T12:42:15.767206 |
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| 172 |
Lemme de Schwarz et biholomorphismes du disque |
Pour $a \in \mathbb{D}$ et $\lambda \in \mathbb{U}$, on pose \r\r$$ \varphi_{a,u}(z) = \lambda \frac{ a-z}{1 - \overline{a} z }$$\r\rdéfinie sur $\mathbb{D}$.\r\rL'ensemble des biholomorphismes du disque est exactement l'ensemble des applications $\varphi_{a,u}$. |
2026-07-23T12:42:15.767228 |
2026-07-23T12:42:15.767228 |
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| 173 |
Construction des corps finis |
On montre dans ce développement l'existence d'un polynôme irréductible de degré $n$ sur $\mathbb{F}_p[X]$. On crée alors un corps fini à $p^n$ éléments en prenant le corps de rupture de ce polynôme. |
2026-07-23T12:42:15.767242 |
2026-07-23T12:42:15.767242 |
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| 174 |
Chemin auto-évitants |
Un chemin auto-évitant est, informellement, un chemin sur $\mathbb{Z}^d$ qui ne passe pas deux fois par le même point et qui se déplace d'un point à un autre point à distance $1$.\r\rEn générant un chemin avec une loi de Bernoulli, on montre qu'il existe presque sûrement un chemin auto-évitant de longueur fini. On gère de plus le cas d'un chemin auto-évitant infini. |
2026-07-23T12:42:15.767262 |
2026-07-23T12:42:15.767262 |
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| 175 |
Critère de Weyl |
Soit une suite $(u_n)_{n\ge 1} \in [0,1]$. Pour tout $0 \le a \le b \le 1$, on note \r\r$$ X_n[a,b] = |\{ k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n : u_k \in [a,b] \} | $$\r\rLes assertions suivantes sont équivalentes :\r\r- $\forall 0 \le a \le b \le 1, \frac{ X_n[a,b]}{n} \to b-a$ \r- $\forall f \in C^0[0,1] , \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) \to \int_0^1 f$\r- $ \forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{i 2\pi p u_k} \to 0$\r |
2026-07-23T12:42:15.767299 |
2026-07-23T12:42:15.767300 |
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| 176 |
Échantillonage de Shannon |
On pose $BL^2 = \{ u \in L^2(\mathbb{R}) : \widehat{u}_{| \mathbb{R}\setminus I} = 0 \}$ où $I = [ -1/2 , 1/2]$.\r\rAlors \r- $BL^2$ est un espace de Hilbert\r- L'application $BL^2 \to l^2(\mathbb{Z})$ définie par $u \longmapsto (u(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ est une isométrie. |
2026-07-23T12:42:15.767321 |
2026-07-23T12:42:15.767322 |
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| 177 |
Équation de Sylvester : AX + BX = C |
Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ telles que $Sp_\mathbb{C}(A) \bigcup Sp_\mathbb{C}(B)= \{ \lambda : Re(\lambda) < 0 \}$. Alors pour tout $C \in M_n(\mathbb{R})$ l'équation $AX + BX = C$ admet une unique solution dans $M_n(\mathbb{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.767342 |
2026-07-23T12:42:15.767342 |
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| 178 |
Groupes d'ordre pq |
Soit $G$ un groupe d'ordre $pq$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers tels que $p < q$.\r\rSi $q \ot=1 [p]$ alors $G \simeq \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$.\r\rSi $q = 1[p]$ alors $G \simeq \mathbb{Z}/pq \mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \rtimes_\alpha \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ où $\alpha$ est un morphisme de groupe non trivial de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to Aut( \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}) $. |
2026-07-23T12:42:15.767371 |
2026-07-23T12:42:15.767371 |
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| 179 |
Méthode de Jacobi pour le calcul des vecteurs propres |
Soit $A \in S_n(\mathbb{R})$. La méthode de Jacobi consiste à définir la suite $(A_k)$ par $A_0 = A$, $A_{k+1} = A_k$ si $A_k$ est diagonale et\r$$ A_{k+1} = {}^t \Omega_{k+1} A_k \Omega_{k+1} $$\r\roù on définira la matrice $\Omega_k$.\r\rOn note $\lambda_i$ les valeurs propres de $A$. Alors il existe $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que \r\r$$ A_k \to_{k \to +\infty} \mathsf{diag}( \lambda_{\sigma(i)} )$$ |
2026-07-23T12:42:15.767400 |
2026-07-23T12:42:15.767400 |
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| 180 |
Morphisme d'algèbres sur C(K,R) |
Soit $K$ un espace métrique compact non vide.\r$C(K,R)$ est l'ensemble des applications continues de $K$ dans $R$.\rL'ensemble des morphismes d'algèbres de $C(K,R)$ dans $R$ sont les $ f \longmapsto f(s)$ pour un $s \in K$, ainsi que l'application nulle. |
2026-07-23T12:42:15.767419 |
2026-07-23T12:42:15.767419 |
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| 181 |
Groupe Circulaire |
Toute bijection de $P^1(\mathbb{C})$ préservant les cercles-droites appartient au groupe circulaire. |
2026-07-23T12:42:15.767429 |
2026-07-23T12:42:15.767429 |
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| 182 |
Théorème de Kronecker |
Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P(0) \ot=0$. Si toutes les racines de $P$ sont de module inférieur à $1$, alors ce sont des racines de l'unité. |
2026-07-23T12:42:15.767457 |
2026-07-23T12:42:15.767457 |
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| 183 |
Théorème de Dirichlet (fort) |
Soient $a$ et $b$ deux nombres premiers entre eux. Alors il existe une infinité de nombres premiers congrus à $a$ modulo $b$.\r\rDans ce développement qu'une partie de ce théorème. |
2026-07-23T12:42:15.767478 |
2026-07-23T12:42:15.767479 |
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| 184 |
Formule de Poisson discrète |
Soit $G$ un groupe abélien fini, $H$ un sous-groupe de $G$ et $f : G \to \mathbb{C}$. Alors pour tout $g \in G$, \r\r$$ \sum_{h \in H} f(gh) = \frac{ |H|}{|G|} \sum_{ \chi \in H^\#} \widehat{f} ( \overline{\chi} ) \chi(g) $$ |
2026-07-23T12:42:15.767510 |
2026-07-23T12:42:15.767511 |
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| 185 |
Dobble et géométrie projective |
On étudie la combinatoire du jeu de Dobble. Il s'agit d'un jeu de cartes construit ainsi. Sur chaque carte sont dessinés des symboles avec les propriétés suivantes :\r\rentre deux cartes il y a exactement un symbole en commun,\r\rpour toute paire de symbole il y a exactement une carte qui contient cette paire de symboles,\r\rtoute carte possède au moins trois symboles.\r\rUn tel jeu de cartes peut être réalisé en prenant les droites dans $P^2(K)$ où $K$ est un corps fini.\r |
2026-07-23T12:42:15.767545 |
2026-07-23T12:42:15.767546 |
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| 186 |
S4 est un groupe de pavage |
On donne une interprétation de la représentation irréductible de degré $2$ de $\mathfrak{S}_4$.\rEn particulier on montre pour cela l'isomorphisme\r\r$$ \mathfrak{S}_4 \simeq \langle t_1, t_{j^2}, r_{O, 2\pi/3} , s_{Ox} \rangle / \langle t_2 , t_{2j^2} \rangle $$ |
2026-07-23T12:42:15.767582 |
2026-07-23T12:42:15.767582 |
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| 187 |
Transformée de Fourier rapide |
Soient $P,Q \in \mathbb{R}_n[X]$, on peut calculer les coefficients de $P \dot{} Q$ en temps $O(n\ln(n))$. |
2026-07-23T12:42:15.767604 |
2026-07-23T12:42:15.767605 |
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| 188 |
Algorithme CYK |
Soit $G$ une grammaire donnée sous forme normale de Chomsky. Alors, étant donné un mot $w$, on peut tester si $w \in L(G)$ en temps $O(|w|^3)$. |
2026-07-23T12:42:15.767622 |
2026-07-23T12:42:15.767623 |
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| 189 |
Algorithmes exponentiels pour INDEP |
On y étudie plusieurs algorithmes exponentiels pour trouver l'ensemble indépendant de taille maximale d'un graphe. |
2026-07-23T12:42:15.767646 |
2026-07-23T12:42:15.767646 |
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| 190 |
Algorithme de Floyd-Warshall |
Soit $G = (S,A)$ et $w : A \to \mathbb{R}$ une fonction de poids. On peut trouver toutes les plus courtes distances entre les paires de sommet si $G$ n'a pas de cycle de poids négatif ou trouver un cycle de poids négatif en $O( |S|^3)$. |
2026-07-23T12:42:15.767668 |
2026-07-23T12:42:15.767668 |
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| 191 |
Algorithme KMP |
On étudie dans ce développement l'algorithme KMP permettant de trouver une occurence d'un sous-mot dans un mot. |
2026-07-23T12:42:15.767685 |
2026-07-23T12:42:15.767685 |
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| 192 |
Algorithme d'unification |
On montre que si l'algorithme d'unification termine avec $E_n = \emptyset$, alors la substitution $\sigma$ est l'unification la plus générale du système d'équations donné. S'il échoue alors le système d'équations n'a pas d'unification. |
2026-07-23T12:42:15.767712 |
2026-07-23T12:42:15.767712 |
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| 193 |
Arbres Splay |
Les arbres splay sont une structure de données permettant de réaliser en complexité amortie $O( \ln(n))$ les opérations suivantes : mem(i,s), ajout(i,s), supp(i,s), union(s,s'), pivote(i,s) qui se font à l'aide d'une opération élémentaire : l'opération splay. |
2026-07-23T12:42:15.767736 |
2026-07-23T12:42:15.767737 |
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| 194 |
Calcul de Premier et Suivant |
Étude de l'opération de calcul de \"premier\" et \"suivant\" dans un compilateur. |
2026-07-23T12:42:15.767758 |
2026-07-23T12:42:15.767759 |
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| 195 |
Complétude de la méthode de résolution |
Soit $\Sigma$ un ensemble de clauses contradictoires. Alors il existe un arbre de réfutation de $\Sigma$. |
2026-07-23T12:42:15.767773 |
2026-07-23T12:42:15.767773 |
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| 196 |
Constructivité de la logique intuitionniste |
On étudie la logique intuitionniste. |
2026-07-23T12:42:15.767782 |
2026-07-23T12:42:15.767782 |
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| 197 |
Décidabilité de l'arithmétique de Presburger |
La théorie du premier ordre des entiers munis de l'addition est décidable. |
2026-07-23T12:42:15.767792 |
2026-07-23T12:42:15.767792 |
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| 198 |
Fonctions récursives et Turing calculabilité |
Une fonction est Turing calculable si et seulement si elle est récursive. |
2026-07-23T12:42:15.767802 |
2026-07-23T12:42:15.767803 |
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| 199 |
Groupes totalement ordonnable |
Un groupe est dit totalement ordonnable s'il peut être muni d'un ordre total compatible avec l'opération de groupe.\r\rTout groupe abélien est totalement ordonnable ssi il est sans torsion. |
2026-07-23T12:42:15.767817 |
2026-07-23T12:42:15.767817 |
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| 200 |
Indécidabilité de la confluence et de la terminaison |
On montre que le Problème de Correspondance de Post est indécidable. |
2026-07-23T12:42:15.767827 |
2026-07-23T12:42:15.767827 |
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| 201 |
Algorithme de Kleene efficace |
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2026-07-23T12:42:15.767834 |
2026-07-23T12:42:15.767834 |
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| 202 |
Médiane en temps linéaire |
On peut trouver la médiane d'une liste d'éléments non triée en temps linéaire. |
2026-07-23T12:42:15.767844 |
2026-07-23T12:42:15.767844 |
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| 203 |
Problème du voyageur de commerce euclidien |
Le problème du voyageur de commerce est NP-complet. |
2026-07-23T12:42:15.767852 |
2026-07-23T12:42:15.767853 |
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| 204 |
Rationnalité du langage de pile |
Pour tout automate à pile $A$, le langage $L_A$ est rationnel. |
2026-07-23T12:42:15.767861 |
2026-07-23T12:42:15.767862 |
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| 205 |
Recherche des facteurs à distance d'édition au plus k |
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2026-07-23T12:42:15.767869 |
2026-07-23T12:42:15.767869 |
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| 206 |
Théorème de Cook |
SAT est NP-complet. |
2026-07-23T12:42:15.767876 |
2026-07-23T12:42:15.767877 |
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| 207 |
Théorie des ordres denses |
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2026-07-23T12:42:15.767883 |
2026-07-23T12:42:15.767883 |
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| 208 |
Théorème d'Immerman-Szelepcsergi |
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2026-07-23T12:42:15.767890 |
2026-07-23T12:42:15.767890 |
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| 209 |
Théorème de Rice |
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2026-07-23T12:42:15.767899 |
2026-07-23T12:42:15.767900 |
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| 210 |
Tri par tas |
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2026-07-23T12:42:15.767912 |
2026-07-23T12:42:15.767912 |
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| 211 |
Tri des suffixes |
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2026-07-23T12:42:15.767921 |
2026-07-23T12:42:15.767921 |
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| 213 |
Théorème de Glivenko-Cantelli |
Théorème [Glivenko-Cantelli] :\rSoit $(X_k)$ une suite de variables aléatoires iid. Soit $F : t \longmapsto P( X_1 \leq t)$ la fonction de répartition associée. Soit $F_n : t \longmapsto \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \mathbb{1}_{X_k \leq t}$. Alors $|| F_n - F ||_{\infty}$ tend vers $0$ presque surement lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\r\rRéf probable : Garet-Kurtzmann |
2026-07-23T12:42:15.767963 |
2026-07-23T12:42:15.767964 |
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| 214 |
Solution fondamentale de l'équation des ondes |
des distributionsrecasages à revoir |
2026-07-23T12:42:15.767977 |
2026-07-23T12:42:15.767977 |
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| 215 |
Percolation |
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2026-07-23T12:42:15.767986 |
2026-07-23T12:42:15.767986 |
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| 216 |
Méthode de Gauss et polynômes orthogonaux |
Sur l'approximation de l'intégration à poids. |
2026-07-23T12:42:15.768001 |
2026-07-23T12:42:15.768001 |
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| 217 |
Preuve de la factorielle en logique de Hoare |
On illustre l'utilisation des règles de Hoare en prouvant l'algorithme calculant la factorielle. Ce développement peut être aussi l'occasion également de parler des difficultés principales pour l'automatisation des preuves utilisant ce système. |
2026-07-23T12:42:15.768025 |
2026-07-23T12:42:15.768025 |
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| 218 |
Connexité de l'ensemble de Julia |
Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $\ge 2$.\rOn note $P_n = P \circ P \circ \cdots \circ P$ ($n$ facteurs).\rSoit $K_P = \{ z \in \mathbb{C} : (P_n(z))_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée } \}$.\rAlors $K_P$ est non vide, compact et $\mathbb{C} \setminus K_P$ est connexe par arcs. |
2026-07-23T12:42:15.768064 |
2026-07-23T12:42:15.768064 |
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| 219 |
Bicommutant |
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie.\rSoit $u \in L(E)$. \rOn note $C(u) = \{ v \in L(E) : u \circ v = v \circ u \}$.\r\rAlors $C(C(u)) = K[u]$. De plus $C(u) = K[u]$ ssi $u$ est cyclique. |
2026-07-23T12:42:15.768090 |
2026-07-23T12:42:15.768090 |
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| 220 |
Invariants de Smith |
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2026-07-23T12:42:15.768099 |
2026-07-23T12:42:15.768099 |
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| 222 |
Polynômes irréductibles sur Fq |
Soit $\mathbb{F}_q$ un corps fini de cardinal $q$ (puissance d'un nombre premier). Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, il existe un polynôme irréductible sur $\mathbb{F}_q$ de degré $n$. Le nombre de tels polynômes est équivalent à $\frac{q^n}{n}$ lorsque $n\to\infty$. |
2026-07-23T12:42:15.768131 |
2026-07-23T12:42:15.768131 |
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| 223 |
Théorème central limite |
Soit $X_n$ une suite de variables iid à valeurs dans $\mathbb{R}$ admettant un moment d'ordre 2. Alors\r\[Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}[X_i])\right]\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,Var(X_1)).\] |
2026-07-23T12:42:15.768167 |
2026-07-23T12:42:15.768168 |
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| 224 |
Extrema liés |
Soit $f,g_1,...,g_p:U\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ ($U\subset\mathbb{R}^n$ ouvert). Posons\r\[X=\{\omega\in U : g_1(\omega)=...=g_p(\omega)=0\}.\]\rSi la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $a\in X$ et si la famille $(D_ag_i)_{1\leq i\leq p}$ est linéairement indépendante, alors il existe $(\lambda_1,...,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ tels que \r\[D_af=\sum_{i=1}^p\lambda_iD_ag_i\]\rLes $(\lambda_i)_{1\leq i\leq p}$ sont appelés les multiplicateurs de Lagrange. |
2026-07-23T12:42:15.768241 |
2026-07-23T12:42:15.768242 |
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| 225 |
Equation de Hill-Mathieu |
On va s'intéresser à l'équation différentielle suivante\r\[(E) : y''+qy=0 \textrm{ où } q:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \textrm{ est continue, $\pi$-périodique et paire}\] |
2026-07-23T12:42:15.768278 |
2026-07-23T12:42:15.768279 |
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| 226 |
Nombre de zéros d'une équation différentielle |
On considère l'équation différentielle linéaire du second ordre $(E) : y''+qy=0$. On suppose que $q \in \mathcal{C}^1([a,+\infty[,\mathbb{R}^*_+)$, que $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \sqrt{q(u)}\mathrm{d}u=+\infty$ et que $q'(x)=o_{+\infty}(q^{3/2}(x))$. Alors pour toute solution $y$ non nulle de $(E)$, on a un équivalent à l'infini de $N : x \mapsto \mathrm{Card} \left\lbrace u \in [a,x]: y(u)=0 \right\rbrace$ donné par $N(x) \sim \frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{a}^x \sqrt{q(u)} \mathrm{d}u$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.768347 |
2026-07-23T12:42:15.768348 |
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| 227 |
Etude de O(p,q) |
Le groupe orthogonal de la forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ représentée dans la base canonique par la matrice $I_{p,q}=\begin{pmatrix}\rI_p & 0 \\ \r0 & -I_q\r\end{pmatrix}$, où $p+q=n$ est noté $O(p,q)$. On a un homéomorphisme $O(p,q) \simeq O_p(\mathbb{R}) \times O_q(\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{pq}$. |
2026-07-23T12:42:15.768387 |
2026-07-23T12:42:15.768388 |
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| 228 |
Diagonalisation des opérateurs symétriques compacts |
Soit $H$ un Hilbert et $T \in \mathcal{L}(H)$ un opérateur symétrique compact non nul. Il existe $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ base hilbertienne de $H$ constituée de vecteurs propres de $T$. La suite des valeurs propres de $T$, notée $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers 0 et pour tout $x \in H$, $T(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \lambda_n \langle x, e_n \rangle e_n$. |
2026-07-23T12:42:15.768431 |
2026-07-23T12:42:15.768432 |
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| 229 |
Inversion de la fonction caractéristique |
Soit $\mu$ mesure de probabilité sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et $\varphi : t \mapsto \displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{itx} \mathrm{d}\mu(x)$ sa fonction caractéristique. Alors si $a < b$,\r\r$$ \mu(]a,b[)+\frac{1}{2} \mu(\left\{ a,b \right\})=\lim\limits_{T \rightarrow + \infty} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it} \varphi(t) \mathrm{d}t$$ |
2026-07-23T12:42:15.768488 |
2026-07-23T12:42:15.768488 |
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| 231 |
Décomposition LU et décomposition de Cholesky |
On montrera dans ce développement la factorisation LU : \rSoit une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ d'ordre $n$ dont toutes les sous-matrices diagonales \r\[\Delta_k=\r\begin{pmatrix}\r a_{11} & . & . & a_{1k} \\\r . & . & . & . \\\r . & . & . & . \\\r a_{k1} & . & . & a_{kk} \r\end{pmatrix}\r\]\rsont inversibles. Il existe un unique couple $(L,U)$ avec $U$ triangulaire supérieure et $L$ triangulaire inférieure à diagonale unité tel que \r\[A=LU.\]\r\rmais aussi la décomposition de Cholesky : \r\rSoit $A$ une matrice symétrique réelle définie positive. Il existe une unique matrice réelle $B$ triangulaire inférieure, telle que tous ses éléments diagonaux sont strictement positifs et qui vérifie : \r\[A=B^tB.\] |
2026-07-23T12:42:15.768558 |
2026-07-23T12:42:15.768558 |
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| 232 |
Théorème de Lie-Kolchin |
Tout sous-groupe connexe et résoluble de $GL(n,\mathbb{C})$ est simultanément trigonalisable. |
2026-07-23T12:42:15.768578 |
2026-07-23T12:42:15.768578 |
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| 233 |
Espace de Bergman du disque unité |
L'espace de Bergman du disque unité est $B^2( \mathbb{D} ) := Hol(\mathbb{D}) \cap L^2(\mathbb{D} )$.\r$(B^2(\mathbb{D} ) , \|.\|_{L^2} )$ est un espace de Hilbert.\rUne base hilbertienne de cet espace est $(z \mapsto z^n.\sqrt{\frac{n+1}{\pi}})_n$.\rDe plus, $B^2(\mathbb{D} )$ possède un noyau de reproduction, $K_{B^2(\mathbb{D})}(z;w) := \frac{1}{\pi}.\frac{1}{(1-\overline{w}z)^2}$, qui vérifie :\r- $\overline{K_{B^2(\mathbb{D})}(z;.)} \in B^2( \mathbb{D} )$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$\r- $f(z) = \iint_{\mathbb{D}} K(z;w)f(w) dxdy$, $\forall $f$ \in B^2(\mathbb{D})$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$. |
2026-07-23T12:42:15.768651 |
2026-07-23T12:42:15.768651 |
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| 234 |
Théorème de Koenigs |
Soit $\varphi : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ holomorphe non-bijective, ayant un point fixe $\alpha \in \mathbb{D}$, avec $\varphi'(\alpha) \eq 0$.\rAlors les valeurs propres de l'opérateur $C_{\varphi} : \begin{array}{ccc} & Hol(\mathbb{D}) & \to & Hol(\mathbb{D}) \\\r& f & \mapsto & f \circ \varphi \end{array} $ sont exactement les $\varphi'(\alpha)^n$, $\forall n \geq 0$.\r |
2026-07-23T12:42:15.768709 |
2026-07-23T12:42:15.768709 |
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| 237 |
[L_p complet !! Doublon : ne pas utiliser] |
existe déjà\rauto destruction de ce dév annoncée |
2026-07-23T12:42:15.768727 |
2026-07-23T12:42:15.768727 |
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| 238 |
Intégrale de Fresnel |
On calcule l'intégrale\r\[\r\int_0^{\infty} e^{ix^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{i\pi/4}\r\] |
2026-07-23T12:42:15.768757 |
2026-07-23T12:42:15.768757 |
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| 241 |
Isomorphisme kleinien |
On donne un isomorphisme $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_9) \simeq \mathfrak{A}_6$. Référence : Dieudonné : les isomorphismes exceptionnels entre groupes finis. |
2026-07-23T12:42:15.768782 |
2026-07-23T12:42:15.768782 |
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| 243 |
Algorithme du gradient à pas optimal |
Preuve usuelle de la convergence de l'algorithme du gradient à pas optimal dans le cadre d'une fonction $\Phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ supposé $\alpha$-convexe et de classe $\mathcal{C}^1$. |
2026-07-23T12:42:15.768851 |
2026-07-23T12:42:15.768851 |
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| 244 |
Base de Burnside |
Soit $G$ un $p$-groupe, alors toutes les parties génératrices minimales de $G$ ont le même cardinal. |
2026-07-23T12:42:15.768869 |
2026-07-23T12:42:15.768870 |
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| 245 |
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre |
En étudiant l'action de $Isom^+$ sur les diagonales du cube et de $Isom$ sur les sommets du tétraèdre, on détermine les groupes d'isométries de ceux-ci. |
2026-07-23T12:42:15.768894 |
2026-07-23T12:42:15.768895 |
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| 246 |
Théorème de Perron Frobenius pour les matrices à coefficients strictement positifs |
Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$ à coefficients strictement positifs. Alors $\rho(A)$, qui est le module maximal des valeurs propres de $A$, est une valeur propre simple de $A$. De plus il n'y a pas d'autres valeurs propres ayant pour module $\rho(A)$.\r |
2026-07-23T12:42:15.768927 |
2026-07-23T12:42:15.768928 |
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| 247 |
Théorie de Polya |
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2026-07-23T12:42:15.768941 |
2026-07-23T12:42:15.768941 |
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| 249 |
Opérateurs hypercycliques |
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2026-07-23T12:42:15.768955 |
2026-07-23T12:42:15.768955 |
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| 250 |
Corollaire du théorème de Pascal (coniques) |
Soient $A$,$B$,$C$ trois points du plan affine non alignés. Soient $M$,$N$ deux points du plan non situés sur les côtés du triangle. Soient $M_{A}$,$M_{B}$,$M_{C}$ les intersections de $(MA)$ avec $(BC)$, $(MB)$ avec $(AC)$, et $(MC)$ avec $(AB)$. Idem pour $N_{A}$,$N_{B}$,$N_{C}$. Alors $M_{A}$,$M_{B}$,$M_{C}$,$N_{A}$,$N_{B}$,$N_{C}$ sont sur une même conique.\r\rRéférence: Eiden - Géométrie analytique classique\rp. 92 (énoncé) et p. 94-96 (démonstration) |
2026-07-23T12:42:15.768989 |
2026-07-23T12:42:15.768990 |
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| 251 |
Théorème de Banach-Alaoglu |
Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$\r Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.769066 |
2026-07-23T12:42:15.769067 |
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| 252 |
Erreur [c'est quoi ce développement ?] |
Si qqun sait envoyer un mail à admin@agreg-maths.fr |
2026-07-23T12:42:15.769085 |
2026-07-23T12:42:15.769085 |
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| 253 |
Loi de réciprocité quadratique |
Soit $p,l$ deux nombres premiers distincts différents de 2\r\[\left(\frac{p}{l}\right)\left(\frac{l}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(l-1)}{4}}\]\roù \r\[\left(\frac{x}{p}\right)=\left\{\r\begin{array}{ll}\r1 & \textrm{si $x$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^*$} \\\r0 & \textrm{si $x=0$}\\\r-1 & \textrm{sinon}\r\end{array}\r\right.\] |
2026-07-23T12:42:15.769144 |
2026-07-23T12:42:15.769145 |
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| 254 |
Classes de similitude de GL2(Fq) [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.769159 |
2026-07-23T12:42:15.769159 |
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| 255 |
Théorème de Cartan-Dieudonné |
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2026-07-23T12:42:15.769173 |
2026-07-23T12:42:15.769173 |
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| 256 |
Projection sur un convexe fermé |
Dans un espace de Hilbert $(H,<.,.>)$ , soit $C$ un convexe fermé.\rPour tout $x$ dans $H$, il existe un unique $y= P_C(x)$ tel que $||x-y||=inf_{\forall z \in C} ||x-z||$ .\rEt $P_C(x)$ est caractérisé par la propriété suivante : $\forall z \in C ~ Re( < z-x , y-x > ) ~ \leq 0 $\r\rVous pouvez aller jusqu'à montrer le théorème de Riesz si vous avez envie ;)\rRmq : vous pouvez vous restreindre au cas réel mais la difficulté est la même ;)\r\r |
2026-07-23T12:42:15.769215 |
2026-07-23T12:42:15.769215 |
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| 257 |
Théorème de Montel |
Énoncé : Soit $\Omega \subset \mathbb{C}$ un ouvert et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ des fonctions holomorphes sur $\Omega$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : \r -- Pour tout $K\subset \Omega$ compact, il existe une constante $M_K \in \mathbb{C}_+^*$ telle que, pour tout $f \in \mathcal{A}$, $\|f\|_{\infty, K}\leq M_K$. \r -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.\r |
2026-07-23T12:42:15.769270 |
2026-07-23T12:42:15.769270 |
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| 258 |
Compacité forte dans Lp |
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2026-07-23T12:42:15.769283 |
2026-07-23T12:42:15.769284 |
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| 259 |
Théorème de Stone-Weierstrass |
Soit $X$ un espace métrique compact non vide. Soit $H$ une sous-algèbre de $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$\rséparante et contenant les fonctions constantes. Alors $H$ est dense pour la norme uniforme $||.||_{\infty}$.\r\rRéférence : Hirsch, Lacombe - \"Eléments d'analyse fonctionnelle\" p. 29\r\rLe recasage dans la leçon série de Fourier vient du fait qu'on peut démontrer une version trigonométrique à partir de celle-ci (cf p. 30-31) |
2026-07-23T12:42:15.769324 |
2026-07-23T12:42:15.769324 |
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| 261 |
Table de caractère de S3 et A4 |
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2026-07-23T12:42:15.769338 |
2026-07-23T12:42:15.769338 |
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| 262 |
Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K) |
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2026-07-23T12:42:15.769352 |
2026-07-23T12:42:15.769352 |
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| 263 |
Endomorphisme autoadjoint, réduction simultanée |
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2026-07-23T12:42:15.769377 |
2026-07-23T12:42:15.769378 |
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| 265 |
Théorème de Fejer |
Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$-périodique, alors $\sigma_n(f)$ converge uniformément vers $f$.\r\rIl y a aussi la version $L^p$.\r |
2026-07-23T12:42:15.769396 |
2026-07-23T12:42:15.769396 |
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| 266 |
Méthode de la phase stationnaire |
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2026-07-23T12:42:15.769402 |
2026-07-23T12:42:15.769403 |
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| 268 |
Fonction caractéristique de Cauchy |
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2026-07-23T12:42:15.769409 |
2026-07-23T12:42:15.769409 |
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| 269 |
Equation de Mordell y^2 = 2 + x^3 |
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2026-07-23T12:42:15.769420 |
2026-07-23T12:42:15.769420 |
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| 270 |
Mise sous forme échelonnée |
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2026-07-23T12:42:15.769426 |
2026-07-23T12:42:15.769426 |
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| 271 |
Groupe dérivé de Gln(K) (K,n) différent de (F2,2) |
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2026-07-23T12:42:15.769433 |
2026-07-23T12:42:15.769433 |
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| 272 |
Caylay-Hamilton (fort) [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.769440 |
2026-07-23T12:42:15.769440 |
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| 273 |
Séries (non) commutativement convergente |
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2026-07-23T12:42:15.769446 |
2026-07-23T12:42:15.769447 |
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| 274 |
Théorème de prolongement de Tietze |
Soit $(X,d)$ un espace métrique, $Y$ un fermé de $X$, $g_0 :Y\rightarrow\mathbb{R}$ continue, alors $g_0$ admet un prolongement continu $f_0:X\rightarrow\mathbb{R}$.\r |
2026-07-23T12:42:15.769462 |
2026-07-23T12:42:15.769462 |
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| 275 |
Un anneau principal non euclidien |
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2026-07-23T12:42:15.769468 |
2026-07-23T12:42:15.769468 |
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| 276 |
Dénombrement des solutions d'une équation diophantienne |
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2026-07-23T12:42:15.769476 |
2026-07-23T12:42:15.769476 |
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| 277 |
Sous-espace stable par translation |
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2026-07-23T12:42:15.769482 |
2026-07-23T12:42:15.769482 |
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| 278 |
Conique et déterminant |
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2026-07-23T12:42:15.769488 |
2026-07-23T12:42:15.769488 |
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| 279 |
Théorème de Gauss-Lucas |
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2026-07-23T12:42:15.769494 |
2026-07-23T12:42:15.769494 |
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| 280 |
Plusieurs méthode de calcul de l'intégrale de Gauss |
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2026-07-23T12:42:15.769501 |
2026-07-23T12:42:15.769501 |
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| 281 |
Etude de y''+qy=0 |
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2026-07-23T12:42:15.769508 |
2026-07-23T12:42:15.769508 |
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| 282 |
Schéma numérique pour l'équation de la chaleur |
Dans Allaire.\rOn montre que le schéma explicite est stable et que l'implicite est instable dans L^2 avec la transformée de Fourier discrète. |
2026-07-23T12:42:15.769521 |
2026-07-23T12:42:15.769521 |
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| 283 |
Système proie-prédateur |
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2026-07-23T12:42:15.769527 |
2026-07-23T12:42:15.769527 |
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| 284 |
Etude des polynômes alternés |
Soit A un anneau intègre, et $n \geq 1$.\rOn appelle polynômes alternés les éléments de $A[X_1,\dot,X_n]^{A_n}$.\rSoient $V_n := \Pi_{i < j } X_i-X_j$, $U_n := \Pi_{i < j } X_i+X_j$.\rLe polynôme $W_n := \frac{V_n+U_n}{2}$ est à coefficients entiers, donc vit dans $A[X_1,\dot,X_n]$.\rPour tout polynôme alterné P, il existe des polynômes symétriques $Q,R$ tels que $P = Q + W_n.R$. |
2026-07-23T12:42:15.769550 |
2026-07-23T12:42:15.769550 |
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| 327 |
Analyse du tri rapide randomisé |
Pire cas quadratique, cas moyen en n.log(n)\rref : Cormen |
2026-07-23T12:42:15.770114 |
2026-07-23T12:42:15.770114 |
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| 285 |
Ordre moyen de l'indicatrice d'Euler et de $\sigma$ |
Un ordre moyen de $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ mesurable telle que $\sum_{n \leq x } \sim \int_0^x g(t)dt$ pour $x \to +\infty$. \rUn ordre moyen de $\sigma(n)=\sum_{d|n} d$ est $x \mapsto \frac{\pi^2}{6}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{\pi^2}{12}x^2 + O(xlog(x))$.\rUn ordre moyen de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ est $x \mapsto \frac{6}{\pi^2}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{3}{\pi^2}x^2 + O(xlog(x))$. |
2026-07-23T12:42:15.769591 |
2026-07-23T12:42:15.769591 |
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| 286 |
Différentiabilité de l'exponentielle de matrices |
Ref : Rouvière, Exercice 101 page 297 : Exercice éponyme annoté (version dure).\r\rEn supposant que l'exponentielle est différentiable, on en donne son expression en tout point.\rLe premier point est la résolution de deux équations différentielles (linéaires), d'où le recasage.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.769610 |
2026-07-23T12:42:15.769610 |
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| 287 |
Théorème de Bernstein pour les séries entières |
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2026-07-23T12:42:15.769617 |
2026-07-23T12:42:15.769617 |
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| 288 |
Lemme de Kronecker et loi forte des grands nombres |
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2026-07-23T12:42:15.769624 |
2026-07-23T12:42:15.769624 |
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| 289 |
Dual de Lp |
Si $1 < p < 2$, alors le dual de $L^p([0,1])$ est $L^q([0,1])$. |
2026-07-23T12:42:15.769632 |
2026-07-23T12:42:15.769633 |
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| 290 |
Table de caractères de S4 par les isométries positives du cube, étude des sous-groupes distingués |
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2026-07-23T12:42:15.769640 |
2026-07-23T12:42:15.769640 |
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| 291 |
Cardinal du cône nilpotent |
Le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd à coefficients dans Fq est $$n_d=q^{d(d-1)}$$ |
2026-07-23T12:42:15.769650 |
2026-07-23T12:42:15.769650 |
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| 292 |
Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id |
$$SO_3\simeq SU_2/\{\pm I_d\}$$ |
2026-07-23T12:42:15.769660 |
2026-07-23T12:42:15.769660 |
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| 293 |
Primalité des nombres de Mersenne |
On note $M_q=2^q-1$ le q-ième nombre de Mersenne. Pour tout $q$ premier impair :\r$$M_q\text{ premier }\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{2^{q-1}}\equiv -1\text{ mod }M_q$$ |
2026-07-23T12:42:15.769675 |
2026-07-23T12:42:15.769675 |
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| 294 |
Formes de Hankel |
On associe une forme quadratique réelle $\sigma$ de signature $(p,q)$ à un polynôme réel $P$ de manière à ce que $p+q$ soit le nombre de racines distinctes de $P$ et $p-q$ le nombre de racines réelles. |
2026-07-23T12:42:15.769688 |
2026-07-23T12:42:15.769688 |
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| 295 |
Hahn-Banach géométrique |
Soient $E$ un espace affine réel de dimension finie, $A$ un ouvert convexe, $L$ un sous-espace affine tel que $L\cap A=\emptyset$.\rAlors il existe $H$ un hyperplan tel que $L\subset H$ et $H\cup A=\emptyset$ |
2026-07-23T12:42:15.769703 |
2026-07-23T12:42:15.769704 |
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| 296 |
Théorème de Liapounov |
Soit le système différentiel\r$$y^\prime = f(y), y(0)=x$$\ravec $f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ et $f(0)=0$. Si la matrice $Df(0)$ a toutes ses valeurs propres strictement négative, l'origine est un point d'équilibre attractif du système différentiel : pour tout $x$ assez voisin de $0$, $y(t)$ tend vers $0$ exponentiellement quand $t \rightarrow \infty$.\r\rRéférence : Rouvière, p. 143 (énoncé), p. 138-143 (démonstration) |
2026-07-23T12:42:15.769729 |
2026-07-23T12:42:15.769729 |
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| 297 |
Intégrale de Dirichlet |
L'intégrale $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ est semi-convergente, et sa valeur est $\frac{\pi}{2}$.\r |
2026-07-23T12:42:15.769743 |
2026-07-23T12:42:15.769744 |
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| 298 |
Caractérisation forme linéaire continue [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.769750 |
2026-07-23T12:42:15.769751 |
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| 299 |
Theorème de Schauder |
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2026-07-23T12:42:15.769756 |
2026-07-23T12:42:15.769757 |
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| 300 |
Theorème de Householder et conséquence sur le rayon spectral |
Thm Householder : rayon spectral = inf ||A|| pour ||.|| norme subordonnée\rCsqce : rayon spectral = lim ||A^n||^(1/n) pour ||.|| norme subordonnée quelconque |
2026-07-23T12:42:15.769769 |
2026-07-23T12:42:15.769769 |
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| 301 |
Jeu de pile ou face de Lebesgue |
Faute dans le livre, à corriger |
2026-07-23T12:42:15.769777 |
2026-07-23T12:42:15.769777 |
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| 302 |
Caractérisation de la convergence en probabilités et L0 complet |
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2026-07-23T12:42:15.769784 |
2026-07-23T12:42:15.769785 |
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| 306 |
Formule de Stirling (par le théorème central limite) |
On applique le théorème central limite à des v.a. i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ et on retrouve la formule de Stirling :\r\[n!\sim \sqrt{2\pi}\, n^{n+\frac{1}{2}}\, \mathrm{e}^{-n}\] |
2026-07-23T12:42:15.769803 |
2026-07-23T12:42:15.769803 |
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| 307 |
Classification des isométries du plan [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.769810 |
2026-07-23T12:42:15.769810 |
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| 308 |
Différentielle du déterminant |
Soit la fonction \r\[\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}.\]\rOn a donc pour tout $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et pour tout $H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,\r\[D_X\det.H=\textrm{Tr}(^t\textrm{Com}(X).H).\]\r\rpuis une application \r\rSoit $y_1,...,y_n$ des solutions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ du système différentiel $y'(t)=A(t)y(t)$, où $A(t)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est une fonction continue et soit $w(t)=\det(y_1(t),...,y_n(t))$ leur déterminant wronskien. \r\rAlors $w'(t)=\textrm{Tr}(A(t))w(t)$. De plus, si $A$ est constante, $\det(e^{tA})=e^{t\textrm{Tr}(A)}$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.769851 |
2026-07-23T12:42:15.769852 |
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| 309 |
Fermat pour n=2 et 4 |
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2026-07-23T12:42:15.769857 |
2026-07-23T12:42:15.769858 |
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| 310 |
Théorème d'Ascoli |
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2026-07-23T12:42:15.769864 |
2026-07-23T12:42:15.769864 |
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| 311 |
Slim |
Groupe diedral |
2026-07-23T12:42:15.769871 |
2026-07-23T12:42:15.769872 |
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| 312 |
Evènements rares de Poisson |
Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, une famille finie $\{A_{n,j}, 1\leq j\leq M_n\}$ d'évènements indépendants définis sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On pose $\mathbb{P}(A_{n,j})=p_{n,j}$ et on note\r\[S_n=\sum_{i=1}^{M_n}\chi_{A_{n,j}}.\]\rOn suppose que\r • $(M_n)$ tend en croissant vers $+\infty$ \r • $\underset{1\leq j\leq M_n}{\max}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$.\r • $\sum_{j=1}^{M_n}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lambda>0$.\rAlors la suite $(S_n)$ converge en loi vers la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. |
2026-07-23T12:42:15.769915 |
2026-07-23T12:42:15.769915 |
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| 313 |
Théorème de Cramér-Lévy |
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2026-07-23T12:42:15.769921 |
2026-07-23T12:42:15.769922 |
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| 314 |
Lemme de Maschke |
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2026-07-23T12:42:15.769927 |
2026-07-23T12:42:15.769927 |
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| 315 |
Estimateur du maximum de vraisemblance |
Soit $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi $\mathbb{P}_\theta=\mathcal{U}([0,\theta])$ avec $\theta>0$. On note $\hat{\theta}_n$ l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre $\theta$. Alors\r• $\hat{\theta}_n=\underset{1\leq i\leq n}{\max}X_i$\r• $\hat{\theta}_n$ est biaisé car $\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\frac{n}{n+1}\theta$.\r• $\hat{\theta}_n$ est fortement consistant ie $\hat{\theta}_n\overset{\mathbb{P}_\theta \textrm{ p.s}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}\theta$\r• La vitesse de convergence de $\hat{\theta}_n$ vers $\theta$ est $\frac{1}{n}$ car $n(\hat{\theta}_n-\theta)\overset{\mathcal{L}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}-\mathcal{E}\left(\frac{1}{\theta}\right)$.\r• Le risque quadratique vaut \r\[\mathbb{E}_\theta[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=\frac{2\theta}{(n+1)(n+2)}.\] |
2026-07-23T12:42:15.769993 |
2026-07-23T12:42:15.769993 |
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| 316 |
Classification des groupes d'ordre 8 |
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2026-07-23T12:42:15.770 |
2026-07-23T12:42:15.770 |
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| 317 |
C[X,Y]/(XY-1) est principal |
$\mathbb{C}[X,Y]/(XY-1)$ est principal |
2026-07-23T12:42:15.770009 |
2026-07-23T12:42:15.770009 |
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| 318 |
Surjectivité de l'exponentielle complexe |
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2026-07-23T12:42:15.770016 |
2026-07-23T12:42:15.770016 |
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| 319 |
Théorème de Helly |
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2026-07-23T12:42:15.770022 |
2026-07-23T12:42:15.770022 |
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| 322 |
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints |
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2026-07-23T12:42:15.770029 |
2026-07-23T12:42:15.770029 |
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| 323 |
Théorème de Prokhorov |
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2026-07-23T12:42:15.770035 |
2026-07-23T12:42:15.770035 |
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| 324 |
Théorème de Carathéodory |
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2026-07-23T12:42:15.770041 |
2026-07-23T12:42:15.770042 |
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| 325 |
Irrationalité de e et transcendance de la constante de Liouville |
On prouve à l'aide des séries numériques que $e$ est irrationnel puis que $\sum_{k=0}^{\infty} 10^{-k!}$, aussi connu sous le nom de constante de Liouville, est transcendant. |
2026-07-23T12:42:15.770057 |
2026-07-23T12:42:15.770058 |
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| 328 |
Séparation par automate NP-complet |
Input : k entier et S,T deux langages finis.\rOutput : Existe t'il un automate A à k états qui sépare S et T.\rCe problème est NP-complet.\r |
2026-07-23T12:42:15.770137 |
2026-07-23T12:42:15.770138 |
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| 329 |
Théorème de Savitch |
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2026-07-23T12:42:15.770151 |
2026-07-23T12:42:15.770151 |
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| 330 |
Application du théorème de compacité |
Preuve du théorème de compacité à partir du théorème de complétude et de celui de correction.\rPuis application aux graphes : un graphe est k-coloriable ssi tout sous graphe fini l'est. |
2026-07-23T12:42:15.770171 |
2026-07-23T12:42:15.770171 |
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| 331 |
Lemme des paires critiques |
ref : terms rewriting and all that |
2026-07-23T12:42:15.770179 |
2026-07-23T12:42:15.770179 |
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| 332 |
Exemple de grammaire LL(1) |
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2026-07-23T12:42:15.770185 |
2026-07-23T12:42:15.770185 |
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| 333 |
Arbres binaires de recherche optimaux |
ref : Cormen |
2026-07-23T12:42:15.770193 |
2026-07-23T12:42:15.770193 |
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| 334 |
Une involution est bijective |
Preuve en déduction naturelle. \rAssez court. |
2026-07-23T12:42:15.770201 |
2026-07-23T12:42:15.770201 |
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| 335 |
Théorème de cauchy-Lipschitz, via le Théorème des fonctions implicites |
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2026-07-23T12:42:15.770209 |
2026-07-23T12:42:15.770209 |
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| 336 |
Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact |
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2026-07-23T12:42:15.770216 |
2026-07-23T12:42:15.770216 |
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| 337 |
Décompostion de Bruhat et drapeaux |
Soit $K$ un corps, $n \geq 1$.\rPour tout $A \in GL_n(K)$, $A$ se décompose sous la forme : $A = T_1P_{\sigma}T_2$\roù $T_1,T_2$ sont des matrices triangulaires supérieures (inversibles) et où $P_{\sigma}$ est une matrice de permutation.\rDe plus, la matrice de permutation $P_{\sigma}$ est unique.\r\rOn peut alors appliquer ce résultat pour obtenir des propriétés sur l'action de $GL_n(K)$ sur l'ensemble des drapeaux de $K^n$. |
2026-07-23T12:42:15.770241 |
2026-07-23T12:42:15.770241 |
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| 338 |
Caractérisation loi normale |
Soient X et Y deux va iid de carré intégrable, d'espérance nulle et de variance égale à 1. Alors:\rX+Y est indépendante de X-Y si et seulement si X (et Y) suit une N(0,1). |
2026-07-23T12:42:15.770254 |
2026-07-23T12:42:15.770254 |
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| 339 |
Eisenstein à plusieurs indéterminées |
Démonstration d'eisenstein + cas où cont(P)=1.\rApplication à P dans K[X,Y] vu comme (K[X])[Y] ou (K[Y])[X]. |
2026-07-23T12:42:15.770265 |
2026-07-23T12:42:15.770265 |
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| 340 |
Jacobi ou Gauss-Seidel |
Comparaison de ces deux méthodes sur une matrice et sa transposée, comparaison des vitesses de convergence. |
2026-07-23T12:42:15.770274 |
2026-07-23T12:42:15.770275 |
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| 341 |
Schéma aux différences finies pour une équation elliptique (en dim 1) |
Résolution (via matrice du Laplacien) |
2026-07-23T12:42:15.770284 |
2026-07-23T12:42:15.770284 |
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| 342 |
Théorème de sortie des compacts |
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2026-07-23T12:42:15.770290 |
2026-07-23T12:42:15.770290 |
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| 343 |
Facteurs invariants |
Dans Serre ou Objectif Agregation |
2026-07-23T12:42:15.770297 |
2026-07-23T12:42:15.770297 |
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| 344 |
Combinatoire des chemins de Dyck |
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2026-07-23T12:42:15.770304 |
2026-07-23T12:42:15.770304 |
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| 345 |
Matrices de transfert |
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2026-07-23T12:42:15.770310 |
2026-07-23T12:42:15.770310 |
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| 346 |
Isomorphisme entre GLn(K) et GLm(L) |
Soient $K$ et $L$ deux corps commutatifs de caractéristique différente de 2, $GL_n(K)$ est isomorphe à $GL_n(K)$ ssi $n=m$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.770321 |
2026-07-23T12:42:15.770321 |
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| 347 |
Sous-groupes arbitrairement petits de GLn(K) |
$GL_n(\mathbb{K})$ ne possède pas de groupe arbitrairement petit.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.770332 |
2026-07-23T12:42:15.770332 |
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| 348 |
Prolongement d'applications uniformément continues définies sur une partie dense |
Prolongement d'applications uniformément continues définis sur une partie dense.\rIllustration par la construction de l'intégrale de Rieman.\r\rRéf.: Marco |
2026-07-23T12:42:15.770365 |
2026-07-23T12:42:15.770366 |
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| 350 |
Suite de polygones |
On part d'un polygone quelconque, et à chaque étape, on construit le polygone formé par les milieux des arêtes du polygone précédent.\rOn montre alors que cette suite de polygone converge vers un point qui est l'isobarycentre du polygone de départ. |
2026-07-23T12:42:15.770397 |
2026-07-23T12:42:15.770397 |
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| 351 |
Un théorème de Cartan et Von Neumann |
$\textbf{Théorème}$. Soit $G$ un sous-groupe fermé de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$, alors $G$ est une sous-variété de $\mathbb{R}^{n^2}$ dont l'espace tangent en l'identité est donné par : $$\mathfrak{g}:=\{X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\textrm{ t.q. }\forall t\in\mathbb{R},\exp(tX)\in G\}.$$ |
2026-07-23T12:42:15.770421 |
2026-07-23T12:42:15.770422 |
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| 352 |
Le théorème de Gauss-Lucas et une application |
$\textbf{Théorème.}$ Soit $P$ un polynôme non constant à coefficients complexes, alors les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe de celles de $P$.\r\r$\textbf{Application.}$ Il existe un plus grand entier $n\geqslant 2$ tel que les racines complexes non nulles de $(X+1)^n-X^n-1$ soient de modules $1$, il s'agit de $7$. |
2026-07-23T12:42:15.770442 |
2026-07-23T12:42:15.770443 |
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| 353 |
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini |
$\textbf{Théorème.}$ Soit $n$ un entier naturel non nul, on note $N_q(n)$ le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$, alors, on a :\r$$N_q(n)=\frac{1}{n}\sum_{d\vert n}q^d\mu\left(\frac{n}{d}\right).$$ |
2026-07-23T12:42:15.770464 |
2026-07-23T12:42:15.770464 |
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| 354 |
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini |
$\textbf{Théorème.}$ On a les isomorphismes de groupes suivants :\r(1) $\textrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathfrak{S}_3$.\r(2) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{S}_4$ et $\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{A}_4$.\r(3) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_4)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\cong\mathfrak{A}_5$. |
2026-07-23T12:42:15.770498 |
2026-07-23T12:42:15.770498 |
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| 355 |
Théorème de Carathéodory et équations diophantiennes |
Le théorème de Carathéodory + si $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$, $Ax=0$ admet une solution dans $\mathbb{N}^n$ non nulle si et seulement si $0$ est dans l'enveloppe convexe des colonnes de $A$. |
2026-07-23T12:42:15.770513 |
2026-07-23T12:42:15.770514 |
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| 356 |
Processus de Poisson |
Étude d'un processus de comptage pouvant modéliser les files d'attente. |
2026-07-23T12:42:15.770523 |
2026-07-23T12:42:15.770524 |
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| 357 |
Points extrémaux de la boule unité de L(E) |
Pour la norme $\| \cdot \|_2$, les points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{L}(E)$ sont les éléments de $O(E)$. |
2026-07-23T12:42:15.770536 |
2026-07-23T12:42:15.770537 |
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| 358 |
Dénombrement des colorations du cube |
Deux colorations des faces d'un cube sont les mêmes si on peut passer de l'une à l'autre par une isométrie du dodécaèdre.\rSi on s'autorise $c$ couleurs, combien y a t'il de colorations différentes ?\rLa réponse :\r \[\r \frac{c^2}{24} ( c^4 + 3c^2 + 12c + 8 )\r \]\r |
2026-07-23T12:42:15.770557 |
2026-07-23T12:42:15.770558 |
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| 359 |
Classification des groupes d'ordre p^2 |
On montre que tout groupe d'ordre $p^2$ (où $p$ est un nombre premier) est isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ ou à $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$. |
2026-07-23T12:42:15.770571 |
2026-07-23T12:42:15.770572 |
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| 360 |
Condition de parité de Gale |
Soit $C(d,n)$ un polytope cyclique engendré par $t_1 < ... < t_n$. Alors un sous-ensemble $S$ de $[1,n]$ est tel que $\{t_i \colon i \in S\}$ est une facette de $C(d,n)$ si et seulement si $S$ vérifie la condition de parité de Gale et que $|S| = d$.\r |
2026-07-23T12:42:15.770588 |
2026-07-23T12:42:15.770588 |
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| 361 |
Dénombrement des involutions |
On note l'ensemble des involutions $\mathfrak{I}_n = \{ \sigma \in \mathfrak{S}_n : \sigma^2 = \mathsf{id} \}$ et leur cardinal $I_n = |\mathfrak{I}_n|$. Alors :\r \r \[\r I_n = \sum_{k=0}^{ E(n/2)} \frac{ n!}{ k! (n-2k)! 2^k }\r \] |
2026-07-23T12:42:15.770611 |
2026-07-23T12:42:15.770611 |
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| 362 |
Equation de Pell-Fermat |
On résoud\r\r\[\rx^2 - d y^2 = 1\r\]\r |
2026-07-23T12:42:15.770622 |
2026-07-23T12:42:15.770622 |
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| 363 |
Équation de Nagell-Ramanujan |
On montre que l'équation \r\[\rx^2 + 3 = 2^n \r\]\rn'admet que deux solutions $(x=1, n=2)$ et $(x=-1,n=2)$. |
2026-07-23T12:42:15.770635 |
2026-07-23T12:42:15.770635 |
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| 364 |
Étude du theta-schéma pour l'équation de la chaleur |
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2026-07-23T12:42:15.770643 |
2026-07-23T12:42:15.770643 |
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| 366 |
Méthode de Kacmarz |
Soit $A \in GL_n(R)$ et $b \in R^n$. On cherche la solution $x \in R^n$ du système Ax= b$. La méthode de Kacmarz consiste à construire une suite récurrente en projetant sur des hyperplans bien choisis. |
2026-07-23T12:42:15.770667 |
2026-07-23T12:42:15.770667 |
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| 367 |
Méthode de la sécante |
Un peu comme Newton |
2026-07-23T12:42:15.770674 |
2026-07-23T12:42:15.770674 |
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| 368 |
Etude de l'espace L1 dont la transformée de Fourier est L1 |
Le but est plus ou moins de prouver le théorème de Fourier-Plancherel à partir de cette espace.\rUn développement avec pas mal de petits résultats simples.\r\r\rSi quelqu'un veut me le taper en LaTex, envoyez-le moi à j.lhabouz@gmail.com\rJe peux l'écrire en noir au lieu du bleu pour que ce soit un peu plus lisible aussi |
2026-07-23T12:42:15.770693 |
2026-07-23T12:42:15.770693 |
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| 369 |
Sous-espaces vectoriels de C(R,R) engendrés par les translatés |
Les translatés de $f\in \mathcal C(\mathbb R, \mathbb R)$ engendrent un sous-espace vectoriel de dimension finie si et seulement si $f$ est solution d'une équation linéaire homogène à coefficients constants. |
2026-07-23T12:42:15.770711 |
2026-07-23T12:42:15.770711 |
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| 372 |
Une équation différentielle en dimension finie |
Soit f:\R\rightarrow\R une fonction dérivable telle que l'espace E=Vect(x\mapsto f(x+a)|a\in\R) est de dimension finie. Alors la fonction f est de classe C^\infty, la dérivation induit un isomorphisme sur E et les fonctions E satisfont toutes une même équation différentielle. |
2026-07-23T12:42:15.770731 |
2026-07-23T12:42:15.770731 |
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| 373 |
Calculabilité du Castor affairé |
La fonction dite du castor affairé n'est pas calculable. |
2026-07-23T12:42:15.770741 |
2026-07-23T12:42:15.770741 |
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| 374 |
Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables |
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2026-07-23T12:42:15.770750 |
2026-07-23T12:42:15.770750 |
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| 375 |
Table des caractères des groupes non abéliens d'ordre 8 |
Tous les groupes non abéliens d'ordre 8 ont la même table des caractères, la caractérisation \"G est un groupe abélien fini d'ordre 8\" suffit à dresser sa table des caractères. |
2026-07-23T12:42:15.770764 |
2026-07-23T12:42:15.770765 |
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| 378 |
Postulat de Bertrand |
Quelque soit n, il existe au moins un nombre premier entre n et 2n.\rCette conjecture fut démontrée pour la première fois par Tchebytchev |
2026-07-23T12:42:15.770775 |
2026-07-23T12:42:15.770776 |
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| 379 |
Fonctions calculables en temps récursif primitif, énumérations des fonctions récursives primitives |
Une fonction $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ est récursive primitive si et seulement si elle est calculable en temps récursif primitif par une machine de Turing. \r\rApplication : Il existe une fonction $\phi:\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}$ récursive telle que $\{\phi(i,\cdot)|i\in\mathbb{N}\}$ est exactement l'ensemble $\{f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}|f \text{est récursive primitive}\}$. De plus une telle application est nécessairement non récursive primitive. |
2026-07-23T12:42:15.770810 |
2026-07-23T12:42:15.770811 |
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| 380 |
Théorème de Lévy |
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2026-07-23T12:42:15.770816 |
2026-07-23T12:42:15.770817 |
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| 381 |
Haussdorffien |
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2026-07-23T12:42:15.770823 |
2026-07-23T12:42:15.770823 |
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| 382 |
Code [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.770828 |
2026-07-23T12:42:15.770829 |
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| 383 |
Équation de Legendre (par les séries entières) |
On résoud l'équation de Legendre \r\[\r(1-x^2) y'' -2xy + a(a+1)y = 0\r\]\roù $a \in \mathbb{R}$ via les séries entières.\r\rOn démontre que les seules solutions de l'équation de Legendre prolongeables par continuité en 1 et -1 sont des polynômes. C'est un résultat très utilisé en physique. Attention le Berthelin est faux concernant l'équation de Legendre |
2026-07-23T12:42:15.770854 |
2026-07-23T12:42:15.770854 |
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| 384 |
Sous-groupes finis de S0(3) |
On calcule via la formule de burnside les sous groupes finis de SO(3).\rDéveloppement long, on doit bien choisir les cas à présenter. |
2026-07-23T12:42:15.770866 |
2026-07-23T12:42:15.770866 |
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| 386 |
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire |
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2026-07-23T12:42:15.770873 |
2026-07-23T12:42:15.770873 |
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| 387 |
Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie |
Soit $f: R^n→R^n$ de classe $C^1$ telle que pour tout $x \in R^n$, $df(x) \in O_n(R)$. Alors $f$ est une isométrie affine. |
2026-07-23T12:42:15.770885 |
2026-07-23T12:42:15.770885 |
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| 388 |
A à pgcd implique A[X] à pgcd |
On montre quelques propriétés générales du pgcd avec des preuves par équivalences, puis on arrive au lemme de Gauss qui permet de débloquer la situation comme dans le cas factoriel. |
2026-07-23T12:42:15.770897 |
2026-07-23T12:42:15.770897 |
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| 389 |
Théorème du bicommutant et du commutant |
Soit $E$ un $k$-espace vectoriel et $f\in \mathrm{End}(E)$. Alors on peut munir $E$ d'une structure de $k[X]$-module noté $E_f$. On a par le théorème des facteurs invariants $E_f \cong \bigoplus k[X]/(P_i)$ où $P_1 | P_2 | \ldots | P_l$. On remarque que le commutant de $f$ est $\mathrm{End}_{k[X]}(E_f)$. On en déduit alors que le bicommutant de $f$ est $k[f]$. En utilisant la biadditivité de $Hom$ on a de plus $\mathrm{End}_{k[X]}(E_f) \cong \bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}(k[X]/(P_i),k[X]/(P_j))$.\rOn montre que $\mathrm{Hom}(A/(a),A/(b)) \cong A/(\mathrm{pgcd}(a,b))$ dans tout anneau principal. On peut alors calculer $\dim_k \mathrm{End}_{k[X]}(E_f)$ et conclure que le commutant est égal à $k[f]$ si et seulement si $l=1$, i.e. $f$ est cyclique. |
2026-07-23T12:42:15.770934 |
2026-07-23T12:42:15.770934 |
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| 390 |
Lemme de Sperner et théorème de Monsky |
On démontre le lemme de Sperner sur les tri-colorations d'une triangulation d'un polygône, et on en déduit le théorème de Monsky : si on découpe un carré en $n$ triangles de même aire, alors $n$ est pair.\rCela se fait en étendant la valuation 2-adique de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{C}$ (ou si on veut raisonner constructivement, à une extension de type fini de $\mathbb{Q}$) pour définir une tri-coloration du plan, qui induit une tri-coloration de la triangulation considérée du carré. Le lemme de Sperner donne l'existence d'un triangle tricolore, ce qui permet de conclure. |
2026-07-23T12:42:15.770962 |
2026-07-23T12:42:15.770963 |
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| 391 |
Irréductibilité, primalité du déterminant |
On montre que pour un anneau commutatif $A$ quelconque, le polynôme déterminant $\Delta \in A[X_{i,j}]$ est irréductible, puis premier. |
2026-07-23T12:42:15.770975 |
2026-07-23T12:42:15.770975 |
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| 392 |
Formule de Binet-Cauchy |
On démontre pour $A \in \mathcal{M}_{p,n}(K), B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)$ et $I \in \mathcal{P}_k(p)$, $J \in \mathcal{P}_k(q)$, $k<=\min(p,q)$ :\r\[\r\Delta_{I,J}(AB) = \sum_{H \in \mathcal{P}_k(n)} \Delta_{I,H}(A)\Delta_{H,J}(B)\r\]\roù $\mathcal{P}_k(n)$ est l'ensemble des parties à $k$ éléments des $\{1, \ldots, n\}$ et $\Delta_{I,J}$ est le mineur extrait sur les lignes $I$ et les colonnes $J$. |
2026-07-23T12:42:15.771007 |
2026-07-23T12:42:15.771008 |
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| 393 |
Dimension maximale de sous-espaces de matrices de rang <=p |
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2026-07-23T12:42:15.771014 |
2026-07-23T12:42:15.771015 |
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| 394 |
Fonctions caractéristiques de la loi normale et de Cauchy |
Calcul des fonctions caractéristiques pour un loi normale et une loi de Cauchy par des arguments d'analyse complexe.\r |
2026-07-23T12:42:15.771026 |
2026-07-23T12:42:15.771026 |
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| 395 |
Exponentielle loi sans mémoire |
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2026-07-23T12:42:15.771033 |
2026-07-23T12:42:15.771033 |
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| 396 |
Critère d'Eisenstein |
Soit $A$ un anneau factoriel, $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in A[X]$ et $p \in A$ premier.\rSi $p \ot| a_n$ et $p | a_i, \forall i < n$, et $p^2 \ot| a_0$, alors $P$ est irréductible dans $Frac(A)[X]$. |
2026-07-23T12:42:15.771049 |
2026-07-23T12:42:15.771050 |
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| 397 |
Injectivité, surjectivité d'une matrice à coefficients dans un anneau commutatif |
On les caractérise en fonction des idéaux déterminantiels de la bonne taille. |
2026-07-23T12:42:15.771061 |
2026-07-23T12:42:15.771061 |
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| 398 |
Action de Steinitz |
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2026-07-23T12:42:15.771067 |
2026-07-23T12:42:15.771067 |
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| 579 |
Théorème d'Artin (fonction Gamma) |
On montre que la fonction Gamma est la seule à vérifié sa relation fonctionnelle, ainsi qu'à être log-convexe en même temps. |
2026-07-23T12:42:15.773501 |
2026-07-23T12:42:15.773502 |
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| 399 |
Théorème de Wantzel |
Théorème [Wantzel].\rSoit $t \in \mathbb{R}$. Alors $t$ est constructible ssi il existe une suite finie $L_0, \ldots, L_p$ de sous-corps de $\mathbb{R}$ tels que $L_0 = \mathbb{Q}$, $\forall i$, $L_{i+1}$ est une extension quadratique (c'est-à-dire de degré 2) de $L_i$ et $t \in L_p$.\r\rRemarque : ce théorème est utilisé dans un autre <a href=\"https://agreg-maths.fr/developpements/17\">développement</a> sur le théorème de Gauss (ou Gauss-Wantzel). |
2026-07-23T12:42:15.771097 |
2026-07-23T12:42:15.771097 |
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| 400 |
Théorème de Cantor-Bernstein |
Par la méthode de J. Koenig |
2026-07-23T12:42:15.771105 |
2026-07-23T12:42:15.771105 |
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| 401 |
Théorème des deux carrés de Fermat (méthode de dénombrement) |
Méthode de Axel Thue |
2026-07-23T12:42:15.771113 |
2026-07-23T12:42:15.771114 |
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| 402 |
Théorème de Weierstrass (par la convolution) |
Réf : Gourdon analyse p283-286 (problème 18) |
2026-07-23T12:42:15.771122 |
2026-07-23T12:42:15.771122 |
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| 403 |
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes |
Il n'existe pas de polynômes $P, Q, R \in \C[X]$ vérifiant l'équation $P^n + Q^n + R^n = 0$ pour $n \ge 3$ sans que les trois ne soient égaux entre eux à une constante multiplicative près. |
2026-07-23T12:42:15.771138 |
2026-07-23T12:42:15.771138 |
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| 404 |
Abel |
Doublon peut être avec : https://agreg-maths.fr/developpements/89\rmais pas sûr |
2026-07-23T12:42:15.771147 |
2026-07-23T12:42:15.771147 |
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| 405 |
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires |
$PGL_2(\mathbb{F}_2) \cong \mathfrak{S}_3$\r$PGL_2(\mathbb{F}_3) \cong \mathfrak{S}_4$\r$PGL_2(\mathbb{F}_5) \cong \mathfrak{S}_5$\r |
2026-07-23T12:42:15.771164 |
2026-07-23T12:42:15.771164 |
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| 406 |
Théorèmes de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli |
Nourdin + Gourdon + GaretKurtzmann\r\rThéorème de Glivenko-Cantelli :\rhttps://agreg-maths.fr/developpements/213 |
2026-07-23T12:42:15.771177 |
2026-07-23T12:42:15.771177 |
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| 407 |
NP-Complétude de SUBSET-SUM |
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2026-07-23T12:42:15.771183 |
2026-07-23T12:42:15.771183 |
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| 409 |
Continuité des racines d'une suite de polynomes |
Soit $(P_m)_{m \in \mathbb{N}}$ une suite de polynômes à coefficients complexes unitaires de degrés $n$, on suppose que $P_m \rightarrow P$ .\rAlors si on écrit $P_m(X) = \prod_{i=1}^n (X-x_m^i)$ et $P(X) = \prod_{i=1}^n (X-x^i)$ on a\r$$\forall i \in \{1,...,n\}, \: x_m^i \rightarrow x^i$$\r\rUn démonstration est présente dans le Gourdon. |
2026-07-23T12:42:15.771208 |
2026-07-23T12:42:15.771208 |
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| 410 |
Algorithme de Faddeev |
Soit $A \in M_n(R)$. On pose $B_0 = I_n$ et pour $1 \le k \le n-1$, on définit les matrices $B_k$ par récurrence : $B_k = A B_{k-1} - tr(AB_{k-1})/k I_n$. Alors \r\[\r\chi_A(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n \r\]\roù $a_k = - tr(A B_{k-1})/k$ pour tout $k$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.771227 |
2026-07-23T12:42:15.771227 |
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| 411 |
Algorithme de Prim |
Preuve de la correction de l'algorithme de prim. On pourra étudier la structure de tas pour gérer la file de priorité et conclure à sa complexité. |
2026-07-23T12:42:15.771239 |
2026-07-23T12:42:15.771239 |
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| 412 |
Correction de la logique de Hoare |
On prouve ici la correction de la logique de Hoare. On insistera sur le cas de la boucle while que est le cas le plus intéressant. |
2026-07-23T12:42:15.771250 |
2026-07-23T12:42:15.771250 |
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| 413 |
Théorème central limite locale |
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2026-07-23T12:42:15.771256 |
2026-07-23T12:42:15.771256 |
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| 414 |
Inégalité de Le Cam |
Convergence en loi de probas d'une somme de Bernoulli vers une loi de Poisson. |
2026-07-23T12:42:15.771265 |
2026-07-23T12:42:15.771266 |
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| 415 |
Approximation polynomiale d'une fonction DSE |
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2026-07-23T12:42:15.771273 |
2026-07-23T12:42:15.771273 |
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| 416 |
Algorithme de Hopcroft |
On s'intéresse à la complexité et la validité de l'algorithme de Hopcroft. On pourra admettre que l'on sait faire une bonne gestion de des ensembles des coupures. |
2026-07-23T12:42:15.771286 |
2026-07-23T12:42:15.771286 |
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| 417 |
Les fonctions récursives sont lambda-définissables |
On encode les fonctions récursives en lambda-calcul.\rAttention, beaucoup de livres donnent des preuves fausses ! |
2026-07-23T12:42:15.771297 |
2026-07-23T12:42:15.771297 |
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| 418 |
Fonctions récursives, fonctions lamba-calculables |
On montre ici l'équivalence :\r$f$ est $\lambda$-calculable $\Leftrightarrow$ $f$ est récursive.\r\rCe développement est mal sourcé, notamment pour le sens directe. Le sens réciproque est bien traité de le P.Odifreddi mais le sens direct est juste donné en idée et contient de plus une arnaque.\r\rOn fera attention à montrer au passage le théorème de la forme normale pendant la démonstration du sens direct. |
2026-07-23T12:42:15.771320 |
2026-07-23T12:42:15.771320 |
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| 419 |
Equivalence entre la sémantique dénotationelle et la sémantique opérationnelle |
On prouve ici l'équivalence entre la sémantique opérationnelle et la sémantique dénotationnelle. On ne s'attardera que sur les cas les plus intéressants, typiquement la boucle while. |
2026-07-23T12:42:15.771335 |
2026-07-23T12:42:15.771335 |
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| 420 |
Solutions périodiques d'une ED pseudo périodique |
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2026-07-23T12:42:15.771343 |
2026-07-23T12:42:15.771343 |
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| 421 |
Cardinaux de GLn(Fq) et de SLn(Fq) et proportion de matrices inversibles |
Calculs des cardinaux des deux ensembles $\mathcal{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ et $\mathcal{SL}_n(\mathbb{F}_q)$. Soit $p_n(q)=\mathbb{P}(\det M = 1)$ où $M$ suit une loi uniforme sur l'ensemble des matrices de taille $n$ sur $\mathbb{F}_q$. Alors, on prouve que la limite de cette suite est non nulle et que $p_n(q)$ est strictement plus faible que $\frac{1}{q}$ pour tout $n$. |
2026-07-23T12:42:15.771366 |
2026-07-23T12:42:15.771366 |
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| 422 |
Extrema de la fonction déterminant et matrices de Hadamard |
Encadrement du max sur l'ensemble des matrices de coefficients inférieurs à 1 en norme. \r\rCas d'atteinte du majorant : les matrices de Hadamard (lorsqu'elles existent).\r\rUne condition nécessaire et une (autre) condition suffisante d'existence des matrices de Hadamard. |
2026-07-23T12:42:15.771384 |
2026-07-23T12:42:15.771384 |
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| 423 |
La fonction d'Ackermann n'est pas récursive primitive |
On étudie la fonction de Ackermann, définie sur $\mathbb{N}^2$ par $A_0(m)=m+1$, $A_{n+1}(0)=A_n(1)$ et $A_{n+1}(m+1)=A_n ( A_{n+1}(m) )$.\r\rOn montre qu'on peut majorer toute fonction récursive primitive par un fonction $A_n$ définie sur $\mathbb{N}$ (le paramètre $n$ est fixé). |
2026-07-23T12:42:15.771402 |
2026-07-23T12:42:15.771402 |
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| 424 |
NP-Complétude de HAM-PATH |
On montre la NP-Complétude de la recherche d'un chemin hamiltonien dans un graphe orienté par réduction depuis 3-SAT. |
2026-07-23T12:42:15.771413 |
2026-07-23T12:42:15.771413 |
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| 425 |
Construction d'un automate déterministe à partir d'une expression régulière |
Plutôt que de passer par la construction théorique (regexp -> AFN -> AFD), on construit directement un AFD optimisé. |
2026-07-23T12:42:15.771425 |
2026-07-23T12:42:15.771425 |
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| 426 |
Algorithme de type principal |
Algorithme de typage du lambda calcul à la Curry, qui teste la typabilité d'un $\lambda$-terme, et construit un type principal si il existe. |
2026-07-23T12:42:15.771437 |
2026-07-23T12:42:15.771437 |
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| 427 |
Tri fusion |
Étude de l'algorithme du tri fusion (correction, complexité). |
2026-07-23T12:42:15.771446 |
2026-07-23T12:42:15.771446 |
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| 429 |
Théorème de compacité du calcul propositionnel |
On commence par démontrer qu'un produit dénombrable de métriques compacts est un métrique compact, puis on démontre le théorème de compacité du calcul propositionnel. Enfin on donne une application au pavage du plan.\rLe développement est trop long pour tenir en entier en 15 min : en maths, l'application au pavage n'est pas faite, et en info la compacité du produit de compact est admis. |
2026-07-23T12:42:15.771467 |
2026-07-23T12:42:15.771468 |
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| 430 |
Théorème de Ramsey |
Cas infini : pour tout $c$ entier, si $E$ est un ensemble infini et $f : \mathcal{P}_2(E) \to \{1..c\}$, alors il existe $E' \subseteq E$ infini tel que $f|_{\mathcal{P}_2(E')}$ est constante.\rCas fini : pour tous $a$, $c$ entiers, il existe $b \in \mathbb{N}$ tel que si $E$ est de cardinal au moins $b$ et $f : \mathcal{P}_2(E) \to \{1..c\}$ alors il existe $E' \subseteq E$ de cardinal $a$ tel que tel que $f|_{\mathcal{P}_2(E')}$ est constante.\rOn passe de l'un à l'autre par le théorème de compacité de la logique du 1er ordre |
2026-07-23T12:42:15.771500 |
2026-07-23T12:42:15.771501 |
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| 434 |
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler |
Tout endomorphisme $f$ s'écrit, sous réserve que $\chi_f$ soit scindé dans $K$, sous la forme $f = d + n$ où $d$ est un endomorphisme diagonalisable et $n$ un endomorphisme nilpotent.\r\rIl existe une démonstration non algorithmique de cette décomposition.\r\rSoit K un corps de caractéristique nulle et soit A une matrice de $M_n(K)$, de polynôme caractéristique $\chi_A$ et de décomposition de Dunford $D+N$. On pose $P:= \frac{\chi_A }{\chi_A\wedge\chi_{A}' }$ et l'on considère la suite de matrices $(A_r)$ donnée par\r$$ A_0=A, \quad A_{r+1}=A_r-P(A_r)P'(A_r)^{-1}$$\rAlors, cette suite est bien définie, elle est stationnaire et tend vers D. (Plus précisément, $A_m=D$ pour tout $m\geq \log_2(n)$ |
2026-07-23T12:42:15.771560 |
2026-07-23T12:42:15.771560 |
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| 435 |
Jauge de Minkovski |
Soit $C$ une partie convexe, compacte, symétrique par rapport à $0$ et d'intérieur non vide d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$. Pour tout $x \in E$ on définit $I_x = \{ \lambda > 0 : x \in \lambda C\}$ et $J_C(x) = \inf I_x$. Alors $J_C$ est une norme sur $E$. |
2026-07-23T12:42:15.771579 |
2026-07-23T12:42:15.771579 |
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| 437 |
Théorème de Steinhaus |
Existence d'une série entière de rayon de convergence égal à 1 pour laquelle le cercle unité est une coupure. |
2026-07-23T12:42:15.771590 |
2026-07-23T12:42:15.771590 |
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| 438 |
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme |
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2026-07-23T12:42:15.771597 |
2026-07-23T12:42:15.771597 |
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| 439 |
Borne de Bézout |
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2026-07-23T12:42:15.771603 |
2026-07-23T12:42:15.771603 |
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| 440 |
Arbres Zig-zag |
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2026-07-23T12:42:15.771609 |
2026-07-23T12:42:15.771609 |
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| 441 |
Table des caractères de Dn |
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2026-07-23T12:42:15.771615 |
2026-07-23T12:42:15.771615 |
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| 442 |
Equation de la chaleur sur un anneau |
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2026-07-23T12:42:15.771622 |
2026-07-23T12:42:15.771622 |
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| 443 |
Harmonicité et propriété de la moyenne |
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2026-07-23T12:42:15.771628 |
2026-07-23T12:42:15.771629 |
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| 444 |
Méthode des petits pas |
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2026-07-23T12:42:15.771634 |
2026-07-23T12:42:15.771634 |
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| 445 |
Cauchy-Lipschitz global |
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2026-07-23T12:42:15.771640 |
2026-07-23T12:42:15.771641 |
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| 447 |
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible |
Soit $(\sum a_n z^n)$ une série entière de rayon supérieur à 1 dont on note $f$ la somme.\r\r\rThéorème [Abel angulaire] :\rOn note $D = \{ z \in \mathbb{C} \colon |z| \leq 1 \}$. Soit $\theta_0 \in ]-\pi/2, \pi/2[ $. On note $\Delta_{\theta_0}$ l'ensemble $\{ 1 - \rho e^{i\theta} \in D \colon \rho >0, \theta \in [-\theta_0, \theta_0] \}$. Si la somme de la série $\sum_{n \geq 0} a_n$ existe et est finie, alors en la notant $l$, on a : \r\[\r\lim_{z \to 1, z \in \Delta_{\theta_0}} f(z) = l\r\]\r\rThéorème [Taubérien faible] :\rTODO |
2026-07-23T12:42:15.771685 |
2026-07-23T12:42:15.771685 |
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| 448 |
Isomorphisme de Harish-Chandra |
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2026-07-23T12:42:15.771691 |
2026-07-23T12:42:15.771691 |
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| 449 |
Tout groupe abélien fini est quotient du groupe des unités d'un groupe cyclique |
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2026-07-23T12:42:15.771700 |
2026-07-23T12:42:15.771700 |
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| 451 |
Inégalité de Hardy |
Démonstration d'une inégalité vérifiée par des fonctions de l'espace $\mathbb{L}^p$ par densité des fonctions régulières. On peut aussi traiter le cas d'égalité.\r\rÉnoncé : Soit $p\in\, ]1,+\infty[$ un réel. Pour tout $f\in \mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$, on pose \r$$T_f \;:\; \begin{cases} \mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R} \\ \displaystyle x \longmapsto \frac{1}{x}\int_{0}^{x}{f(t)\mathrm{d}t}\end{cases}.$$\rAlors pour toute fonction $f\in \mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+)$, $T_f$ est un élément de $\mathbb{L}^p(\mathbb{R}_+)$, et on a la majoration :\r\begin{equation} \|T_f\|_{\mathbb{L}^p} \leq \left(\frac{p}{p-1}\right) \|f\|_{\mathbb{L}^p}. \end{equation}\r |
2026-07-23T12:42:15.771751 |
2026-07-23T12:42:15.771751 |
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| 452 |
Un système hyperbolique linéaire |
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2026-07-23T12:42:15.771758 |
2026-07-23T12:42:15.771758 |
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| 453 |
Limite de variables aléatoires gaussiennes |
Énoncé : Soit $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $(\sigma^2_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}$ deux suites de réels. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires telle que: $$\forall n\in\mathbb{N},\; X_n\sim \mathcal{N}(m_n,\sigma^2_n)\text{ et }X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal L} X,$$ où $X$ est une variable aléatoire RÉELLE.\r\rAlors $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $m$, $(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel positif $\sigma $, et $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$.\r\rSi de plus $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$, alors pour tout réel $r\geq 1$, on a la convergence : \r$$X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathbb{L}^r(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})} X.$$\r\r |
2026-07-23T12:42:15.771814 |
2026-07-23T12:42:15.771814 |
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| 454 |
Sommation d'Abel des séries de Fourier |
Énoncé : Soit $f$ un élément de ${\mathcal C}_{{\rm pm},2\pi}$.\r\rPour tout élément $r$ de $]0,1[$, la série de fonctions\r\[\rc_0 + \sum\limits_{n \ge 1} \left( {c_n \left( f \right){\mathop{\rm e}\olimits} _n + c_{ - n} \left( f \right){\mathop{\rm e}\olimits} _{ - n} } \right){r^n }\r\]\rconverge normalement sur $\mathbb{R}$. \r\rSi $f_r$ désigne sa somme alors :\r -- $f_r$ converge simplement vers la régularisée $\tilde f$ de $f$ lorsque $r$ tend vers 1 par valeurs inférieures.\r -- Si $f$ est continue alors $ f_r$ tend vers $f$ lorsque $r$ tend vers $1^-$, uniformément en $x$ sur $\mathbb{R}$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.771854 |
2026-07-23T12:42:15.771854 |
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| 455 |
Suite des sinus itérés |
On étudie le comportement asymptotique de la suite $u_n$ définie par récurrence par \r\[\ru_{n+1} = \sin(u_n)\r\]\r\rOn montre que si $u_0 \in ]0, \pi/2[$, alors\r\[\ru_n = \sqrt{\frac{3}{n}} - \frac{3\sqrt{3}}{10} \frac{ \log(n)}{n \sqrt{n}} + o \left( \frac{\log(n)}{n \sqrt{n}} \right)\r\] |
2026-07-23T12:42:15.771882 |
2026-07-23T12:42:15.771882 |
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| 456 |
Problème de la fortune du joueur |
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2026-07-23T12:42:15.771888 |
2026-07-23T12:42:15.771888 |
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| 457 |
Equation de la chaleur dans une barre |
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2026-07-23T12:42:15.771895 |
2026-07-23T12:42:15.771895 |
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| 458 |
Résolution d'une EDPE |
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2026-07-23T12:42:15.771901 |
2026-07-23T12:42:15.771902 |
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| 459 |
Théorème de Bernstein-Valiron |
Soit $f$ une application d'un intervalle ouvert $I$ à valeurs réelles, indéfiniment dérivable. On suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(2n)}$ est positive. Alors $f$ est analytique sur $I$.\r |
2026-07-23T12:42:15.771916 |
2026-07-23T12:42:15.771917 |
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| 460 |
Etude asymptotique de la solution de l'équation de Bessel |
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2026-07-23T12:42:15.771924 |
2026-07-23T12:42:15.771924 |
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| 461 |
Lemme de Morse et application |
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2026-07-23T12:42:15.771930 |
2026-07-23T12:42:15.771930 |
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| 462 |
Etude des polynômes cyclotomiques |
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2026-07-23T12:42:15.771936 |
2026-07-23T12:42:15.771937 |
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| 463 |
Formule de Burnside |
Dénombrement des orbites à partir du nombre de point fixe de chaque élément d'un groupe fini G agissant sur un ensemble fini E |
2026-07-23T12:42:15.771947 |
2026-07-23T12:42:15.771948 |
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| 464 |
Automate fini déterministe pour (a|b)^*abb |
Construction directe d'un automate fini déterministe reconnaissant l'expression rationnelle $(a|b)^*abb$ |
2026-07-23T12:42:15.771959 |
2026-07-23T12:42:15.771959 |
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| 465 |
Insertion dans un arbre binaire de recherche |
L'insertion dans un arbre binaire de recherche se fait en temps $O(h)$ |
2026-07-23T12:42:15.771969 |
2026-07-23T12:42:15.771969 |
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| 466 |
Construction d'un AFD reconnaissant une expression rationnelle |
Construction d'un automate fini déterministe reconnaissant une expression rationnelle par induction structurelle. |
2026-07-23T12:42:15.771981 |
2026-07-23T12:42:15.771981 |
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| 467 |
Séries de Fourier des applications continues |
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2026-07-23T12:42:15.771988 |
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| 468 |
Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis |
— Preuve du lemme de prolongement de caractères.\r— Application : si G est un groupe abélien fini, il est isomorphe à un produit de groupes cycliques. |
2026-07-23T12:42:15.772002 |
2026-07-23T12:42:15.772002 |
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| 469 |
Lemme des noyaux |
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2026-07-23T12:42:15.772008 |
2026-07-23T12:42:15.772008 |
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| 471 |
Calcul de primitives par le théorème de résidus |
— Preuve d'un lemme de Jordan.\r— Application au calcul de primitives de fractions rationnelles.\r— Un calcul explicite. |
2026-07-23T12:42:15.772020 |
2026-07-23T12:42:15.772021 |
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| 474 |
Théorème de Cauchy-Lipschitz global |
Énoncé dans le cas linéaire : Soit un entier $n\geq 1$, $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $b : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ deux applications continues. Soit $y_0\in\mathbb{R}^n$. Alors le problème de Cauchy suivant : \begin{align}\r \begin{cases}\r y' =A(t)y +b(t) \\\r y(0)=y_0\r \end{cases}\r\end{align}\radmet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.\r |
2026-07-23T12:42:15.772065 |
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| 475 |
Théorème de Hardy |
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2026-07-23T12:42:15.772072 |
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| 476 |
Théorème de Stampacchia |
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2026-07-23T12:42:15.772078 |
2026-07-23T12:42:15.772078 |
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| 477 |
Théorème du point fixe de Picard |
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2026-07-23T12:42:15.772084 |
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| 478 |
Ensembles sans sommes |
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2026-07-23T12:42:15.772090 |
2026-07-23T12:42:15.772090 |
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| 479 |
Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité |
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2026-07-23T12:42:15.772097 |
2026-07-23T12:42:15.772097 |
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| 480 |
Décomposition en cycles à support disjoints |
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2026-07-23T12:42:15.772104 |
2026-07-23T12:42:15.772104 |
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| 481 |
Représentations et sous-groupes distingués |
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2026-07-23T12:42:15.772110 |
2026-07-23T12:42:15.772110 |
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| 482 |
Nombre de racines d'un polynôme par les formes quadratiques |
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2026-07-23T12:42:15.772118 |
2026-07-23T12:42:15.772118 |
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| 483 |
Connexe non connexe par arcs |
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2026-07-23T12:42:15.772124 |
2026-07-23T12:42:15.772124 |
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| 484 |
Endormorphismes de rang 2 |
Objectif Agrégation, exercice 4.20\rUtilisation des outils simples pour caractèriser (diagonalisation, trigonalisation) tous les endomorphismes de rang 2, sur un corps quelconque.\r\rPas difficile, mais un peu long. |
2026-07-23T12:42:15.772139 |
2026-07-23T12:42:15.772139 |
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| 485 |
Convergence vers la loi de Gumbel |
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :\r$$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$\r\r\rÉnoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :\r$$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$\rAlors on a : \r -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$\r -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel. \r\r |
2026-07-23T12:42:15.772213 |
2026-07-23T12:42:15.772214 |
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| 486 |
Formules de Poisson et Shannon |
Soit $f \in S(\mathbb{R})$. Alors\r\r$ \forall t \in \mathbb{R}, \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n+t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(k) e^{i2kt}$\r\ret si le support de $\hat{f}$ est inclus dans $[-1/2,1/2]$, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) \frac{ \sin(k-t) \pi}{(k-t) \pi}$ |
2026-07-23T12:42:15.772253 |
2026-07-23T12:42:15.772253 |
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| 487 |
Théorème de Chevalley-Warning + EGZ |
le théorème de Chevalley warning dénombre le nombre de zéros communs à un certain ensemble de polynomes et ce résultat s'applique en arithmétique |
2026-07-23T12:42:15.772270 |
2026-07-23T12:42:15.772270 |
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| 488 |
Loi forte des grands nombres (Kolmogorov) |
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2026-07-23T12:42:15.772280 |
2026-07-23T12:42:15.772281 |
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| 490 |
Décodage code cyclique par l'algorithme d'Euclide-Sugiyama |
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2026-07-23T12:42:15.772293 |
2026-07-23T12:42:15.772294 |
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| 492 |
Méthode de Gauss Seidel |
Matrice, algorithmes |
2026-07-23T12:42:15.772304 |
2026-07-23T12:42:15.772305 |
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| 493 |
Intégrale sint e^-t/t |
théorème d'horlomorphie sous l'intégrale |
2026-07-23T12:42:15.772317 |
2026-07-23T12:42:15.772317 |
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| 494 |
Théorème des événements rares |
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2026-07-23T12:42:15.772325 |
2026-07-23T12:42:15.772326 |
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| 495 |
Base orthonormée des fonctions centrales |
Théorème : Les caractères de G forment un système orthonormé de l'espace des fonctions centrales.\r\rOn en déduit que le nombre de caractères irréductibles est le nombres de classes de conjugaison de G\r(pré-requis pour dresser une table de caractères) |
2026-07-23T12:42:15.772348 |
2026-07-23T12:42:15.772348 |
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| 496 |
Master Theorem |
En analyse de la complexité des algorithmes, on est souvent dans le cas d'un algorithme dont la complexité $C(n)$ vérifie\r\[\rC(n) = a C(n/b) + f(n)\r\]\r\rLe \"master theorem\" étudie le comportement asymptotique de $C(n)$ de manière générale.\r\r\rLa preuve est calculatoire mais donne un résultat intéressant. |
2026-07-23T12:42:15.772375 |
2026-07-23T12:42:15.772375 |
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| 497 |
Nombres de Catalan |
On obtient une expression explicite du nombre de Catalan $C_n$ (nombre de bons parenthésages de $n$ termes, d'arbres binaires à $n$ feuilles, de triangulations d'un $(n+1)$-gone, etc.) : $C_n = \frac{1}{n}\left(^{2n-2}_{n-1}\right)$. |
2026-07-23T12:42:15.772403 |
2026-07-23T12:42:15.772403 |
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| 498 |
Action à gauche |
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2026-07-23T12:42:15.772410 |
2026-07-23T12:42:15.772410 |
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| 499 |
Théorème de Springer sur les formes quadratiques |
NDLR : D'après \r\rhttp://www.math.ens.fr/~izquierd/GTFQ.pdf\r\ril y a deux théorèmes: soit la classification des formes quadratiques sur $\mathbb{Q}_p$.\rSoit un théorème pour les extensions de degrés impairs (?) |
2026-07-23T12:42:15.772426 |
2026-07-23T12:42:15.772426 |
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| 500 |
Générateurs de Sn |
Soient $d$ et $n$ deux entiers tel que $d$ divise $n$. On considère $\tau = (1,d+1)$ et $c = (1, \ldots, n)$ les permutations de $\mathfrak{S}_n$. En notant $k =n/d$, le groupe engendré par $\tau$ et $c$ est isomorphe au produit semi-direct de $(\mathfrak{S}_k)^d$ et de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ (où $l=k = n/d$). |
2026-07-23T12:42:15.772445 |
2026-07-23T12:42:15.772445 |
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| 501 |
Absence de mémoire de la loi exponentielle |
Soit T une variable aléatoire telle que pour tous s,t positifs, P(T>t+s)=P(T>t) P(T>s) alors:\rsoit P(T>t)=0, soit T suit une loi exponentielle |
2026-07-23T12:42:15.772457 |
2026-07-23T12:42:15.772457 |
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| 502 |
Hahn Banach (version analytique) en dimension finie |
Soient $V$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ une fonction convexe de $V$ dans $\mathbb{R}$.\rSoient $G$ un sous-espace vectoriel de $V$ et $f$ une forme linéaire sur $G$ qui vérifie $f(x) \le p(x)$ pour tout $x \in V$. \rAlors il existe un prolongement linéaire de $g$ de $f$ à sur $V$ vérifiant encore la condition $f(x) \le p(x)$ pour tout $x \in V$.\r\r(cf Wikipédia)\r |
2026-07-23T12:42:15.772480 |
2026-07-23T12:42:15.772480 |
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| 503 |
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire |
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2026-07-23T12:42:15.772487 |
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| 504 |
Théorème de Kolmogorov Khintchine |
Regarder sur ouvrard2 ou Garet\r\rNDLR : l'énoncé est le suivant ?\r\rSoit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur l'espace probabilisé $(\Omega, A,P)$, indépendantes, de même loi. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :\r- il existe un réel $c$ tel que la suite des variables aléatoires $\overline{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j$ converge presque sûrement vers $c$.\r- $X_1 \in L^1(\Omega,A,P)$\r\rSi la première assertion est vraie, alors on a $c = E[X_1]$. |
2026-07-23T12:42:15.772516 |
2026-07-23T12:42:15.772516 |
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| 505 |
Lemme des noyaux, endomorphisme semi-simple |
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2026-07-23T12:42:15.772523 |
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| 506 |
Lemme des noyaux, application |
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2026-07-23T12:42:15.772529 |
2026-07-23T12:42:15.772529 |
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| 507 |
Continuité des racines d'un polynôme |
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2026-07-23T12:42:15.772536 |
2026-07-23T12:42:15.772537 |
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| 508 |
Formule d'Euler-Maclaurin et applications |
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2026-07-23T12:42:15.772544 |
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| 509 |
[doublon : Les normes sont équivalentes dans un R-ev de dimension finie] |
[Doublon de https://agreg-maths.fr/developpements/1059]\r\rUtilise la compacité de la sphere unités\r\rRef: c'est fait partout, nottament dans Le Jean Pierre Marco |
2026-07-23T12:42:15.772559 |
2026-07-23T12:42:15.772559 |
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| 510 |
Nombre de carrés dans Z/nZ |
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2026-07-23T12:42:15.772565 |
2026-07-23T12:42:15.772565 |
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| 511 |
Nombre de matrice sur un corps finis de polynôme caractéristique donné |
On calcul le nombre d’endomorphisme sur un corps finis possédant P, un polynôme irréductible donné. Pour cela on utilise notamment la notion de simplicité, celle d'action de groupe et bien sur ceci est un problème de dénombrement. On utilise également la notion de commutant d'un endomorphisme. |
2026-07-23T12:42:15.772583 |
2026-07-23T12:42:15.772583 |
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| 512 |
Une version du théorème de Muntz |
On généralise le théorème de Stone-Weierstrass dans le cas d'une suite de nombre à priori non entier. On traite deux cas distinct, l'un où la suite diverge vers l'infini, et l'autre où la série de leurs inverse converge. Cette dernière partie étant spécialement pour les fonctions holomorphes. |
2026-07-23T12:42:15.772601 |
2026-07-23T12:42:15.772601 |
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| 513 |
Divergence de la série des inverses des nombres premiers |
Juste pour le plaisir |
2026-07-23T12:42:15.772609 |
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| 514 |
Développement asymptotique de suites definies par récurrence |
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2026-07-23T12:42:15.772616 |
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| 515 |
Inégalités de Kolmogorov |
majoration des dérivées k-ièmes d'une fonction |
2026-07-23T12:42:15.772625 |
2026-07-23T12:42:15.772625 |
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| 516 |
Décomposition en élément simple |
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2026-07-23T12:42:15.772631 |
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| 517 |
Exemples d'anneaux principaux |
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2026-07-23T12:42:15.772638 |
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| 519 |
Théorème de Runge |
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2026-07-23T12:42:15.772644 |
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| 520 |
Inversibles de Z/p^n |
Pour p premier impair et p=2. \rDémonstration par le PGCD : Jacquet-Malo, \"Algèbre pour l'agrégation\", exercice n°44. |
2026-07-23T12:42:15.772655 |
2026-07-23T12:42:15.772655 |
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| 521 |
Théorème fondamental de la géométrie affine |
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2026-07-23T12:42:15.772662 |
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| 523 |
Injectivité de la transformée de Laplace |
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2026-07-23T12:42:15.772669 |
2026-07-23T12:42:15.772669 |
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| 525 |
Quelques applications de la transformée de Fourier discrète |
On calcule le déterminant circulant, et on montre que $SO_3$ n'admet aucun caractère non trivial.\r\rCe sont les deux premiers exercices du Peyré. |
2026-07-23T12:42:15.772682 |
2026-07-23T12:42:15.772682 |
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| 526 |
Théorèmes de Riesz et Lax-Milgram |
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2026-07-23T12:42:15.772688 |
2026-07-23T12:42:15.772689 |
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| 527 |
Composantes connexes des formes quadratiques réelles |
Soit $(E,|| \cdot ||)$ un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie $n$, soit $Q(E)$, l’ensemble des formes quadratiques muni de la norme $N:q \mapsto sup \{ |q(x)| \: / \: ||x||=1 \}$, et $\Omega(E)$ l’ensemble des formes quadratiques non dégénéres.\r\rAlors on a\r1. $\Omega(E)$ est un ouvert de $Q(E)$.\r2. Pour tout $q \in Q(E)$, il existe $k >0$, tel que si $q' \in Q(E)$ et $N(q - q') < k$, alors $q'$ a la même signature que $q$.\r3. Les composantes connexes de $\Omega(E)$ sont les ensembles $\Omega_i(E)$, définis comme l’ensemble des formes quadratiques de signatures $(i,n-i)$, pour i entier naturel compris entre 0 et n.\r\rRef : FGN Oraux X-ENS Algèbre 3 - p.214 |
2026-07-23T12:42:15.772726 |
2026-07-23T12:42:15.772726 |
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| 528 |
Théorèmes de point fixe compact |
Énoncé : Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $K$ un compact de $E$ et une application continue $f\; : \; K \longrightarrow K$. \r -- On suppose que pour tout $x$ et tout $y$ éléments distincts de $K$ : \r \begin{equation}\|f(x)-f(y)\| < \|x-y\|.\end{equation} \r Alors $f$ admet un et un seul point fixe $\alpha \in K$. De plus, pour tout $x\in K$, la suite $(f^n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ des images itérées de $x$ par $f$, converge vers $\alpha$. \r -- On suppose $K$ de plus étoilé, et pour tout $(x,y)\in K^2$ :\r\begin{equation}\|f(x)-f(y)\| \leq \|x-y\|.\end{equation}\r Alors $f$ admet un point fixe.\r\rOn peut aussi présenter un exemple de convergence arbitrairement polynômialement lente pour le premier théorème. |
2026-07-23T12:42:15.772769 |
2026-07-23T12:42:15.772770 |
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| 529 |
Densité des fonctions dérivables partout continues nulle part |
Référence : Gourdon |
2026-07-23T12:42:15.772778 |
2026-07-23T12:42:15.772778 |
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| 530 |
Théorème de Chudnovsky |
Énoncé : 1. Si $[a,b]$ est inclus dans $]0,1[$ alors l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients entiers est dense dans l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C} ([a,b]),\|\cdot\|_\infty \right)$ :\r$$\overline{\mathbb{Z}[X]}= \mathcal{C} ([a,b]).$$\r \r2. Toute application $f$ de $]0,1[$ dans $\mathbb{R}$, continue, est limite simple d'une suite de polynômes à coefficients entiers.\r\r\r3. Si $b-a>4$ alors $\mathbb{Z}[X]$ est fermé dans l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C} ([a,b]),\|\cdot\|_\infty \right)$, autrement dit :\r$$\overline{\mathbb{Z}[X]}= \mathbb{Z}[X].$$ |
2026-07-23T12:42:15.772818 |
2026-07-23T12:42:15.772818 |
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| 531 |
Compteurs probabilistiques |
Comment compter informatiquement des objets en très grande quantité ?\rC'est ce à quoi répond ce développement.\rOn montre que :\r\rSoit $\varepsilon >0$ et $\delta > 0$.\rIl existe $(X_n)$ une suite de variable aléatoires telles que $P( |X_n-n| \ge \varepsilon n ) < \delta$ pour tout entier $n$ et presque sûrement $X_n$ se code en $O( \log \log(n))$ bits.\r\rEn anglais c'est connu sous le nom de \"log log counter\" (Flajolet et al.). |
2026-07-23T12:42:15.772843 |
2026-07-23T12:42:15.772844 |
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| 532 |
Théorème de Fermat, n=3 |
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2026-07-23T12:42:15.772849 |
2026-07-23T12:42:15.772850 |
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| 533 |
Théorème de Kantorovich et algorithme du gradient à pas optimal |
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2026-07-23T12:42:15.772857 |
2026-07-23T12:42:15.772857 |
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| 535 |
SO3(R) est un groupe simple, connexe et compact |
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2026-07-23T12:42:15.772863 |
2026-07-23T12:42:15.772864 |
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| 536 |
Théorème d'Auerbach |
Soit $E$ un espace de Banach de dimension $n$ ; alors il existe une base normée $(e_1,...,e_n)$ de $E$ dont la base duale est aussi normée. |
2026-07-23T12:42:15.772875 |
2026-07-23T12:42:15.772875 |
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| 538 |
Différentielle du déterminant, étude de SLn(R) comme sous-variété |
On montre que la différentielle du déterminant est $\mathrm{d}(\det)(M).H = \mathrm{Tr}({^\mathrm{t}}\!\mathrm{Com}(M)\, H)$.\r\rPuis on montre que $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ est une hypersurface de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et que l'espace tangent en l'identité est l'espace des matrices de trace nulle.\r\r(On pourra prouver l'identité $M\times {^\mathrm{t}}\!\mathrm{Com}(M) = \det(M)\, \mathrm{I}_n$).\r\rNDLR : c'est fait dans Rouvière : petit guide de calcul différentiel |
2026-07-23T12:42:15.772911 |
2026-07-23T12:42:15.772911 |
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| 539 |
Théorème de l'élément primitif en caractéristique 0 |
Toute extension finie d'un corps de caractéristique 0 est monogène. |
2026-07-23T12:42:15.772921 |
2026-07-23T12:42:15.772922 |
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| 540 |
Automorphismes de Z/p^aZ |
Pour $p$ premier impair, $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z})$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/\varphi(p^\alpha)\mathbb{Z}$. |
2026-07-23T12:42:15.772936 |
2026-07-23T12:42:15.772937 |
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| 541 |
Combinatoire matricielle (corps finis). Cône nilpotent. |
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2026-07-23T12:42:15.772944 |
2026-07-23T12:42:15.772944 |
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| 542 |
Anneaux à PGCD et existence d'un PPCM |
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2026-07-23T12:42:15.772951 |
2026-07-23T12:42:15.772951 |
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| 543 |
Eléments sans PGCD ou PPCM dans Z[i.sqrt(5)] |
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2026-07-23T12:42:15.772957 |
2026-07-23T12:42:15.772957 |
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| 544 |
Calcul de déterminants classiques [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.772964 |
2026-07-23T12:42:15.772964 |
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| 545 |
Formule d'inversion de Fourier dans L1 |
Formule d'inversion de Fourier lorsque la transformée de Fourier est intégrable. |
2026-07-23T12:42:15.772974 |
2026-07-23T12:42:15.772975 |
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| 546 |
Loi forte des grands nombres L^2 |
Soit $(X_n)$ une suite de v.a. $\mathrm{L}^2$, deux à deux non corrélées, telles que $\sup_{n} \mathrm{Var}(X_n)$ est fini. Alors, si $S_n=X_1+\dotsb+X_n$, on a :\r\[ \frac{S_n - \mathbb{E}[S_n]}{n} \xrightarrow{\text{p.s.}} 0 \] |
2026-07-23T12:42:15.772994 |
2026-07-23T12:42:15.772994 |
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| 547 |
Lemme de Gronwall et une application |
$\underline{Lemme}$ : (Gronwall intégral) Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $t_0 \in I$, $a\in \mathbb{R}$ et $u,v \in \mathcal{C}(I,\mathbb{R})$. Si $v\ge 0$ et pour tout $t\in I$ tel que $t\ge t_0$ : $u(t)\le a +\int \limits_{t_0}^{t} v(s)u(s) \mathrm{d}s$ alors pour tout $t\in I$ tel que $t\ge t_0$, $u(t)\le a\exp(\int \limits_{t_0}^{t}v(s)\mathrm{d}s)$.\r\r$\underline{Application}$ : Soit $]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Soit $f : ]a,b[\times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ continue et localement lipschitzienne par rapport à la variable d'état. On suppose qu'il existe deux fonctions positives $C_1$ et $C_2$ définies sur $]a,b[$ telle que pour tout $(t,y)\in ]a,b[\times \mathbb{R}^N$ : $\Vert f(t,y) \Vert \le C_1(t) \Vert y \Vert + C_2(t)$. Alors toute solution maximale de $y'=f(t,y)$ est globale.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.773048 |
2026-07-23T12:42:15.773048 |
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| 548 |
Théorèmes de point fixe de Kleene et application |
$\underline{Thm \ 1}$ : Soient $p>0$ et $\alpha : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ une fonction récursive alors il existe $i \in \mathbb{N}$ tel que : $\Phi_i^{p}=\Phi_{\alpha(i)}^p$.\r\r$\underline{Thm \ 2}$ : Soit $p>0$, il existe une fonction $h_p$ récursive primitive tel que pour tout $j \in \mathbb{N}$, si $\Phi_j^{1}$ est totale alors $\Phi_{\Phi_j^1(h_p(j))}^p=\Phi_{h_p(j)}^p$.\r\r$\underline{Thm \ 3}$ : Soient $p>0, \ n>0$, et $\alpha :\mathbb{N}^{p+1}\to \mathbb{N}$ une fonction récursive totale. Alors il existe une fonction $h : \mathbb{N}^p \to \mathbb{N}$ récursive primitive tel que pour tout $x_1,...,x_p \in \mathbb{N}$, $\Phi_{\alpha(x_1,...,x_p,h(x_1,...,x_p))}^n=\Phi_{h(x_1,...,x_p)}^n$.\r\r$\underline{Application}$ : La fonction d'Ackermann est récursive ! |
2026-07-23T12:42:15.773097 |
2026-07-23T12:42:15.773098 |
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| 549 |
Résultant : L'ensemble des nombres algébriques est une k-algèbre |
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2026-07-23T12:42:15.773106 |
2026-07-23T12:42:15.773107 |
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| 550 |
Théorème spectral |
Théorème spectral : Soit $f$ un endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien $E$. Il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de $f$. |
2026-07-23T12:42:15.773118 |
2026-07-23T12:42:15.773118 |
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| 552 |
Critère de Hermite |
$\underline{Thm}$ : Soit $q=p^r$ avec $p$ un nombre premier et $r\in \mathbb{N}^*$. Un polynôme $f\in \mathbb{F}_q[X]$ est un polynôme de permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement s'il respecte les deux condition suivantes : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour chaque entier $t$ avec $1\le t\le q-2$ et $t\ot\equiv 0\pmod p$ on a $f(x)^t \pmod{x^q-x}$ qui est de degré $\le q-2$. |
2026-07-23T12:42:15.773143 |
2026-07-23T12:42:15.773143 |
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| 553 |
Centre de gravité d'un arc de courbe et théorèmes de Guldin |
Un résultat qui plaira aux physiciens !\r\rRef : Arnaudiès-Lelong-Ferrand Tome 4 ou R-D-O Tome 5. |
2026-07-23T12:42:15.773154 |
2026-07-23T12:42:15.773155 |
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| 554 |
Problème des moments de Hamburger |
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2026-07-23T12:42:15.773161 |
2026-07-23T12:42:15.773161 |
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| 555 |
Transformée de Fourier de la Gaussienne |
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2026-07-23T12:42:15.773167 |
2026-07-23T12:42:15.773168 |
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| 556 |
Intégrale de Dirichlet et séries de Fourier |
On commence par montrer que $\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t} \text{d}t = \frac{\pi}{2}$ (par exemple par holomorphie), puis on utilise ce résultat pour montrer la convergence ponctuelle de la série ou de la transformée de Fourier, suivant la leçon. |
2026-07-23T12:42:15.773185 |
2026-07-23T12:42:15.773186 |
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| 557 |
Sémantique dénotationelle de PCF |
On construit la sémantique dénotationelle de PCF, en démontrant la continuité des diverses constructions au fur et à mesure. |
2026-07-23T12:42:15.773196 |
2026-07-23T12:42:15.773197 |
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| 558 |
Sémantique opérationnelle de constructions non séquentielles |
On ajoute une construction non-déterministe et une construction parallèle à While, on construit leur sémantique opérationnelle (SOS et SN), et on compare les deux. |
2026-07-23T12:42:15.773210 |
2026-07-23T12:42:15.773210 |
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| 559 |
Nullstellensatz via le Lemme de Zariski pour les corps indénombrables |
Si $k$ est un corps, toute $k$-algèbre de type fini est une extension algébrique de $k$ (donc en fait finie). On donne une preuve élémentaire (basée sur un argument de dimension) de ce résultat, appelé Lemme de Zariski, dans le cas où $k$ est indénombrable. On en déduit notre forme préférée du Nullstellensatz sur le corps des nombres complexes. |
2026-07-23T12:42:15.773229 |
2026-07-23T12:42:15.773229 |
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| 560 |
Théorème de Krein-Milman |
Dans un espace affine de dimension finie, un compact convexe est égal à l'enveloppe convexe de ses points extrémaux. |
2026-07-23T12:42:15.773240 |
2026-07-23T12:42:15.773240 |
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| 561 |
Lemme chinois et lemme des noyaux |
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2026-07-23T12:42:15.773246 |
2026-07-23T12:42:15.773246 |
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| 562 |
Théorème de Stickelberger |
$\underline{Thm} :$ Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire. Si $K$ est un corps de nombres alors disc$(K) \equiv 0, \ 1 \pmod4$. \rOn montrera que pour $P= \prod \limits_{i=1}^{n}(X-x_i)$ dans $\mathbb{C}[X]$, on a bien $\prod (x_i + x_j) \in \mathbb{Z}$ et on en déduira que disc$(P) \equiv 0, \ 1 \pmod4$. \r\r |
2026-07-23T12:42:15.773270 |
2026-07-23T12:42:15.773270 |
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| 563 |
Lemme de Siegel |
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2026-07-23T12:42:15.773276 |
2026-07-23T12:42:15.773276 |
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| 564 |
Topologie du groupe orthogonal euclidien et décomposition polaire (cas non inversible) |
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2026-07-23T12:42:15.773284 |
2026-07-23T12:42:15.773284 |
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| 565 |
Le problème du cycliste |
Christopher Froome parcourt 200km en une heure. Existe-t-il au cours de sa course un intervalle de temps de 30min durant lequel il aura fait exactement 100km ?\rMontrer qu'il n'existe pas forcément d'intervalle de temps de 45min durant lequel il aura fait exactement 150km.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.773301 |
2026-07-23T12:42:15.773301 |
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| 566 |
Théorème de Darboux |
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2026-07-23T12:42:15.773307 |
2026-07-23T12:42:15.773307 |
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| 567 |
Série génératrice des nombres de Bernoulli |
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2026-07-23T12:42:15.773314 |
2026-07-23T12:42:15.773314 |
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| 568 |
Euclidien -> principal -> factoriel |
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2026-07-23T12:42:15.773320 |
2026-07-23T12:42:15.773320 |
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| 570 |
Lemme d'Ore |
$\underline{Lemme}$ : Soient $G$ un groupe fini, $p$ le plus petit facteur premier divisant l'ordre de $G$. Alors tout sous-groupe $H$ de $G$ d'indice $p$ est distingué dans $G$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.773335 |
2026-07-23T12:42:15.773335 |
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| 571 |
Théorème de redressement des champs de vecteurs |
$\underline{Thm}$ : Soit $f : \Omega \to \mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$, où $\Omega$ est un ouvert $\mathbb{R}^n$. Soit $a\in \mathbb{R}^n$ tel que $f(a) \eq 0$. Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\psi$ d'un voisinage $V\subset \Omega$ de $a$ dans un voisinage $W$ de $f(a)$ tel que en faisant le changement de coordonnées $y=\psi(Y)$, ce difféomorphisme transforme dans ces voisinages les trajectoires de $y'=f(y)$ en celles de $Y'=f(a)$.\r |
2026-07-23T12:42:15.773379 |
2026-07-23T12:42:15.773379 |
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| 572 |
Approximation polynomiale et matrices de Hilbert |
On borne le pire cas d'une approximation polynomiale grâce aux matrices de Hilbert dont on calcule le déterminant.\r\rLes matrices de Hilbert sont des matices de Mn(R) de coefficients 1/(i+j-1) (qui est un cas particulier de matrices de Cauchy). Le déterminant de H_n vaut $c_n^4 / c_{2n}$ où $c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i! $.\r\rhttps://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix\r\rMan-Duen Choi. Tricks or treats with the hilbert matrix. The American Mathe-\rmatical Monthly, 90(5) :301–312, 1983.\r\rDavid Hilbert. Ein beitrag zur theorie des legendre’schen polynoms. Acta Math.,\r18 :155–159, 1894.\r |
2026-07-23T12:42:15.773412 |
2026-07-23T12:42:15.773412 |
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| 573 |
Loi forte des grands nombres version Etemadi |
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2026-07-23T12:42:15.773419 |
2026-07-23T12:42:15.773420 |
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| 574 |
Diagonalisation des formes quadratiques + classification sur R (Sylvester) |
Gourdon Algèbre |
2026-07-23T12:42:15.773429 |
2026-07-23T12:42:15.773429 |
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| 575 |
Générateurs de SL(E) et GL(E) |
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2026-07-23T12:42:15.773435 |
2026-07-23T12:42:15.773435 |
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| 576 |
Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis) |
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2026-07-23T12:42:15.773443 |
2026-07-23T12:42:15.773443 |
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| 577 |
Critère de convergence des séries télescopiques |
$\underline{Thm}$ : Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite telle que la série télescopique correspondante soit la série de terme général $(u_{n+1}-u_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Alors la convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ : $\sum \limits_{k=0}^{n-1} (u_{k+1}-u_k)=u_n-u_0$.\r\r$\underline{Application}$ : séries trigonométrique, harmonique et décomposable en éléments simples.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.773470 |
2026-07-23T12:42:15.773470 |
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| 578 |
Nombre de monômes à plusieurs variables, avec condition sur les degrés en chaque variable |
Ce développement vise à répondre à la question suivante : Si on considère un monôme dans l'espace des polynômes à n variables, en imposant des conditions sur le degré du monôme en chaque variable (maximum et minimum), combien existe t'il de monôme de degré total p vérifiant ces conditions ?\r\rPas de références pour ce Développement. |
2026-07-23T12:42:15.773489 |
2026-07-23T12:42:15.773489 |
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| 580 |
Normes sur Q[sqrt(2)] |
On exhibe deux normes sur Q[sqrt(2)], vu comme un Q espace vectoriel de dimension 2 et qui ne sont pas équivalentes. On discute ensuite de la raison pour laquelle le théorème \"en dimension finie toutes les normes sont équivalentes\". |
2026-07-23T12:42:15.773515 |
2026-07-23T12:42:15.773516 |
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| 581 |
Lemme de division et applications |
$\underline{Lemme}$ : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que $f(0)=0$. Alors la fonction $g : x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ se prolonge en $0$ en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$.\r\r$\underline{Application \ 1}$ : Si de plus $f''(0) \eq 0$ et que $f(x)>0$ pour tout $x \eq 0$ alors il existe $g$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que : $g^2=f$.\r\r$\underline{Application \ 2}$ : Si pour $l\ge 1$, $f(0)=f'(0)=...=f^{(l-1)}(0)=0$, alors pour tout $q\in \{1,...,l\}$, la fonction $g_q$ définie par : $g_q : x \mapsto \frac{f(x)}{x^q}$ admet un prolongement de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que : $g_q(0)=...=g^{(l-q-1)}(0)=0$.\r\r$\underline{Application \ 3}$ : On peut appliquer le lemme en $0$ aux fonctions : $x \mapsto \frac{\ln(1+x)}{x}$ et $x \mapsto \frac{1-\cos(x)}{x^2}$ par exemple...\r |
2026-07-23T12:42:15.773572 |
2026-07-23T12:42:15.773572 |
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| 582 |
Algorithme de Gauss ( ≈ pivot de Gauss symétrique ) |
Soit $n \in \mathbb{N}$. Toute matrice de $M_n(K)$ est congruente à une matrice triangulaire avec une diagonale de $A_i$ où $\forall i \in {1,...,n}$ $A_i \in K$ ou $A_i = \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix}$ |
2026-07-23T12:42:15.773590 |
2026-07-23T12:42:15.773590 |
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| 583 |
Théorèmes de Cochran et de Fisher |
Théorème de Cochran :\rSoit $X$ un vecteur gaussien d'espérance nulle et de matrice de covariance $\mathrm I_d$. On considère $E_1\oplus\dotsb\oplus E_r$ une décomposition de $\mathbb R^d$ en sous-espaces orthogonaux de dimensions respectives $d_1,\dotsc,d_r$. Alors les projections orthogonales $P_{E_1}(X),\dotsc,P_{E_r}(X)$ sont des vecteurs gaussiens indépendants. De plus, pour tout $j\in\{1,\dotsc,r\}$,\r\[ \lVert P_{E_j}(X) \rVert_2^2 \sim \chi^2(d_j) \]\r\rThéorème de Fisher :\rSoit $\u$ une loi sur $\{1,\dotsc,q\}$ telle que $\u(j)>0$ pour tout $j$, et soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi $\u$. Notons $N_{n,j}= \displaystyle\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i=j\}}$ et $T_n = \displaystyle\sum_{j=1}^q \frac{ \big(N_{n,j} - n\, \u(j)\big)^2 }{n\,\u(j)}$. Alors :\r\[ T_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \chi^2(q-1) \] |
2026-07-23T12:42:15.773645 |
2026-07-23T12:42:15.773645 |
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| 584 |
Méthode des caractéristiques pour des équations de transport |
On s'intéresse à la méthode des caractéristiques pour étudier des équations de transport, on commence par prouver que le problème bien posé admet une unique solution puis on montre un exemple de résolution. |
2026-07-23T12:42:15.773659 |
2026-07-23T12:42:15.773659 |
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| 585 |
Algorithme d'Euclide étendu et complexité |
On fait la preuve de l'algorithme par récurrence puis on montre dans Z que la complexité est en O(log a log b) ou a et b sont deux entiers positifs. |
2026-07-23T12:42:15.773671 |
2026-07-23T12:42:15.773671 |
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| 586 |
lien entre les différents modes de convergence d'une va |
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2026-07-23T12:42:15.773679 |
2026-07-23T12:42:15.773679 |
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| 587 |
Loi hypergéométrique et application |
$\underline{Thm}$ : Soient $N$, $N_1$ et $n$ des entiers naturels non nuls tel que $N_1 \le N$. On définit la fonction $h$ sur $\mathbb{N}$ par : $h(k)= \frac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ et avec la convention que $\binom{l}{q}=0$ si $q<0$ ou encore si $q>l$. Alors $h$ est le germe d'une loi de probabilité sur $\mathbb{N}$.\r\r$\underline{Application}$ : On considère une urne U qui contient $N$ boules dont $N_1$ vertes et les autres bleues. On tire au hasard et sans remise $n$ boules dans cette urne et on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules noires obtenues. Déterminer la loi de $X$ ainsi que son espérance. |
2026-07-23T12:42:15.773713 |
2026-07-23T12:42:15.773713 |
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| 588 |
Implémentation de la beta-réduction dans une machine de Turing |
On décrit ici le fonctionnement d'une machine de Turing capable d'effectuer un pas de $\beta$-réduction sur un $\lambda$-terme.\r\rIl découle de ce résultat que toute fonction $\lambda$-calculable est calculable par une machine de Turing. |
2026-07-23T12:42:15.773731 |
2026-07-23T12:42:15.773731 |
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| 589 |
Complexité moyenne du tri rapide |
On établit la complexité $O(n\log(n))$ du tri rapide _déterministe_. |
2026-07-23T12:42:15.773741 |
2026-07-23T12:42:15.773741 |
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| 590 |
Théorème de Morley |
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2026-07-23T12:42:15.773747 |
2026-07-23T12:42:15.773747 |
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| 591 |
Marche aléatoire sur Z/nZ |
On étudie une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, de matrice de transition invariante par translation. On montre qu'elle converge presque-sûrement vers la loi uniforme sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sous certaines conditions. |
2026-07-23T12:42:15.773764 |
2026-07-23T12:42:15.773764 |
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| 592 |
Suites de Sturm |
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $a < b$ tel que $P(a) \ot= 0$ et $P(b) \ot=0$. Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ dans $[a,b]$ est $V(a) - V(b)$ où $V$ est une fonction définie à l'aide des suites de Sturm de $P$.\r\rUne suite de Sturm est définie ainsi : on pose $S_0 = P$ et $S_1 = P'$. Pour tout $i \ge 2$, on définit $S_i$ par récurrence par la formule $S_{i-1} = A_i S_i - S_{i+1}$ avec $deg(S_{i+1}) < deg(S_i)$ tant que c'est possible. On définit \r\[\rV(x) = \{ (i,j) \colon 0 \leq i < j \leq p, S_i(x) S_j(x) < 0 \text{ et } S_k(x) = 0 \text{ si } i < k < j \}\r\]\r\r |
2026-07-23T12:42:15.773798 |
2026-07-23T12:42:15.773798 |
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| 593 |
Lemme de Scheffé et applications |
Soit $f_n$ une suite de $L^1$ de $(S,\mu)$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour presque tout $x$, $f_n(x) \to f(x)$ lorsque $n \to +\infty$. Alors \r\[\r\int |f_n| d\mu \to \int |f| d\mu\r\]\rsi et seulement si $\int |f_n-f| d\mu \to 0$.\r\rNDLR : c'est la rédac qui a ajouté l'énoncé. C'est donc à vérifier par l'auteur du développement. |
2026-07-23T12:42:15.773825 |
2026-07-23T12:42:15.773826 |
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| 594 |
Théorème de récurrence de Poincaré et application |
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2026-07-23T12:42:15.773833 |
2026-07-23T12:42:15.773833 |
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| 595 |
Graphes et formules logiques : 2-SAT est NL-complet, CLIQUE est NP-complet |
On montre les liens entre les problèmes de graphes et le calcul propositionnel.\rDans un sens, on part de 2-SAT et on utilise un algorithme sur les graphes pour montrer que le problème est dans P (et même qu'il est NL-complet).\rDans l'autre sens, on part de CLIQUE dont on montre la NP-complétude à l'aide de SAT. |
2026-07-23T12:42:15.773852 |
2026-07-23T12:42:15.773852 |
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| 596 |
Problème de Dirichlet sur le demi-plan supérieur |
Résolution de $\Delta u = 0, u(x,0^+) = f(x)$ sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$. |
2026-07-23T12:42:15.773865 |
2026-07-23T12:42:15.773865 |
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| 598 |
Continuité d'une limite de suite de fonctions |
Si une suite de fonctions continues de ℝ dans ℝ converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels. |
2026-07-23T12:42:15.773876 |
2026-07-23T12:42:15.773877 |
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| 599 |
Escalier de Cantor |
Il existe une fonction f continue croissante sur $[0, 1]$, telle que $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$, qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle. |
2026-07-23T12:42:15.773888 |
2026-07-23T12:42:15.773888 |
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| 600 |
Isomorphisme de groupes finis |
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2026-07-23T12:42:15.773895 |
2026-07-23T12:42:15.773895 |
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| 601 |
Produit infini de fonctions holomorphes |
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2026-07-23T12:42:15.773902 |
2026-07-23T12:42:15.773902 |
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| 602 |
Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle |
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2026-07-23T12:42:15.773908 |
2026-07-23T12:42:15.773909 |
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| 603 |
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique |
On démontre la formule d'Euler-Maclaurin puis on l'applique à $f(t)=\frac 1 t $ pour obtenir le développement asymptotique de la série harmonique. |
2026-07-23T12:42:15.773922 |
2026-07-23T12:42:15.773922 |
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| 604 |
Etude du groupe Diédral |
dans le PEARSON Algèbre 3, on étudie le groupe Diédral.\rGénérateur et présentation\rProduit semi-direct. |
2026-07-23T12:42:15.773933 |
2026-07-23T12:42:15.773934 |
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| 648 |
Étude de la loi Gamma |
Fonction caractéristique, transformée de Laplace et moments de la loi Gamma. |
2026-07-23T12:42:15.774427 |
2026-07-23T12:42:15.774428 |
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| 605 |
Théorème de Frobenius |
Tout corps K contenant R dans son centre et de dimension finie sur R est isomorphe à R, C ou H.\rRéférence : Perrin, Algèbre.\r |
2026-07-23T12:42:15.773945 |
2026-07-23T12:42:15.773945 |
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| 606 |
Réduction simultanée de Matrices symétriques |
soit A une matrice symétrique réelle définie positive.\rSoit B une matrice symétrique réelle.\r\rIl existe une matrice P inversible de GL(E) telle que t(P)AP = I et telle que t(P)BP est diagonale, ou t(P) désigne la transposée de P.\r\rRéférence : Algèbre Bilinéaire, COGNET, prop. 3.2.4 p169 |
2026-07-23T12:42:15.773964 |
2026-07-23T12:42:15.773964 |
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| 607 |
Matrices symétriques et convexité |
A1 et A2 matrices symétriques, a dans [0;1]\ron exprime une relation de convexité liant les déterminants de A1 et A2.\r\r\rRéférence : COGNET, algèbre Bilinéaire, Exercice 3.2.1 p170. |
2026-07-23T12:42:15.773977 |
2026-07-23T12:42:15.773977 |
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| 608 |
Autour du rayon spectral |
$\underline{Thm}$ (Browne-Hirsch) : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Alors pour toute norme matricielle $N$, induite ou non, $\rho(A) \le N(A)$ où $\rho(A)$ désigne le rayon spectral de $A$. \r\r$\underline{Thm}$ (Householder) : Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, pour tout $\varepsilon >0$, il existe une norme matricielle induite par une norme vectorielle telle que $\Vert A \Vert_{\varepsilon} \le \rho(A) +\varepsilon$. On a de plus : $\rho(A)=\inf\{\Vert A \Vert_{\varepsilon}, \ \Vert . \Vert_{\varepsilon} \in \mathcal{N}\}$ où $\mathcal{N}$ désigne l'ensemble de toutes les normes matricielles induites par une norme vectorielle.\r\r$\underline{Thm}$ (Gelfand) : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, alors pour toute norme matricielle $N$ (induite ou non) sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la limite de $(N(A^n))^{1/n}$ existe et vaut $\rho(A)$.\r\r$\underline{Références}$ : $\textit{-Rombaldi, Analyse Matricielle.}$\r$\textit{-Benhamadou/Jeribi, Analyse Numérique Matricielle.}$ |
2026-07-23T12:42:15.774040 |
2026-07-23T12:42:15.774041 |
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| 609 |
Calcul de la distance d'édition |
Algorithme dynamique de calcul de la distance d'édition (modification d'une lettre ou suppression) entre deux chaînes de caractère. |
2026-07-23T12:42:15.774053 |
2026-07-23T12:42:15.774054 |
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| 610 |
Universalité d'un langage rationnel |
Le problème de déterminer si une expression rationnelle engendre le langage universel est PSPACE-complet. |
2026-07-23T12:42:15.774065 |
2026-07-23T12:42:15.774065 |
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| 611 |
Correction des algorithmes de Prim et Kruskal |
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2026-07-23T12:42:15.774086 |
2026-07-23T12:42:15.774086 |
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| 612 |
Principe des zéros isolés |
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2026-07-23T12:42:15.774093 |
2026-07-23T12:42:15.774093 |
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| 613 |
Théorème de Baire et applications |
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2026-07-23T12:42:15.774099 |
2026-07-23T12:42:15.774099 |
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| 614 |
Différentielle de la limite |
On généralise le théorème de converge d'une suite de fonction C1 de R dans R aux fonctions de Rn dans Rn.\r\rEn application (parce que c'est un peu juste quand même ^^) on calcul la différentielle de l'exponentielle. |
2026-07-23T12:42:15.774116 |
2026-07-23T12:42:15.774116 |
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| 615 |
De la formule de l'indice à D'Alembert Gauss |
On part de la formule de l'indice (qui utilise la connexité) puis on passe par le th de Cauchy pour les convexes puis l'inégalité de Cauchy, puis Liouville, puis d'Alembert.\r\rPas difficile mais long. On s'arrête à Liouville si on a pas le temps (sauf si on veut en faire un dev pour les leçons sur les polynômes.\r\rRéférence : Tauvel |
2026-07-23T12:42:15.774138 |
2026-07-23T12:42:15.774138 |
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| 617 |
Isomorphisme entre O(pq) et O(p)O(q)R^pq |
Caldero Germoni |
2026-07-23T12:42:15.774145 |
2026-07-23T12:42:15.774146 |
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| 619 |
Factorisation LU par le Pivot de Gauss |
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2026-07-23T12:42:15.774152 |
2026-07-23T12:42:15.774152 |
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| 621 |
Etude d'une équation de Riccati |
C'est un exo... mais bon... |
2026-07-23T12:42:15.774161 |
2026-07-23T12:42:15.774161 |
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| 623 |
Loi faible des grands nombres + Grandes déviations |
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2026-07-23T12:42:15.774168 |
2026-07-23T12:42:15.774168 |
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| 624 |
Cercles de Chasles d'une ellipse |
\r\r** Note de la rédaction qui essaye de deviner de quel développement il s'agit **\r\rça doit être\rhttp://perso.eleves.ens-rennes.fr/%7Elgay/Agregation/ellipse%20et%20nombres%20complexes.pdf\r\rTRIGNAN J. Constructions géométriques et courbes remarquables\rMONIER : Géométrie MPSI\r |
2026-07-23T12:42:15.774187 |
2026-07-23T12:42:15.774187 |
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| 625 |
Orbites et PGCD des vecteurs de Z et action de GLn(Z) |
\rPour l'action à gauche de GLn(Z) sur les matrices colonnes de n entiers relatifs.\rDeux matrices colonnes sont dans la même orbite si le pgcd de leurs coefficients sont égaux.\r |
2026-07-23T12:42:15.774201 |
2026-07-23T12:42:15.774202 |
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| 626 |
Théorème de Calderon |
Soit $n ≥ 2$, soit Ω un ouvert borné de $\mathbb{R}^{n}$. L'espace vectoriel engendré par les produits de gradients de fonctions harmoniques sur Ω à valeurs dans $\mathbb{R}$ est dense dans $L^{2}(Ω)$. |
2026-07-23T12:42:15.774215 |
2026-07-23T12:42:15.774215 |
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| 627 |
Résolution de -u''+u=f sur le cercle |
On cherche des solutions faibles à $-u''+u=f$ avec $f \in L^{2}(0,2\pi)$ avec des conditions aux bord périodiques. |
2026-07-23T12:42:15.774229 |
2026-07-23T12:42:15.774229 |
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| 628 |
Sommes de Gauss et équations diophantiennes |
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2026-07-23T12:42:15.774236 |
2026-07-23T12:42:15.774236 |
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| 629 |
Morphismes continus du cercle dans GLn(R) |
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2026-07-23T12:42:15.774243 |
2026-07-23T12:42:15.774243 |
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| 630 |
Générateurs de O(E) et Isom(E) |
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2026-07-23T12:42:15.774249 |
2026-07-23T12:42:15.774249 |
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| 631 |
Fonctions analytiques réelles |
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2026-07-23T12:42:15.774255 |
2026-07-23T12:42:15.774256 |
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| 632 |
Réduction par bloc d'une isométrie |
Sous-espaces stables, réduction d'endomorphismes |
2026-07-23T12:42:15.774265 |
2026-07-23T12:42:15.774265 |
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| 633 |
Résolution de l'équation de la chaleur par transformée de Fourier |
Dans une analyse, la transformée de Fourier permet de donner une solution : $u_0$ convolué avec le noyau de la chaleur.\rDans une synthèse, on montre que pour $u_0$ continu et $L^1$ (ou $L^\infty$ pour des ouvrages...), la solution précédente est bien une solution. |
2026-07-23T12:42:15.774282 |
2026-07-23T12:42:15.774283 |
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| 634 |
Groupe d'ordre pq^2 |
Pour p et q premiers distincts, soit G groupe d'ordre pq^2, on montre que G n'est pas simple. |
2026-07-23T12:42:15.774293 |
2026-07-23T12:42:15.774293 |
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| 636 |
Lemme de Borel |
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2026-07-23T12:42:15.774299 |
2026-07-23T12:42:15.774300 |
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| 637 |
Equation de la chaleur dans L^2(\R^d) [vide] |
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2026-07-23T12:42:15.774307 |
2026-07-23T12:42:15.774307 |
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| 640 |
Algorithme d'Edmonds-Karp |
L'algorithme d'Edmonds-Karp calcule un flot minimal sur $G=(V,E)$ en temps $O\left(|V|\times|E|^2\right)$. |
2026-07-23T12:42:15.774320 |
2026-07-23T12:42:15.774320 |
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| 641 |
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq) |
Un petit dénombrement grâce, notamment, à la formule des classes. |
2026-07-23T12:42:15.774330 |
2026-07-23T12:42:15.774330 |
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| 642 |
Dunford et l'exponentielle de matrice |
Preuve courte de Dunford et application à l'exponentielle de matrice ! |
2026-07-23T12:42:15.774341 |
2026-07-23T12:42:15.774341 |
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| 643 |
Théorème du Point Fixe de Brouwer version différentielle |
On le fait dans le cas C infini |
2026-07-23T12:42:15.774350 |
2026-07-23T12:42:15.774350 |
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| 644 |
Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères) |
Ici on cherche une condition pour avoir une table de caractères à valeur dans les entiers ! |
2026-07-23T12:42:15.774362 |
2026-07-23T12:42:15.774362 |
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| 645 |
Théorème de Runge (version faible) |
Soit $K$ un compact de $C$ de complémentaire connexe et $a \in K^C$. Alors $\frac{1}{z-a}$ est limite uniforme sur $K$ de polynôme. |
2026-07-23T12:42:15.774373 |
2026-07-23T12:42:15.774374 |
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| 646 |
Dual de Mn(K) et application aux hyperplans |
Le dual de Mn(K) est Mn(K).\r\rTout hyperplan de Mn(K) coupe GLn(K). |
2026-07-23T12:42:15.774384 |
2026-07-23T12:42:15.774384 |
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| 647 |
Équation de Schrödinger dans S(R) |
Soit $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Il existe une unique fonction $u$ vérifiant\r\[\forall x,t\in\mathbb{R}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=i\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t),\]\rtelle que $u(.,0)=f$ et telle que pour tout $T>0$, pour tout $k,l\geq 0$,\r\[\sup_{|t|< T}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|x^k\frac{\partial^l}{\partial x^l}u(x,t)\right|<+\infty.\] |
2026-07-23T12:42:15.774418 |
2026-07-23T12:42:15.774419 |
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| 649 |
Théorème de Lévy et TCL |
Équivalence entre la convergence en loi d'une suite de v.a. vers $X$ et la convergence simple de la suite de leurs fonction caractéristique vers celle de $X$. Application au TCL. |
2026-07-23T12:42:15.774440 |
2026-07-23T12:42:15.774440 |
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| 650 |
Sous-groupes de (R,+) |
Les sous groupes de ($\mathbb{R}$,+) sont de la forme $a\mathbb{Z}$, avec $a\geqslant0$ ou bien sont denses dans $\mathbb{R}$. |
2026-07-23T12:42:15.774452 |
2026-07-23T12:42:15.774453 |
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| 651 |
Distance de Hausdorff, Théorème de Hutchinson |
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet, $\mathcal{K}(X)$ l'ensemble des compacts de $X$. Soit $A$ un compact, on note $d_A(x)=\underset{a\in A}{\inf}d(a,x)$ la distance à $A$.\rSoient $A,B$ deux compacts de $X$, on défini leur distance de Hausdorff par:\r\[\delta(A,B)=\max(\underset{a\in A}{\sup}\ d_{B}(a),\underset{b\in B}{\sup}\ d_{A}(b))\]\rAlors:\r\[(\mathcal{K}(X),\delta)\text{ est un espace métrique complet.}\]\r\r\rThéorème de Hutchinson: Soit $c\in ]0,1[$, on considère $w_1,..w_N$ des applications $c$-Lipschitziennes de $X$ dans $X$. On pose\r\[W:\begin{cases}\mathcal{K}(X)\rightarrow\mathcal{K}(X)\\ A\mapsto \cup_{i=1}^{N}w_i(A)\end{cases}\]\rAlors $W$ admet un unique point fixe. |
2026-07-23T12:42:15.774499 |
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| 652 |
Inégalités de Weyl |
Soit $M\in H_n(\mathbb{C})$, $\lambda_1(M)\leq..\leq\lambda_n(M)$ ses valeurs propres, $E_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ et $S$ la sphère unité, on a les formules de min-max suivantes:\r\begin{align*}\r\lambda_k(M)&=\underset{F\in E_k}{\min}\ \underset{x\in F\cap S}{\max}x^* Mx\\\r&=\underset{F\in E_{n-k+1}}{\max}\ \underset{x\in F\cap S}{\min}x^* Mx\r\end{align*}\rSi $M$ et $N$ sont hermitiennes, on en déduit les inégalités de Weyl:\r\begin{align*}\r\lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\geq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=n+k\\\r\lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\leq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=1+k\\\r\end{align*}\rExemple de corollaire: $M\mapsto \lambda_k(M)$ est 1-Lipschitzienne. |
2026-07-23T12:42:15.774554 |
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| 653 |
Stabilité d'une EDL à coefficients périodiques |
Soit $q$ une fonction continue, positive, non identiquement nulle, et $T$-périodique où $T>0$. Si $\int_{0}^{T}q\leq \frac{4}{T}$, alors toutes les solutions de $\theta''+q\theta=0$ sont bornées. |
2026-07-23T12:42:15.774570 |
2026-07-23T12:42:15.774571 |
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| 654 |
Fonction caractéristique C1 sans moment |
Théorème: Soit $(b_n)_{n\geq 0}$ une suite décroissante qui tend vers 0, on pose $\phi_n(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_k \sin(kt)$. Alors $\phi_n$ converge localement uniformément sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$, et on a l'équivalence suivante:\r\[(nb_n\rightarrow 0)\Longleftrightarrow (\phi_n\text{ converge uniformément sur }\mathbb{R})\]\r\rCorollaire: Soit $C^{-1}=\sum\limits_{k\geq 2}\frac{1}{k^2 \log(k)}$, et $\mu$ la distribution de probabilité sur $\mathbb{Z}$ définie par $\mu(n)=\frac{C}{2n^2 \log(|n|)}$. Soit $\phi$ sa fonction caractéristique, alors $\phi\in\mathcal{C}^{1}$ et $\mathbb{E}[|\mu|]=\infty$. |
2026-07-23T12:42:15.774617 |
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| 655 |
Un isomorphisme entre groupes de Lie |
On note $PSL(2)=SL(2,\mathbb{R})/\lbrace \pm I_2\rbrace$, $O(1,2)$ le groupe d'isométrie de la forme quadratique réelle de signature $(1,2)$, et $SO_{0}(1,2)$ sa composante connexe à l'identité. Alors ces deux groupes sont isomorphes. |
2026-07-23T12:42:15.774634 |
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| 656 |
Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application |
Théorème: Soient $x_1,..,x_n\in\mathbb{C}$, on note $V(x_1,..,x_n)\in M_n(\mathbb{C})$ la matrice dont le coefficient $(i,j)$ est $x_j^{i-1}$, et on note $v(x_1,..,x_n)$ son determinant. Alors\r\r\[v(x_1,..,x_n)=\prod_{1\leq i < j\leq n}(x_j-x_i)\]\r\rThéorème: Soit $A\in M_n(\mathbb{C})$, on note $(v_i)_{i=1..n}$ ses colonnes, alors on a l'inégalité de Hadamard:\r\[|\det(A)|\leq \prod_{i=1}^{n}\Vert v_i\Vert_2\]\rAvec égalité si et seulement si les $(v_i)$ sont deux à deux orthogonales.\smallbreak\r\rApplication: Soit $\mathbb{D}$ le disque unité fermé, le maximum de \[f:\r(z_1,..,z_n)\mapsto \prod_{1\leq i < j \leq n} |z_j-z_i|\]\r pour $(z_1,..,z_n)\in\mathbb{D}^n$ vaut $n^{n/2}$ et est atteint pour les polygônes réguliers exactement. |
2026-07-23T12:42:15.774682 |
2026-07-23T12:42:15.774683 |
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| 657 |
Méthode QR |
Soit $A\in GL_n(\mathbb{C})$ diagonalisable, on suppose que ses valeurs propres sont de module distincts et on les classe par module décroissant; $|\lambda_1|>..>|\lambda_n|$. On construit la suite\r\[\begin{cases}\rA_0=A\\\rA_{k+1}=R_k Q_k\text{ où }A_k=Q_k R_k\text{ est la décomposition QR de }A_k\r\end{cases}\]\rOn suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $A=PDP^{-1}$ où $D=diag(\lambda_1,..,\lambda_n)$ et $P^{-1}$ admet une décomposition $LU$.\rAlors la diagonale de $A_k$ converge vers $(\lambda_1,..,\lambda_n)$, et les coefficients sous la diagonale tendent vers 0. |
2026-07-23T12:42:15.774718 |
2026-07-23T12:42:15.774719 |
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| 658 |
Solution de l'équation des ondes par moyennes sphériques |
On considère l'équation des ondes avec conditions initiales $f,g\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$:\r\begin{equation}\r\label{wave2}\r\begin{cases}\r\partial_{t}^{2} u-\Delta u=0\\\ru(0,x)=f(x)\\\r\partial_t u(0,x)=g(x)\r\end{cases}\r\end{equation}\rSoit $u\in\mathcal{C}^{3}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3,\mathbb{R})$, vérifiant cette équation, alors:\r\[u(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} f(y)dS(y)\right)+\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} g(y)dS(y)\] |
2026-07-23T12:42:15.774764 |
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| 659 |
Théorème de Bernstein |
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires réelles, vérifiant la condition que $X\coprod Y$ et $X+Y\coprod X-Y$. Alors $X$ et $Y$ suivent des lois normales.\r\rVariation du théorème : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes admettant des moments de tout ordre (hypothèse non nécessaire pour le résultat, mais nous démontrons une version moins forte). Alors : (U=X+Y indépendant de V=X-Y) ssi (X et Y sont gaussiennes)\r\rNDLR : ça doit se trouver dans Ouvrard ? |
2026-07-23T12:42:15.774785 |
2026-07-23T12:42:15.774785 |
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| 660 |
Théorème de Lindeberg |
Soit $(r_n)_n$ une suite d'entiers et $(X_{n,k})_{1\leq k\leq r_n}$ des variables aléatoires centrées indépendantes (selon $k$). On note $\sigma_{n,k}^{2}=\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}]$, $s_{n}^{2}=\sum_{k=1}^{r_{n}}\sigma_{n,k}^{2}$, $S_{n}=\sum_{k=1}^{r_{n}}X_{n,k}$. On suppose de plus que les $(X_{n,k})$ vérifient la condition de Lindeberg:\r\[\forall \varepsilon>0,\ \ \frac{1}{s_{n}^{2}}\sum_{k=1}^{r_{n}}\mathbb{E}[X_{n,k}^{2}1_{|X_{n,k}|>\varepsilon s_n}]\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}0\]\r\r\rAlors $\frac{S_{n}}{s_{n}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite. |
2026-07-23T12:42:15.774822 |
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| 661 |
Transformée de Fourier d'une gaussienne |
Théorème:\rSoit $a$ un réel, $a >0$. Alors, $\forall \xi \in \mathbb{R}$ :\r\begin{equation*}\r\mathcal{F}(e^{-ax^2})(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp({\frac{-\xi ^2}{4a}})\r\end{equation*} |
2026-07-23T12:42:15.774844 |
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| 662 |
Expression des zeta(2k) |
$\forall k\in\mathbb{N}^*,\quad \zeta(2k)=(-1)^{k-1}\dfrac{(2\pi)^{2k}}{2.(2k)!}b_{2k}\in\pi^{2k}\mathbb{Q} \quad$ (où $b_n$ est le n$^{ème}$ nombre de Bernoulli). |
2026-07-23T12:42:15.774863 |
2026-07-23T12:42:15.774863 |
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| 663 |
Théorème de Vitali |
Soient $(X_n)\in\mathbb{L}^1(\Omega,\mathbb{K})^{\mathbb{N}}$ et $X\in\mathbb{L}^0(\Omega,\mathbb{K})$.\rOn a : $X_n \displaystyle {\overset {\mathbb{P}}{\underset {n\to+\infty}{\longrightarrow}}}X$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ équi-intégrable $\Leftrightarrow$ $X\in\mathbb{L}^1(\Omega,\mathbb{K})$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}||X-X_n||_1=0$. |
2026-07-23T12:42:15.774894 |
2026-07-23T12:42:15.774894 |
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| 695 |
Mélange de cartes |
svp\r\rrajouter une courte description du ce qui est démontré, une petite réf (ou indiquer que c'est fait maison) et un minimum de recasages en cliquant sur modifier le développement en haut à droite\r\rla rédac |
2026-07-23T12:42:15.775330 |
2026-07-23T12:42:15.775330 |
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| 664 |
Image numérique elliptique |
Pour tout $A\in M_n(\mathbb{C})$, on note $W(A)=\lbrace X^* A X,\text{ où }X\in\mathbb{C}^2\text{ tel que }X^*X=1\rbrace$ son image numérique.\r\rThéorème: Soit $A\in M_2(\mathbb{C})$, alors $W(A)$ est une ellipse pleine (éventuellement dégénérée). Ses foyers sont les valeurs propres de $A$.\r\rCorollaire: Soit $A\in M_n(\mathbb{C})$, alors $W(A)$ est convexe (Théorème de Hausdorff-Toepliz). |
2026-07-23T12:42:15.774920 |
2026-07-23T12:42:15.774920 |
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| 666 |
Gradient à pas fixe |
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2026-07-23T12:42:15.774926 |
2026-07-23T12:42:15.774926 |
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| 667 |
Représentation par permutation et formule de Burnside |
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2026-07-23T12:42:15.774933 |
2026-07-23T12:42:15.774934 |
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| 668 |
Sphère de M_2(R) |
On munie $M_2(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée à la norme $\Vert.\Vert_2$ de $\mathbb{R}^2$. On note $\Sigma$ la sphère unité de $M_2(\mathbb{R})$. On note aussi $R$ l'ensemble des rotations et $S$ l'ensemble des symétries orthogonales. On notera $r_{\theta}$ (resp $s_\theta$) la rotation (resp symétrie) d'angle $\theta$. On notera aussi $\mathbb{D}$ le disque unité complexe fermé et $\mathbb{S}^1$ son bord. Alors:\r\rThéorème:\r$\Sigma$ est l'union des segment $[r,s]$ $(r,s)\in R\times S$, et deux tels segments ne peuvent s'intersecter que sur une extrémité.\rDe plus, $R$ et $S$ sont des cercles \"enlacés\" dans $\Sigma$ au sens où pour toute application continue $\rho:\mathbb{D}\rightarrow \Sigma$ tel que $\rho(e^{i\theta})=r_{\theta}$ (resp $s_\theta$), on a $\rho(\mathbb{D})\cap S\eq \emptyset$ (res $\rho(\mathbb{D})\cap R\eq \emptyset$). |
2026-07-23T12:42:15.774987 |
2026-07-23T12:42:15.774988 |
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| 669 |
Le grand théorème de Fermat est faux dans Z/pZ |
Soit $n$ un entier. Alors il existe un nombre premier $q$ tel que pour tout nombre premier $p \geq q$, l'équation $x^n + y^n = z^n \mod p$ admet une solution non triviale, c'est-à-dire telle que $xyz \ot = 0 \mod p$. \r\r(Démonstration basée uniquement sur des méthodes combinatoires.) |
2026-07-23T12:42:15.775006 |
2026-07-23T12:42:15.775006 |
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| 673 |
A noetherien implique A[X] noetherien |
généralisation des anneaux principaux, les anneaux noetheriens ont, eux, des idéaux engendrés non pas par un mais pas un nombre fini d'éléments.\ralors que le fait d'être principal ne se transmet pas de A à A[X], le fait d'être noetherien se transmet\rje ne sais pas si ce développement va bien avec la leçon 122 ou s'il est hors sujet, qu'en pensez vous ? |
2026-07-23T12:42:15.775028 |
2026-07-23T12:42:15.775028 |
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| 674 |
K est un corps équivalent à K[X] principal |
Plus précisément, le développement consiste à démontrer que :\r\rA[X] principal ⇒ A est un corps\r\rA est un corps ⇒ A[X] euclidien (donc principal). |
2026-07-23T12:42:15.775040 |
2026-07-23T12:42:15.775040 |
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| 675 |
Formule de Gauss pour la fonction Gamma d'Euler |
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2026-07-23T12:42:15.775047 |
2026-07-23T12:42:15.775048 |
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| 677 |
Calcul exact de psi(p/q) |
psi est la fonction digamma |
2026-07-23T12:42:15.775055 |
2026-07-23T12:42:15.775056 |
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| 678 |
Existence du complété d'un espace métrique |
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2026-07-23T12:42:15.775063 |
2026-07-23T12:42:15.775063 |
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| 679 |
Borel-Lebesgue implique Bolzano-Weierstrass |
Équivalence, pour $(X,d)$ métrique, entre Borel Lebesgue et Blozano Weierstrass |
2026-07-23T12:42:15.775072 |
2026-07-23T12:42:15.775073 |
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| 680 |
Une condition suffisante de convexité |
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2026-07-23T12:42:15.775079 |
2026-07-23T12:42:15.775079 |
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| 681 |
Polynômes et fractions rationnelles alternés |
Théorème : Soit P un polynôme alterné de degré d. Alors il existe un polynôme D symétrique de degré d - n(n-1)/2 tel que P = VD où \r\[\rV(X_1, \ldots , X_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (X_j- X_i)\r\]\r\rThéorème : Soit F une fraction rationnelle alternée. Alors il existe S,T des polynômes symétriques tels que $F = V \cdot S/T$ ou $F = \frac{1}{V} \cdot \frac{S}{T}$.\r\rRéf : Goblot, algèbre commutative |
2026-07-23T12:42:15.775106 |
2026-07-23T12:42:15.775106 |
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| 682 |
Règles de Bioche |
On démontre les règles de Bioche permettant de calculer des intégrales de fractions rationnelles en cosinus et sinus.\r\rhttps://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gles_de_Bioche |
2026-07-23T12:42:15.775119 |
2026-07-23T12:42:15.775119 |
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| 683 |
Suites récurrentes linéaires : théorie et pratique |
Sur les suites récurrentes linéaires (comme Fibonacci). \r\rThéorème : une suite complexe est récurrente linéaire ssi il existe des polynômes et des complexes tels que \r\[\ru_n = \sum_{i=1}^k P_i(n) r_i^n\r\]\r\rLemme : une suite $u_n$ est récurrente linéaire d'ordre au plus $p$ si la matrice $A_n$ définie par $a_{i,j} = u_{i+j-2}$ est de rang au plus $p$.\r\rCe lemme permet en pratique de trouver une relation de récurrence linéaire satisfaite par une suite. |
2026-07-23T12:42:15.775144 |
2026-07-23T12:42:15.775144 |
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| 684 |
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ |
Théorème : L'application $\varphi (x) = x^k$ de $Z/nZ$ dans $Z/nZ$ est bijective ssi $n$ est sans facteur carré et si $p-1$ est premier avec $k$ pour tout facteur premier $p$ de $n$.\r\rThéorème : Il y a exactement $2^s$ idempotents dans $Z/nZ$ où $s$ est le nombre de nombres premiers intervenant dans la décomposition en irréductibles de $n$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.775163 |
2026-07-23T12:42:15.775163 |
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| 685 |
Déterminant de Vandermonde |
Théorème : on définit $V(x_1, \ldots, x_n)$ comme étant la matrice de coefficient général $v_{i,j} = x_i^{j-1}$. Alors \r\[\rdet( V(x_1, \ldots , x_n)) = \prod_{1 \leq i < j \leq n } (x_j- x_i)\r\]\r\rOn peut démontrer ce résultat à l'aide de plusieurs méthodes différentes. Par exemple : par récurrence à l'aide d'un polynôme, par récurrence à l'aide de calculs directs. |
2026-07-23T12:42:15.775188 |
2026-07-23T12:42:15.775189 |
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| 686 |
Inégalité de Hoeffding et application à la convergence presque sûre |
Analyse pour l'agregation, J.Bernis |
2026-07-23T12:42:15.775198 |
2026-07-23T12:42:15.775198 |
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| 687 |
Confluence du lambda-Calcul |
La relation de beta-réduction est localement confluente et confluente, mais ne termine pas (CE au théoreme de Newman) |
2026-07-23T12:42:15.775208 |
2026-07-23T12:42:15.775209 |
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| 688 |
Ensembles de vecteurs presque orthogonaux |
\r |
2026-07-23T12:42:15.775216 |
2026-07-23T12:42:15.775217 |
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| 689 |
Une caractérisation de la loi exponentielle |
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi $\mu$, admettant une densité $f$ telle que $f(x) > 0$ si et seulement si $x\in \mathbb R ^+$. On pose $U = \min(X,Y)$ et $W = |X-Y|$. Alors $U$ et $V$ sont à densité. De plus, si $f$ est continue sur $\mathbb R ^+$, alors $U$ et $W$ sont indépendantes si et seulement si $\mu$ est une loi exponentielle. |
2026-07-23T12:42:15.775239 |
2026-07-23T12:42:15.775239 |
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| 690 |
Algorithme d'Aho-Corasick [no recasage] |
svp rajouter une courte description du ce qui est démontré, une petite réf (ou indiquer que c'est fait maison) et un minimum de recasages en cliquant sur modifier le développement en haut à droite la rédac |
2026-07-23T12:42:15.775252 |
2026-07-23T12:42:15.775253 |
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| 691 |
Automate d'Antimirov |
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2026-07-23T12:42:15.775259 |
2026-07-23T12:42:15.775259 |
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| 692 |
Correction de l'algorithme de Kruskal |
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2026-07-23T12:42:15.775266 |
2026-07-23T12:42:15.775266 |
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| 693 |
Lemme de Zabrejko et applications |
Soit $(X,||\cdot ||)$ un espace de Banach et $p: X \rightarrow \mathbb R ^+$ une semi-norme vérifiant la condition de $\sigma$-sous-additivité suivante : pour toute série convergente $\sum x_n \in X$, on a \r\r$$p\left( \sum x_n \right) \leq \sum p(x_n) \leq \infty $$\rAlors il existe une constante $M > 0$ telle que pour tout $x\in X, p(x)\leq M||x||$.\r\rLes trois théorèmes classiques d'analyse fonctionnelle (Banach-Steinhaus, application ouverte, graphe fermé) sont tous des corollaires du lemme de Zabrejko. |
2026-07-23T12:42:15.775298 |
2026-07-23T12:42:15.775298 |
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| 694 |
Théorème de Niemytzki-Tychonoff (aka théorème de Bing) |
Soit $(X,d)$ un espace métrique. Il est compact si et seulement si pour toute métrique $d'$ topologiquement équivalente à $d$, l'espace $(X,d')$ est complet. \r\rCe résultat s'appelle théorème de Niemytzki-Tychonoff sur Wikipédia, théorème de Bing dans le Queffélec (Topologie). |
2026-07-23T12:42:15.775316 |
2026-07-23T12:42:15.775316 |
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| 696 |
Dilemme des prisonniers |
[ https://fr.wikipedia.org/wiki/Dilemme_du_prisonnier ? la rédac ] |
2026-07-23T12:42:15.775339 |
2026-07-23T12:42:15.775339 |
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| 698 |
Logarithme discret |
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2026-07-23T12:42:15.775345 |
2026-07-23T12:42:15.775346 |
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| 699 |
Alternative de Fredholm |
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2026-07-23T12:42:15.775352 |
2026-07-23T12:42:15.775352 |
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| 700 |
Les fonctions récursives sont les fonctions calculables par machine de Türing |
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2026-07-23T12:42:15.775359 |
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| 702 |
Méthode de Jacobi aléatoire [merci de compléter ce dév :) ] |
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2026-07-23T12:42:15.775366 |
2026-07-23T12:42:15.775367 |
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| 703 |
Polynômes à valeurs premières |
Soit $P \in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_k]$ pour $k \in \mathbb{N}^*$.\rSoit $f : n \to P(n, 2^n, \dots, k^n)$.\rSi $f(n)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, alors la suite $(f(n))_{n \in \mathbb{N}}$ prend une infinité de valeurs non premières.\r\rRéférence : un des FGN, de mémoire Algèbre 1 |
2026-07-23T12:42:15.775389 |
2026-07-23T12:42:15.775389 |
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| 704 |
Convergence de séries de variables aléatoires |
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, centrées et possédant une variance finie. On pose $S_n := X_1 + ... + X_n$. On suppose que la série de terme général $E(X_n^2)$ converge. Alors la somme $S_n$ converge presque sûrement. |
2026-07-23T12:42:15.775403 |
2026-07-23T12:42:15.775404 |
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| 705 |
Résolution de l'équation de Fermat dans les cas n=2 ou 4 |
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2026-07-23T12:42:15.775411 |
2026-07-23T12:42:15.775411 |
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| 706 |
Étude d'une norme dans un Hilbert |
Soit $E$ un espace de Hilbert complexe. Pour $T\in \mathcal L(E)$, on note $n(T) := \sup \{|(Tx,x)|, \, ||x||=1\}$. Pour tout $T \in \mathcal L(E)$, on a $n(T)\leq ||T|| \leq 2n(T)$. Ainsi, $n$ est une norme sur $\mathcal L(E)$, équivalente à $||\cdot ||$. \r\rSi $T$ est auto-adjointe, on a $n(T) = ||T||$. \r\rLa constante $2$ est optimale dès lors que $\operatorname{dim}(E) \geq 2$. \r\rL'inégalité $||T|| \leq 2n(T)$ est fausse si $E$ est un Hilbert réel de dimension $ \geq 2$. |
2026-07-23T12:42:15.775444 |
2026-07-23T12:42:15.775444 |
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| 707 |
Calcul de $\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t$ |
Pour $\alpha \in ]0,1[$, on a $$\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t = \Gamma(\alpha)\operatorname{e}^{i\alpha\frac{\pi}{2}}$$\rPour $\alpha = \frac{1}{2}$, sachant que $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$, on retrouve l'intégrale de Fresnel. \r\rLe calcul se fait par l'introduction de deux intégrales à paramètres. On calcule la première en trouvant une équation différentielle, et on montre la continuité de la deuxième en introduisant une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers elle. |
2026-07-23T12:42:15.775485 |
2026-07-23T12:42:15.775485 |
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| 708 |
Théorème de la base télescopique et extension algébrique |
On considère L une extension d'un corps K. a un élément de L\K.\r\rIl s'agit d'abord de démontrer le théorème de la base télescopique (Théorème 1.4).\rPuis de donner le lien entre la nature de a sur K (algébrique ou transcendant) et la dimension du sous-anneau K[a] de L engendré par K union {a} (Théorème 1.11.).\r\rTout ceci se trouve au chapitre III du Perrin, les numéros de théorème sont indiqués entre parenthèses.\r\rLe côté extension algébrique est un peu limite pour être recasé dans les corps finis... Mais le théorème de la base télescopique est explicitement demandé dans le rapport 2018. |
2026-07-23T12:42:15.775514 |
2026-07-23T12:42:15.775514 |
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| 709 |
Classification des points fixes dans R |
Application du théorème de points fixes de Picard pour classifier les points fixes d'une application réelle en fonction de la valeur de sa dérivée en un point.\rIl s'agit d'aborder une grande variété de thèmes :\r- Points fixes attractifs, répulsifs, superattractifs.\r- Vitesse de convergence des bassins d'attraction dans R, en fonction des cas.\r- Attraction de $f^{-1}$, quand $f$ admet un point fixe répulsif. |
2026-07-23T12:42:15.775537 |
2026-07-23T12:42:15.775537 |
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| 710 |
Théorème du rang constant |
Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension $n$ et $m$ respectivement. Soit $a \in E$, $k \in \llbracket 1, +\infty \rrbracket$ et $f$ une fonction $\mathcal{C}^k$ de E dans F. Alors, il existe $V$ un voisinage de $a$ pour lequel $f$ est de rang constant valant $r$ si et seulement si $f$ est $\mathcal{C}^k$-conjuguée localement en $a$ à une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^m$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.775560 |
2026-07-23T12:42:15.775560 |
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| 711 |
Théorème de la sous-formule |
Juste le cas propositionnel, évite pas mal de problèmes et déjà suffisamment long ! |
2026-07-23T12:42:15.775570 |
2026-07-23T12:42:15.775570 |
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| 712 |
3-SAT NP complet, 2-SAT dans P |
3SAT NP-complet c'est le théorème de Cook : https://agreg-maths.fr/developpements/206 |
2026-07-23T12:42:15.775579 |
2026-07-23T12:42:15.775580 |
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| 713 |
Théorème de compacité, pas de théorie des ensembles finis, G kcoloriable ssi sous graphes finis le sont |
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2026-07-23T12:42:15.775588 |
2026-07-23T12:42:15.775588 |
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| 714 |
Matroïdes et gloutons : appli arbres couvrants |
Bob |
2026-07-23T12:42:15.775595 |
2026-07-23T12:42:15.775595 |
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| 716 |
Lemme de Zolotarev |
Soit $p$ un nombre premier impair. La multiplication par $a$ dans $\mathbb F_p$, notée $m_a$, est une permutation, et on a \r$$ \left(\frac{a}{p}\right) = \varepsilon(m_a). $$\rCe qui permet de calculer \r$$ \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{2}}. $$ |
2026-07-23T12:42:15.775615 |
2026-07-23T12:42:15.775615 |
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| 717 |
Factorielle en lambda calcul avec l'aide de combinateur de point fixe |
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2026-07-23T12:42:15.775623 |
2026-07-23T12:42:15.775623 |
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| 718 |
Nombre de classes de conjugaison |
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2026-07-23T12:42:15.775630 |
2026-07-23T12:42:15.775630 |
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| 719 |
Structure algébrique de l'anneau des fonctions holomorphes sur C |
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2026-07-23T12:42:15.775637 |
2026-07-23T12:42:15.775637 |
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| 720 |
Théorie des matroïdes et une application |
On prouve grâce aux propriétés de certains ensemble, appelés matroïdes, l'optimalité des algorithmes gloutons sur ces ensembles.\rOn applique ensuite cette théorie pour prouver l'optimalité des solutions renvoyées par l'algorithme de Kruskall (calcul d'arbres couvrants de poids minimal) |
2026-07-23T12:42:15.775656 |
2026-07-23T12:42:15.775656 |
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| 721 |
[An est simple : Doublon] |
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2026-07-23T12:42:15.775662 |
2026-07-23T12:42:15.775662 |
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| 723 |
Un algorithme de programmation dynamique pour les polynômes d'interpolation de Lagrange |
On trouve une relation de récurrence entre le polynôme d'interpolation de $f$ en $(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})$ et celui de $f$ en $(x_0,x_1,\dots,x_n)$, ce qui permet d'écrire un algorithme dynamique pour évaluer ces polynômes d'interpolation en $x$. |
2026-07-23T12:42:15.775681 |
2026-07-23T12:42:15.775681 |
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| 724 |
Dirichlet (série de Fourier) |
Soit f 2pi periodique et dérivable. Alors f est la somme de sa série de Fourier. (Calculatoire)\r\rref : Tout-en-un pour la licence 2 Dunod |
2026-07-23T12:42:15.775693 |
2026-07-23T12:42:15.775693 |
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| 725 |
Indécibilité de l'universalité d'un automate à pile |
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2026-07-23T12:42:15.775701 |
2026-07-23T12:42:15.775702 |
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| 726 |
Coefficients binomiaux |
Réf : raisonnements divins |
2026-07-23T12:42:15.775709 |
2026-07-23T12:42:15.775710 |
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| 727 |
Taille maximale d'une antichaine |
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2026-07-23T12:42:15.775717 |
2026-07-23T12:42:15.775717 |
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| 728 |
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini |
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2026-07-23T12:42:15.775724 |
2026-07-23T12:42:15.775724 |
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| 729 |
Anneau des entiers de Gauss : euclidien |
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2026-07-23T12:42:15.775730 |
2026-07-23T12:42:15.775730 |
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| 730 |
Famille d'endomorphismes simultanément diagonalisables |
SVP remplir un minimum : une réf, merci pour tout le monde :) |
2026-07-23T12:42:15.775740 |
2026-07-23T12:42:15.775741 |
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| 731 |
Polynômes cyclotomiques irréductibles |
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2026-07-23T12:42:15.775747 |
2026-07-23T12:42:15.775747 |
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| 733 |
Cauchy Lipschitz avec point fixe |
SVP remplir un minimum : une réf et un petit descriptif, merci pour tout le monde :) |
2026-07-23T12:42:15.775756 |
2026-07-23T12:42:15.775756 |
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| 734 |
Théorème de Riesz |
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2026-07-23T12:42:15.775762 |
2026-07-23T12:42:15.775762 |
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| 736 |
Application du théorème des résidus : calcul d'une intégrale |
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2026-07-23T12:42:15.775769 |
2026-07-23T12:42:15.775770 |
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| 999 |
Calcul de somme par Fourier |
Gourdon premier exercice sur série de Fourier |
2026-07-23T12:42:15.780278 |
2026-07-23T12:42:15.780278 |
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| 1000 |
Calcul d'une somme par les séries de Fourier |
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2026-07-23T12:42:15.780286 |
2026-07-23T12:42:15.780286 |
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| 737 |
Racines de l'unité dans l'extension cyclotomique |
Soit $n$ un entier naturel non nul et $\zeta := \operatorname{exp}(\frac{2i\pi}{n})$. Les racines de l'unité dans le corps cyclotomique $\mathbb Q(\zeta)$ sont en nombre fini, il s'agit exactement des éléments $\pm \zeta^k$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$. \rAinsi, il y en a $n$ si $n$ est pair, $2n$ sinon, et elles sont toutes en fait dans $\mathbb Z[\zeta]$.\r\rLa preuve du résultat nécessite principalement l'étude de l'indicatrice d'Euler (d'où certains recasages). |
2026-07-23T12:42:15.775807 |
2026-07-23T12:42:15.775807 |
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| 738 |
Théorème de structure des groupes classiques |
Soit $J$ une matrice de $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ vérifiant $J^2 = \pm I_n$. On appelle groupe classique tout sous groupe $G$ de $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$ formé des matrices $M$ qui vérifient $M^*JM = J$ pour une telle matrice $J$. Un tel groupe est stable par décomposition polaire.\r\rNous montrons que tout groupe classique $G$ est homéomorphe à $(G\cap \mathbb U_n)\times \mathbb R^d$ pour un certain entier $d$. \r\r |
2026-07-23T12:42:15.775833 |
2026-07-23T12:42:15.775833 |
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| 739 |
Irrationalité de pi |
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2026-07-23T12:42:15.775839 |
2026-07-23T12:42:15.775839 |
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| 740 |
Les idéaux premiers de K[X,Y] |
Soit $K$ un corps quelconque. Les idéaux premiers de $K[X,Y]$ sont exactement les idéaux de la forme \r\r=> $(0)$ \r=> $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible de $K[X,Y]$\r=> $(P(X),R(X,Y))$ où $P\in K[X]$ est irréductible, et la classe de $R(X,Y)$ dans l'anneau de polynômes $\left(^{K[X]}/_{(P)}\right)[Y]$ est irréductible\r\rCes derniers idéaux comportant deux générateurs sont en fait maximaux, et leurs corps résiduels sont des extensions finies de $K$. On peut en fait montrer qu'un idéal maximal de $K[X,Y]$ n'est jamais principal. On applique cette description aux cas $K$ algébriquement clos et $K=\mathbb R$.\r |
2026-07-23T12:42:15.775870 |
2026-07-23T12:42:15.775871 |
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| 741 |
Inégalité sur le déterminant avec Sn(R) |
$\det(u + v) \geq \det(u) + \det(v)$ si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes symétriques positifs d'un espace euclidien. |
2026-07-23T12:42:15.775883 |
2026-07-23T12:42:15.775884 |
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| 742 |
Convexité logarithmique |
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2026-07-23T12:42:15.775890 |
2026-07-23T12:42:15.775890 |
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| 743 |
Alignements de 4 points |
Soient A,B,C,M $\in \mathbf{S}^{1}$ distincts, A\B\C' les points antipodaux respectifs de A,B,C et soient A'\B'\C'' les points d'intersections respectifs de (A'M) et (BC); (B'M) et (AC); (C'M) et (AB). Montrons que O,A'\B'\C'' sont alignés.\r\rRef Eiden exercice V-4)g) |
2026-07-23T12:42:15.775916 |
2026-07-23T12:42:15.775917 |
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| 744 |
Caractérisation des triangles équilatéraux |
Un triangle ABC, est équilatéral si et seulement si:\r$Z_{A} +j.Z_{B} +j^2.Z_{C} = 0$ ou(exclusif) $Z_{A} +j^2.Z_{B} +j.Z_{C} = 0$, ou encore $(Z_{A}-Z_{B})^2+(Z_{B}-Z_{C})^2+(Z_{C}-Z_{A})^2=0$.\rOn donnera la description de deux éléments $z\in \mathbb{C}$ tel que $(i,z,iz)$ forment un triangle équilatéral. |
2026-07-23T12:42:15.775935 |
2026-07-23T12:42:15.775935 |
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| 745 |
Groupe des isométries du cube [no recasage] |
SVP pour l'auteur du développement : rajouter une courte description du développement et où on peut trouver le résultat et des recasages (en dehors de l'outil couplage)\r\rMerci de la part de tous les utilisateurs :) |
2026-07-23T12:42:15.775950 |
2026-07-23T12:42:15.775950 |
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| 746 |
Théorème de Maschke et lemme de Schur |
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2026-07-23T12:42:15.775956 |
2026-07-23T12:42:15.775957 |
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| 747 |
Isomorphisme entre PGL(2,F5) et S5 |
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2026-07-23T12:42:15.775963 |
2026-07-23T12:42:15.775963 |
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| 748 |
Méthode du gradient projeté |
Méthode du gradient sur une partie convexe d'un espace de Hilbert.\r |
2026-07-23T12:42:15.775973 |
2026-07-23T12:42:15.775973 |
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| 749 |
Morphismes continus du groupe GLn(C) vers le groupe C* |
Ce sont les\r\r$M \mapsto |\mathrm{det} M|^z (\mathrm{det} M)^k$\r \roù $k$ est un entier relatif et $z$ un nombre complexe.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.775987 |
2026-07-23T12:42:15.775988 |
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| 750 |
Composantes connexes de GLn(R) |
svp rajoutez une réf pour les autres, merci :) |
2026-07-23T12:42:15.775996 |
2026-07-23T12:42:15.775996 |
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| 752 |
Théorèmes de point fixe compact ( métrique ) |
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2026-07-23T12:42:15.776002 |
2026-07-23T12:42:15.776002 |
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| 753 |
[Doublon : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire] |
Doublon avec : https://agreg-maths.fr/developpements/386\r\rDémonstration d'un résultat plus simple que le théorème de Cauchy global. On se restreint à démontrer qu'il existe une unique solution aux problèmes de la forme y' = A(t)y + b(t). |
2026-07-23T12:42:15.776018 |
2026-07-23T12:42:15.776019 |
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| 754 |
Critère de nilpotence de Cartan |
Un critère de nilpotence lié a la théorie des algèbres de Lie |
2026-07-23T12:42:15.776028 |
2026-07-23T12:42:15.776028 |
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| 755 |
Compacité de On(R), décomposition polaire dans Mn(R) |
- On(R) est compact\r- Décomposition polaire dans Mn(R)\r- Décompisition polaire dans GLn(R) en + si trop court\r\rPreuve dans le Carnet de Voyage en algébrie de Caldero |
2026-07-23T12:42:15.776042 |
2026-07-23T12:42:15.776042 |
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| 756 |
Critère de Sylvester et applications |
<i>Théorème [Critère de Sylvester]</i>\rSi $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.\rEn d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.\r\r<i>Application à la signature</i>\rSi $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.\r\r<i>Exemple d'application</i>\rLa matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive. |
2026-07-23T12:42:15.776082 |
2026-07-23T12:42:15.776082 |
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| 757 |
Dualité et Algèbre des matrices |
1) Caractérisation du Dual de Mn(K) : pour tout P dans le dual, il existe une unique matrice A tq P(M)=tr(AM) pour tout M dans Mn(K)\r2) Application 1 : si P(MN)=P(NM) pour tout M,N alors P=a*tr où a dans K\r3) Application 2 : Tout hyperplan de Mn(K) contient au moins une matrice inversible \r4) Application 3 : Tout hyperplan de Mn(R) contient au moins une matrice orthogonale \r\r |
2026-07-23T12:42:15.776101 |
2026-07-23T12:42:15.776101 |
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| 758 |
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice |
- On donne la décomposition de Dunford de l'exponentielle matricielle.\r- A est diagonalisable si et seulement si exp(A) l'est.\r- On déduit les solutions de exp(A) = I. |
2026-07-23T12:42:15.776116 |
2026-07-23T12:42:15.776117 |
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| 759 |
Systèmes de congruences, cas général |
Carnet de Voyage Caldero \r\rRésolution d'un système de 2 congruences avec utilisation du pgcd/ppcm et du lemme chinois. |
2026-07-23T12:42:15.776128 |
2026-07-23T12:42:15.776129 |
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| 760 |
Théorème de la limite simple de Baire |
Soit $X$ un espace de Baire (par exemple un ouvert d'un espace métrique complet) et $Y$ un espace métrique. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $X$ dans $Y$, qui converge simplement vers une fonction $f$ sur $X$. Alors l'ensemble des points de continuité de $f$ est une intersection dénombrable d'ouverts, et est dense dans $X$ (autrement dit, c'est un $G_{\delta}$ dense). En particulier, il est non vide !\r\rCet énoncé s'applique au cas d'une fonction $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ dérivable. Puisque sa fonction dérivée est la limite simple de la suite $f_n(x):= n\left( f(x+\frac{1}{n}) - f(x)\right)$, les points de continuité de $f'$ forment une partie dense de $\mathbb R$. |
2026-07-23T12:42:15.776164 |
2026-07-23T12:42:15.776165 |
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| 761 |
Algorithme d'Earley |
L'algorithme d'Earley sert à vérifier si un mot $w$ appartient au langage d'une grammaire $G$. Il le fait en temps $O(\lvert w\rvert^3)$, comme l'algorithme CYK, mais on peut de plus prouver que la complexité n'est que de l'ordre de $O(\lvert w\rvert^2)$ dans le cas d'une grammaire non ambigüe, et même linéaire si la gramaire est rationnelle, ce qui en fait un des meilleurs algorithmes connus en pratique ! |
2026-07-23T12:42:15.776189 |
2026-07-23T12:42:15.776189 |
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| 1001 |
Décomposition LU + complexité |
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2026-07-23T12:42:15.780292 |
2026-07-23T12:42:15.780292 |
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| 1002 |
Matrices de Householder |
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2026-07-23T12:42:15.780298 |
2026-07-23T12:42:15.780299 |
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| 762 |
Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité |
<h3> Théorème </h3>\rLa fonction $\Gamma$ est la seule fonction $f: \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ telle que $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$ pour tout $x$ et $f$ est log-convexe (i.e. $\log(f)$ est convexe). \r\r\rJe n'ai pas de référence complète pour la partie sur la convexité.\rLa première partie (convergence dominée) est trouvable dans Zuily-Queffélec : \"Analyse pour l'agrégation\", en version variable complexe, à la page 314 |
2026-07-23T12:42:15.776215 |
2026-07-23T12:42:15.776216 |
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| 763 |
Théorème de comparaison de Sturm |
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$. On considère les équations différentielles \r$$\left( a(t)x'\right)' +r(t)x = 0 \quad \quad \left( b(t)y'\right)' +s(t)y = 0 $$\ravec $a,b$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $I$, et $r,s$ continues. On suppose que $r\leq s$ et que $0 < b\leq a$. Considérons $x$ et $y$ deux solutions non nulles. Supposons donnés $t_1 < t_2$ deux zéros consécutifs de $x$. Si $x$ et $y$ ne sont pas proportionnelles sur $]t_1,t_2[$, alors $y$ admet au moins un zéro dans $]t_1,t_2[$. \r\r\rOn peut accompagner ce théorème de quelques applications. En voici une. Soit $y$ une solution non nulle de $$y'' + ty = 0$$ Alors $y$ a au plus un zéro sur $\mathbb R_-$, et une infinité de zéros sur $\mathbb R_+$. Si $a_n$ est le nombre de zéros de $y$ sur $[0,n]$, alors \r$$a_n \sim \frac{2}{3\pi}n^{3/2}$$\rCe dernier point concerne en fait la fonction d'Airy. On peut essayer de présenter ça dans la leçon sur les fonctions spéciales. |
2026-07-23T12:42:15.776272 |
2026-07-23T12:42:15.776272 |
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| 765 |
Étude des fonctions à variations bornées |
On montre que les fonctions à variations bornées sur un segment $[a,b]$ sont exactement les fonctions qui s'expriment comme la différence de deux fonctions croissantes. \r\rEn particulier, cela prouve que l'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones sur $[a,b]$ est exactement l'espace des fonctions à variations bornées. Cela implique également que les fonctions à variations bornées sur un segment sont dérivables en dehors d'une partie négligeable. |
2026-07-23T12:42:15.776312 |
2026-07-23T12:42:15.776313 |
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| 766 |
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin) |
Toute fonction $f:\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+$ vérifiant \r(a) $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$ \r(b) $f(1)=1$ \r(c) $f$ est logarithmiquement convexe \rest égale à la fonction $\Gamma$. \r\rDans la preuve, nous montrons en particulier la formule de Gauß \r$$\Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{n^xn!}{(x+n)\ldots (x+1)x}$$\rLe théorème de Bohr-Mollerup permet également de montrer sans calcul la formule de Legendre et celle reliant $\Gamma$ à la fonction Bêta. |
2026-07-23T12:42:15.776367 |
2026-07-23T12:42:15.776368 |
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| 768 |
Adhérence des racines de la matrice identité |
On note $\mathcal{A} = \left\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \hspace{0.2cm} \backslash \hspace{0.2cm} \exists p\in\mathbb{N}^{*} \hspace{0.2cm} : \hspace{0.2cm} M^p = \text{I}_n \right\}$. \rSon adhérence est l'ensemble $F = \left\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \hspace{0.2cm} \backslash \hspace{0.2cm} \text{Sp}(M)\subset\mathscr{C}(0,1) \right\}$ |
2026-07-23T12:42:15.776427 |
2026-07-23T12:42:15.776428 |
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| 769 |
Le groupe SO2(Fq) |
$$ \mathcal{SO}_{2}(\mathbb{F}_q) \underset{\text{isom}}\sim \begin{cases} \mathbb{Z} / (q-1)\mathbb{Z} \hspace{0.2cm} \text{si} \hspace{0.2cm} -1\in \mathbb{F}_{q}^{*(2)} \\ \mathbb{Z} /(q+1)\mathbb{Z} \hspace{0.2cm} \text{si} \hspace{0.2cm} -1\otin \mathbb{F}_{q}^{*(2)} \end{cases} $$ |
2026-07-23T12:42:15.776475 |
2026-07-23T12:42:15.776475 |
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| 770 |
Étude de la convergence d'une suite récurrente |
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs, avec $\alpha + \beta = 1$. Soit $z_0 \in \mathbb C^*$ et considérons la suite $$z_{n+1} = \alpha z_n + \frac{\beta}{z_n}$$\rOn démontre que si $\Re(z_0)=0$, alors la suite est mal définie ou ne converge pas dans $\mathbb C$. Si $\Re(z_0) \ot = 0$, alors la suite est bien définie et converge vers $1$ lorsque la partie réelle est strictement positive, $-1$ si elle est strictement négative. |
2026-07-23T12:42:15.776523 |
2026-07-23T12:42:15.776523 |
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| 771 |
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler |
La fonction $\Gamma$ se prolonge à $\mathbb{C}$ privée de $-\mathbb{N}$ |
2026-07-23T12:42:15.776545 |
2026-07-23T12:42:15.776545 |
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| 773 |
Dérivation de l'algèbre des matrices carré |
Soit $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique non nulle et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. On appelle dérivation de $M_n (\mathbb{K})$ tout endomorphisme $d$ de $M_n (\mathbb{K})$ vérifiant : $\forall A,B\in M_n (\mathbb{K}), d(AB)=d(A)B+Ad(B)$. Théorème : pour tout dérivation $d$, il existe une matrice $A$ telle que : $\forall M\in M_n (\mathbb{K}), d(M)=AM-MA$. \r |
2026-07-23T12:42:15.776586 |
2026-07-23T12:42:15.776586 |
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| 774 |
Compacts dans les espaces de Banach et théorème d'Ascoli |
Bernis, 40 développements d'analyse |
2026-07-23T12:42:15.776605 |
2026-07-23T12:42:15.776605 |
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| 775 |
Contre-exemples de convergence de variables aléatoires |
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2026-07-23T12:42:15.776620 |
2026-07-23T12:42:15.776620 |
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| 776 |
Formule d'Hadamard et un contre-exemple |
On montre la formule de Hadamard (Suites et séries.. Mohammed ElAmrani) et un exemple d'une fonction indéfiniment dérivable sur R de série de Taylor de rayon de convergence nul (Hochecorne p263). |
2026-07-23T12:42:15.776645 |
2026-07-23T12:42:15.776645 |
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| 778 |
Insertion dans un arbre B |
L'insertion dans un arbre B de hauteur $h$ se fait en $O(h)$ accès disque.\r\rDe plus, la hauteur d'un arbre B avec $t - 1$ à $2t - 1$ clés par noeud est $h = O(\log_t n)$.\r\rLe recasage dans la leçon bases de données c'est parce que SQL (typiquement) utilise des B-arbres pour faire ses index. |
2026-07-23T12:42:15.776676 |
2026-07-23T12:42:15.776677 |
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| 779 |
LK (LJ) ⇒ NK (NJ) |
Réf : livre : introduction à la logique |
2026-07-23T12:42:15.776693 |
2026-07-23T12:42:15.776693 |
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| 780 |
Compacts dans un Banach |
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2026-07-23T12:42:15.776706 |
2026-07-23T12:42:15.776707 |
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| 781 |
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique |
$((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\times)$ est cyclique si et seulement si $n$ est de la forme:\r \begin{equation*}\r \begin{cases}\r n = 1,2,4,\\\r n = p^\alpha, \text{ avec } p\geq3\text{ et } \alpha\geq1,\\\r n = 2p^\alpha \text{ avec } p\geq3\text{ et } \alpha\geq1.\r \end{cases}\r \end{equation*}\r |
2026-07-23T12:42:15.776762 |
2026-07-23T12:42:15.776762 |
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| 782 |
Etude asymptotique d'une suite définie implicitement |
On défini la suite des zéros de xsin(x) - c cos(x) sur ]n*pi, (n+1/2)*pi[. \r |
2026-07-23T12:42:15.776782 |
2026-07-23T12:42:15.776782 |
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| 783 |
Stabilité du système X'=AX |
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2026-07-23T12:42:15.776797 |
2026-07-23T12:42:15.776797 |
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| 784 |
Résolution de y''+y=|sinx| |
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2026-07-23T12:42:15.776812 |
2026-07-23T12:42:15.776812 |
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| 785 |
Phénomène de Gibbs |
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2026-07-23T12:42:15.776826 |
2026-07-23T12:42:15.776826 |
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| 786 |
Méthode de Simpson |
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2026-07-23T12:42:15.776839 |
2026-07-23T12:42:15.776839 |
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| 787 |
Développement asymptotique d'une suite récurrente |
u(n+1) = u(n) + exp(-u(n))\rAlors u(n) = ln(n) + ln(n)/2n + o(ln(n)/n)\rFGN analyse 1 page 102 |
2026-07-23T12:42:15.776861 |
2026-07-23T12:42:15.776862 |
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| 788 |
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^* |
Réf : \r- FGN Algèbre 1, page 129\r- HK, page 206 |
2026-07-23T12:42:15.776879 |
2026-07-23T12:42:15.776880 |
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| 789 |
Théorème de Brouwer dans le plan euclidien |
La preuve utilise le lemme combinatoire de Sperner. Elle est beaucoup trop longue mais on peut aisément admettre de grosses parties selon les leçons pour rendre la démonstration calibrée en 15 minutes. Il y a plusieurs énoncés possibles pour la même démarche, libre à chacun également d'adapter l'énoncé au plan. |
2026-07-23T12:42:15.776909 |
2026-07-23T12:42:15.776910 |
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| 790 |
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet |
On etudie quelques propriété de la transformee de Laplace, on applique ça au calcul de l'intégrale de Dirichlet :\r\r$$\r\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \textrm{d} x = \frac{\pi}{2}\r$$\r\rPommellet page 198 |
2026-07-23T12:42:15.776985 |
2026-07-23T12:42:15.776985 |
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| 791 |
Théorème de Cauchy (groupes) |
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2026-07-23T12:42:15.777 |
2026-07-23T12:42:15.777001 |
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| 792 |
Théorème spectral et extrema |
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie, et $q,\phi$ deux formes quadratiques sur $E$. On suppose $q$ définie positive. Alors il existe une base $q$-orthonormée et $\phi$-orthogonale. \rDe plus, si dans cette base $\phi$ est représentée par la matrice diagonale dont les coefficients sont les $a_k$, alors ces coefficients sont les valeurs de la fonction $F(x) := \frac{\phi(x)}{q(x)}$ en ses points critiques. \rOn applique cela à la recherche d'extrema d'une fonction qui est rapport de deux formes quadratiques. \r\rNB: La preuve du théorème spectrale est traduite en terme d'un problème d'extremum. Pour l'hérédité, on exhibe un vecteur propre en considérant l'extremum d'une fonction définie sur la sphère unité, puis en la différenciant. \r\rNB2: Il est également possible de démontrer le théorème spectral en utilisant les extrema liés, cf Avez. |
2026-07-23T12:42:15.777064 |
2026-07-23T12:42:15.777064 |
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| 793 |
Point de Fermat d'un triangle |
Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan euclidien $\mathbb R^2$. On suppose que les trois angles du triangle ABC sont strictement inférieurs à $\frac{2\pi}{3}$. Soit $f$ la fonction qui au point $M$ associe la somme des distances $f(M) = AM + BM + CM$. \rAlors $f$ atteint un minimum sur $\mathbb R^2$ en un point $P$ intérieur au triangle $ABC$. Ce minimum est global strict (donc unique). De plus, les angles $\widehat{APB}, \widehat{BPC}$ et $\widehat{CPA}$ sont égaux à $\frac{2\pi}{3}$. \r |
2026-07-23T12:42:15.777107 |
2026-07-23T12:42:15.777107 |
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| 794 |
GLn(C) est dense, ouvert et connexe |
réf : Carnet de voyage en algébrie |
2026-07-23T12:42:15.777119 |
2026-07-23T12:42:15.777119 |
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| 795 |
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité |
\"Le corps des nombres complexes est algébriquement clos\"\rdémontré en utilisant les propriétés des fonctions continues sur un compact |
2026-07-23T12:42:15.777137 |
2026-07-23T12:42:15.777137 |
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| 796 |
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR |
Cholesky :\rUne matrice A est symétrique définie positive si et seulement si elle s'écrit comme le produit d'une matrice B triangulaire inférieure inversible et de sa transposée\rSi on impose la positivité des coeff diagonaux, la matrice B est alors unique\r\rQR :\rToute matrice A inversible s'écrit de manière unique comme le produit A = QR, avec Q matrice orthogonale et R matrice triangulaire supérieure à coeff diagonaux s. positifs |
2026-07-23T12:42:15.777169 |
2026-07-23T12:42:15.777169 |
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| 797 |
Aho-Corasick |
Une généralisation de KMP |
2026-07-23T12:42:15.777179 |
2026-07-23T12:42:15.777179 |
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| 798 |
Trajectoire fermée sur un billard |
Sur un billard elliptique, il existe une trajectoire fermée à 3 rebonds.\rRouviere page 413 |
2026-07-23T12:42:15.777194 |
2026-07-23T12:42:15.777195 |
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| 799 |
Limite en loi de variables gaussiennes |
Soit $(X_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires de loi normale $\mathcal N(a_n,b_n)$ où $b_n \geq 0$. On suppose que la suite $(X_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$. Alors $X$ obéit à une loi normale ou est concentrée en un point. |
2026-07-23T12:42:15.777220 |
2026-07-23T12:42:15.777220 |
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| 800 |
Série génératrice d'une variable aléatoire et moments |
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$, et soit $G_X$ sa série génératrice. Alors $X$ est d'espérance finie si et seulement si $G_X$ est dérivable à gauche en $1$, et dans ce cas nous avons l'égalité $G_X'(1) = \mathbb E[X]$. \r\rNous appliquons cela au calcul du temps d'attente moyen avant deux succès consécutifs lors d'une suite de jeux de pile ou face où chaque lancer est indépendant des autres. |
2026-07-23T12:42:15.777264 |
2026-07-23T12:42:15.777265 |
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| 802 |
Fonction C infini non triviale telle que f(x)^x = x^f(x) |
Pour x, y dans ]1, +inf[, l'équation x^y = y^x définit une fonction de classe C infini f telle que :\r\ry = f(x) et f(x) != x si x != e\r\rUne solution se trouve facilement, c'est le caractère C infini de f en e qui est difficile et qui se fait avec le théorème des fonctions implicites. |
2026-07-23T12:42:15.777301 |
2026-07-23T12:42:15.777302 |
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| 803 |
Trigonalisation simultanée |
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2026-07-23T12:42:15.777316 |
2026-07-23T12:42:15.777316 |
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| 804 |
[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR] |
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2026-07-23T12:42:15.777330 |
2026-07-23T12:42:15.777330 |
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| 805 |
Calcul somme 1/n^2 et somme de 1/n^4 [no recasage] |
NDLR : merci pour les autres de rajouter au minimum des recasages et une référence pour trouver le résultat :) |
2026-07-23T12:42:15.777350 |
2026-07-23T12:42:15.777351 |
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| 806 |
Polynône minimal relativement à u |
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2026-07-23T12:42:15.777378 |
2026-07-23T12:42:15.777378 |
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| 807 |
Matrice diagonale et polynôme annulateur sur un corps fini |
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2026-07-23T12:42:15.777388 |
2026-07-23T12:42:15.777388 |
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| 808 |
Familles libres d'applications |
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2026-07-23T12:42:15.777395 |
2026-07-23T12:42:15.777395 |
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| 810 |
PSLn(K) est simple |
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2026-07-23T12:42:15.777401 |
2026-07-23T12:42:15.777401 |
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| 811 |
Banach-Steinhaus et application famille d'opérateurs [no recasage] |
NDLR : merci pour tout le monde de rajouter des recasages et une référence pour retrouver le développement :) |
2026-07-23T12:42:15.777413 |
2026-07-23T12:42:15.777413 |
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| 813 |
Convergence loi géométrique vers la loi de Poisson |
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2026-07-23T12:42:15.777420 |
2026-07-23T12:42:15.777420 |
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| 814 |
Théorème de Wolstenholme |
Soit $p$ premier. Soit $m \land p = 1$, alors on pose $m*$ un entier tel que $mm* = 1$ dans $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$. Alors $1* + 2* + \dots + (p-1)* = 0$ dans $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$\r |
2026-07-23T12:42:15.777436 |
2026-07-23T12:42:15.777436 |
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| 815 |
Méthode de Laplace (ordre pas forcément deux) |
Soient \(g\) et \(h\) des fonctions mesurables de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\).\r On suppose que: \(h\) est strictement décroissante, on a en $0$: \(h(x)=h(0)-cx^{\beta}+o(x^{\beta})\) avec \(c>0\) et \(\beta>0\), on a en 0: \(g(x)\sim Ax^{\alpha}\) avec \(\alpha>-1\) et \(A\e 0\),\r \(\int_{\mathbb{R}_+} |g(x)|e^{h(x)}\ dx<+\infty\).\r Alors, lorsque $t$ tend vers l'infini, on a l'équivalent:\r \(I(t)=\int_{0}^{+\infty} g(x)e^{th(x)}\ d\lambda(x) \sim Ae^{h(0)t}(ct)^{-\frac{\alpha+1}{\beta}} K_{\alpha,\beta},\)\r avec \(K_{\alpha,\beta}=\frac1{\beta}\Gamma(\frac{\alpha+1}{\beta})\). |
2026-07-23T12:42:15.777494 |
2026-07-23T12:42:15.777495 |
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| 816 |
Famille Q-libre par la trace |
Pas de référence à ma connaissance. |
2026-07-23T12:42:15.777503 |
2026-07-23T12:42:15.777503 |
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| 817 |
Orthogonalisation sur un groupe abélien |
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2026-07-23T12:42:15.777510 |
2026-07-23T12:42:15.777510 |
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| 820 |
Mes développements |
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2026-07-23T12:42:15.777516 |
2026-07-23T12:42:15.777516 |
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| 821 |
Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8 |
On dresse la table de caractères d'un groupe non abélien d'ordre $8$ : ils partagent tous la même table. Cela s'applique notamment au groupe diédral $D_4$ et au groupe des quaternions $\mathbb H_8$. Pourtant, ces deux groupes ne sont pas isomorphes. \r\rEn fait, on peut montrer qu'à isomorphisme près, les deux exemples ci-dessus sont les seuls groupes non abéliens d'ordre $8$ (mais cela sort du cadre du développement). \r\rCela se recase dans groupe abéliens, car le caractère abélien du quotient $G/Z(G)$ ainsi que ses représentations sont essentielles dans la preuve. |
2026-07-23T12:42:15.777546 |
2026-07-23T12:42:15.777546 |
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| 822 |
Théorème de Polya |
On considère les coloriages d'un G-ensemble fini X à action du groupe fini G près. Le théorème de Polya permet d'avoir tous les nombres de coloriages de tous les types donnés (un type c'est par exemple dire qu'on veut deux éléments en rouge, trois éléments en jaune et un élément en bleu), alors que le théorème de Burnside ne permet que d'avoir tous les nombres de coloriages d'un type donné (et c'est long de le répéter). |
2026-07-23T12:42:15.777569 |
2026-07-23T12:42:15.777569 |
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| 823 |
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$ |
On démontre le critère d'Eisenstein et à l'aide de ce dernier, on prouve l'irréductibilité du $p$-ème polynôme cyclotomique $\Phi_p(X)=\sum \limits_{k=0}^{p-1}X^k$ sur $\mathbb{Q}[X]$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.777588 |
2026-07-23T12:42:15.777588 |
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| 1003 |
Méthode de la puissance itérée |
Recherche de valeurs propres par un algorithme. |
2026-07-23T12:42:15.780307 |
2026-07-23T12:42:15.780308 |
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| 824 |
Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4 |
Ce développement se fait bien en quinze en minutes, il faut juste expliquer succinctement ce qu'est la représentation par permutations, et aller un peu vite sur la table à la fin. Il convient de passer plus de temps sur l'irréductibilité de V_0. |
2026-07-23T12:42:15.777604 |
2026-07-23T12:42:15.777604 |
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| 825 |
Calcul de l'intégrale de 1/(1+x^6) par les résidus |
NDLR : merci à l'auteur de ce développement de rajouter au moins une référence pour que tout le monde puisse retrouver ce développement :) |
2026-07-23T12:42:15.777616 |
2026-07-23T12:42:15.777616 |
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| 826 |
Théorème de Dantzig-Heller-Tompkins-Gale |
La matrice d'incidence d'un graphe G est totalement unimodulaire si et seulement si G est biparti. |
2026-07-23T12:42:15.777631 |
2026-07-23T12:42:15.777632 |
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| 827 |
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x |
Pour $n \geq 1 $, \r$$ \left( \textbf{Z} / n \textbf{Z} \right) ^{\times} \ \text{est cyclique} \ \Longleftrightarrow \ n = 1, 2, 4, p^{\alpha} \ \text{ou} \ 2p^{\alpha}, \ \text{avec} \ p \geq 3 \ \text{premier et } \alpha \geq 1.$$ |
2026-07-23T12:42:15.777659 |
2026-07-23T12:42:15.777659 |
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| 829 |
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible |
1. L'ensemble des entiers algébriques est un anneau,\r2. Le degré d'une représentation irréductible d’un groupe fini G sur un espace vectoriel complexe, divise l’ordre de G. |
2026-07-23T12:42:15.777675 |
2026-07-23T12:42:15.777675 |
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| 830 |
Sous-groupes de Sylow de sg distingués et de groupes quotients |
Si G est un groupe fini, si N est un sous-groupe distingué de G et si p est un nombre premier alors l'ensemble des p-Sylow de G/N est l'ensemble des SN/N où S p-Sylow de G et l'ensemble des p-Sylow de N est l'ensemble des intersection de S avec N où S p-Sylow de G. On en déduit que le nombre de p-Sylow de G/N et le nombre de p-Sylow de N divisent le nombre de p-Sylow de G. Voir https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/sylowapp.pdf ou le livre Théorie des groupes de Felix Ulmer (proposition 9.7). |
2026-07-23T12:42:15.777698 |
2026-07-23T12:42:15.777699 |
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| 831 |
Volume et déterminant de Cayley-Menger |
C'est une généralisation aux dimensions supérieures de la formule de Héron, qui lie le volume du simplexe (ou l'aire du triangle pour la formule de Héron) au déterminant de la matrice de Cayley-Menger associée au simplexe (qui est liée au demi-périmètre dans le cas de la formule de Héron). |
2026-07-23T12:42:15.777715 |
2026-07-23T12:42:15.777715 |
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| 832 |
Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums |
Soient $U$ un ouvert convexe de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \longrightarrow \mathbb{R}$.\r\r1) Si $f$ est différentiable sur $U$, alors $f$ est convexe si et seulement si $\forall x, y \in U~f(y)-f(x) \geqslant Df(x)(y-x)$\r\r2) Si $f$ est deux fois différentiable sur $U$, alors $f$ est convexe si et seulement si $D^2 f(x)$ est une forme quadratique positive pour tout $x \in U$.\r\rApplication à la recherche d'extremums : si $f$ est convexe et différentiable en $a \in U$ et que $Df(a) = 0$, alors $f$ admet en $a$ un minimum global sur $U$.\r\r(Exercices 42, 108 et 119 du Petit guide de calcul différentiel, Rouvière, quatrième édition) |
2026-07-23T12:42:15.777751 |
2026-07-23T12:42:15.777752 |
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| 833 |
Théorème des moments |
En notant P l'ensemble des lois de probabilité sur R pour lesquelles les polynômes sont intégrables, il s'agit de montrer que certaines lois de P sont caractérisées par leurs moments (la loi mu dans P est caractérisée par ses moments si pour toute loi nu dans P, si nu a les mêmes moments que mu alors nu est égale à mu). C'est le cas de la loi normale et de la loi bêta par exemple. |
2026-07-23T12:42:15.777772 |
2026-07-23T12:42:15.777772 |
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| 834 |
Déterminant et coniques |
Soit ABC un triangle non plat. Soient M et N n'appartenant ni à (AB), ni à (BC), ni à (AC). Alors l'intersection de (AM) et (BC), l'intersection de (BM) et (AC), l'intersection de (CM) et (AB), l'intersection de (AN) et (BC), l'intersection de (BN) et (AC) et l'intersection de (CN) et (AB) sont sur une même conique. La preuve présentée utilise des calculs de déterminant et des calculs en coordonnées barycentriques. |
2026-07-23T12:42:15.777794 |
2026-07-23T12:42:15.777795 |
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| 835 |
Nombre de relation d'équivalence |
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2026-07-23T12:42:15.777801 |
2026-07-23T12:42:15.777802 |
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| 836 |
Suites définies par récurrence |
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2026-07-23T12:42:15.777808 |
2026-07-23T12:42:15.777808 |
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| 837 |
Convergence de la méthode de relaxation |
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2026-07-23T12:42:15.777815 |
2026-07-23T12:42:15.777815 |
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| 838 |
Simplicité de A5 |
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2026-07-23T12:42:15.777821 |
2026-07-23T12:42:15.777821 |
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| 839 |
Table de caractère de S5 |
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2026-07-23T12:42:15.777827 |
2026-07-23T12:42:15.777827 |
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| 841 |
Image de l'exponentielle matricielle |
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2026-07-23T12:42:15.777834 |
2026-07-23T12:42:15.777835 |
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| 842 |
Convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson |
On montre que toute loi de Poisson est limite de lois binomiales (avec des paramètres de plus en plus petits, d'où la qualification de \"loi des évènements rares\") et on majore la vitesse de convergence. |
2026-07-23T12:42:15.777849 |
2026-07-23T12:42:15.777849 |
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| 843 |
Etude de la convergence faible dans L^1(N) |
Soit $u \in \ell^1(\mathbb{N})$ et $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1(\mathbb{N})$. Alors: $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $v$ dans $\ell^1(\mathbb{N})$ si et seulement si $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $u$. |
2026-07-23T12:42:15.777871 |
2026-07-23T12:42:15.777871 |
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| 844 |
Théorème de Weierstrass par l'approximation de Korovkin |
une nouvelle façon de démontrer le théorème de Weierstrass grâce à un théorème assez puissant d'approximation datant des années 50. |
2026-07-23T12:42:15.777883 |
2026-07-23T12:42:15.777883 |
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| 845 |
Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables |
Ref: Carnet de voyage en Algèbrie \rP.CALDERO\r |
2026-07-23T12:42:15.777894 |
2026-07-23T12:42:15.777894 |
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| 846 |
Théorème d'approximation universelle pour les réseaux de neurones |
Deux possibilités :\r\r-Hahn-Banach\r-Stone-Weierstrass |
2026-07-23T12:42:15.777905 |
2026-07-23T12:42:15.777905 |
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| 847 |
Lemme de Gauss et application |
Soient $A$ un anneau factoriel. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes à une variable à coefficients dans $A$. Alors :\r\r$cont(PQ)=cont(P) cont(Q)$\r\r\r |
2026-07-23T12:42:15.777917 |
2026-07-23T12:42:15.777917 |
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| 849 |
Caractérisation des formes linéaires continues avec le noyau |
Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé, si et seulement si le complémentaire de son noyau n'est pas connexe par arcs. |
2026-07-23T12:42:15.777929 |
2026-07-23T12:42:15.777929 |
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| 850 |
Théorème de Banach-Steinhaus et de l'application ouverte |
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2026-07-23T12:42:15.777937 |
2026-07-23T12:42:15.777937 |
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| 852 |
Théorème de Bohr Mollerup |
Rombaldi \"exercices et pb corrigés\" p 130 |
2026-07-23T12:42:15.777945 |
2026-07-23T12:42:15.777946 |
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| 853 |
[Galton-Watson : doublon] |
Doublon presque sûrement avec https://agreg-maths.fr/developpements/20\r\rCe développement va s'auto détruire bientôt : ne l'utilisez pas dans vos couplages.\r\r\rRéf :Gay, Lemonnier |
2026-07-23T12:42:15.777960 |
2026-07-23T12:42:15.777960 |
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| 856 |
[Homéomorphisme réalisé par l'exponentielle de matrices : doublon] |
Références : Isenmann p.182\r\rSVP utilisez les développements déjà existants. |
2026-07-23T12:42:15.777972 |
2026-07-23T12:42:15.777972 |
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| 857 |
Dunford pour le calcul de rayon spectral |
Note de la rédac : c'est pas un doublon ça ? |
2026-07-23T12:42:15.777981 |
2026-07-23T12:42:15.777981 |
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| 858 |
Points extrémaux de la boule unité |
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2026-07-23T12:42:15.777988 |
2026-07-23T12:42:15.777988 |
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| 859 |
Abel angulaire et Taubérien faible |
Houkari p 435\rGourdon p 252\r\r\rNote de la rédac : c'est pas un doublon ? |
2026-07-23T12:42:15.778026 |
2026-07-23T12:42:15.778027 |
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| 860 |
Polynômes cyclotomiques |
\r\rNote de la rédac : c'est pas un doublon ? |
2026-07-23T12:42:15.778036 |
2026-07-23T12:42:15.778036 |
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| 861 |
Endomorphismes normaux |
\r\rNote de la rédac : ça serait pas un doublon ? |
2026-07-23T12:42:15.778045 |
2026-07-23T12:42:15.778045 |
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| 862 |
Dénombrer les endo nilpotents sur un corps fini |
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2026-07-23T12:42:15.778052 |
2026-07-23T12:42:15.778052 |
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| 863 |
Sous groupes compacts de GL(E) |
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2026-07-23T12:42:15.778058 |
2026-07-23T12:42:15.778059 |
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| 864 |
Formule de Stirling généralisée |
\[\r\Gamma(x+1) \sim x^{x+1} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) e^{-x} \sqrt{ \frac{2}{x} } = \sqrt{ 2\pi} x^{x+1/2} e^{-x} \;.\r\]\roù $\Gamma$ est la fonction Gamma d'Euler : $\Gamma(x+1) = \int_0^{+\infty} e^{x \log(t) - t} d t$.\r\rCet équivalent généralise la formule de Stirling de $n!$ : <a href=\"https://agreg-maths.fr/developpements/306\">voir le développement \"Formule de Stirling\"</a>. |
2026-07-23T12:42:15.778102 |
2026-07-23T12:42:15.778103 |
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| 865 |
Cas particulier du théorème de Dirichlet |
Houkari p239\rRombaldi p 337 |
2026-07-23T12:42:15.778111 |
2026-07-23T12:42:15.778111 |
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| 866 |
Fonction de Darboux |
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2026-07-23T12:42:15.778117 |
2026-07-23T12:42:15.778117 |
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| 867 |
Théorème de Borel 2 |
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2026-07-23T12:42:15.778123 |
2026-07-23T12:42:15.778123 |
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| 868 |
Critère de Weyl 2 |
\r\rNDLR : ? |
2026-07-23T12:42:15.778131 |
2026-07-23T12:42:15.778131 |
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| 870 |
Formule de Poisson et intégrale de Gauss |
Ref : Houkari p.479 |
2026-07-23T12:42:15.778139 |
2026-07-23T12:42:15.778139 |
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| 871 |
Polynômes de Hermite |
Ref : Houkari p.520 |
2026-07-23T12:42:15.778145 |
2026-07-23T12:42:15.778146 |
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| 872 |
Décomposition polaire et connexité |
Houkari p 115\rIsenmann p 128\rRombaldi p 726\r\r |
2026-07-23T12:42:15.778155 |
2026-07-23T12:42:15.778156 |
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| 873 |
EDL2 |
Gianelle 4 p 149\r |
2026-07-23T12:42:15.778163 |
2026-07-23T12:42:15.778163 |
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| 874 |
Stabilité système à coefficients constants |
\r |
2026-07-23T12:42:15.778170 |
2026-07-23T12:42:15.778171 |
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| 875 |
Résolution de l'équation fonctionnelle $f' = f^{-1}$ |
|
2026-07-23T12:42:15.778179 |
2026-07-23T12:42:15.778179 |
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| 876 |
Somme Gauss |
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2026-07-23T12:42:15.778184 |
2026-07-23T12:42:15.778185 |
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| 877 |
Racines de l'unité dans Z/nZ |
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2026-07-23T12:42:15.778191 |
2026-07-23T12:42:15.778192 |
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| 878 |
Théorème de Césaro sur les nombres premiers |
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2026-07-23T12:42:15.778198 |
2026-07-23T12:42:15.778198 |
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| 879 |
[Doublon : Diagonalisibilité de l'exponentielle de matrices] |
Doublon avec https://agreg-maths.fr/developpements/758 |
2026-07-23T12:42:15.778208 |
2026-07-23T12:42:15.778208 |
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| 880 |
$Gl_n(\mathbb{C})$, $Sl_n(\mathbb{C})$, et $U_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs |
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2026-07-23T12:42:15.778218 |
2026-07-23T12:42:15.778218 |
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| 885 |
Complexité moyenne du tri rapide avec choix du pivot aléatoire |
Si T est un tableau de taille n et dont les éléments sont deux à deux distincts, alors le tri rapide avec choix du pivot aléatoire s'exécute en O(n*log n). |
2026-07-23T12:42:15.778231 |
2026-07-23T12:42:15.778231 |
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| 886 |
Les groupes finis sont isomorphes à leur bidual |
Soit G un groupe abélien fini. Alors G est isomorphe à son bidual.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.778241 |
2026-07-23T12:42:15.778241 |
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| 887 |
Théorème de Kronecker-Weber faible |
Toute extension quadratique de Q est contenue dans une extension d'une racine de l'unité de Q.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.778252 |
2026-07-23T12:42:15.778252 |
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| 888 |
(Z/p^aZ)* est cyclique |
Ref : Rombaldi, p.291 |
2026-07-23T12:42:15.778259 |
2026-07-23T12:42:15.778260 |
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| 889 |
Critère d'Eisenstein et application à l'irréductibilité de polynômes cyclotomiques |
NDLR : à comparer à la méthode classique pour l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques :\rhttps://agreg-maths.fr/developpements/101 |
2026-07-23T12:42:15.778274 |
2026-07-23T12:42:15.778275 |
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| 890 |
Résolution d'un système de congruence |
Soient a,b des réels, n,m des entiers, \rOn résout :\r{$x \equiv a [m]$\r{$x \equiv b [n]$\r |
2026-07-23T12:42:15.778288 |
2026-07-23T12:42:15.778288 |
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| 894 |
Théorème de représentation de Riesz et application |
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2026-07-23T12:42:15.778295 |
2026-07-23T12:42:15.778295 |
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| 895 |
Jeu de Berlekamp |
NDLR : SVP rajoutez au moins un minimum de recasages, une référence. Si possible rajoutez une courte description de ce qui est démontré. \r\rIl doit s'agir de ce jeu : http://irem.univ-reunion.fr/IMG/html/berlekamp_chrome.html |
2026-07-23T12:42:15.778309 |
2026-07-23T12:42:15.778309 |
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| 896 |
Valeurs d'adhérence de la suite sin(n) |
L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $\sin(n)$ est le segment $[-1,1]$ |
2026-07-23T12:42:15.778321 |
2026-07-23T12:42:15.778321 |
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| 898 |
Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle |
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2026-07-23T12:42:15.778329 |
2026-07-23T12:42:15.778329 |
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| 899 |
Orthogonalisation simultanée de matrices |
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2026-07-23T12:42:15.778336 |
2026-07-23T12:42:15.778336 |
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| 900 |
Formule de Cauchy, application à l'analycité des fonctions holomorphes |
\r |
2026-07-23T12:42:15.778345 |
2026-07-23T12:42:15.778345 |
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| 901 |
Combinatoire et dualité |
Ref : Carnet de voyage en Algébrie, P. Caldero. |
2026-07-23T12:42:15.778353 |
2026-07-23T12:42:15.778354 |
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| 902 |
Lemme des contenus de Gauss + Polynomes irreductibles de A[X] |
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2026-07-23T12:42:15.778360 |
2026-07-23T12:42:15.778360 |
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| 903 |
Convergence de séries aléatoires et loi forte des grands nombres L2 |
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2026-07-23T12:42:15.778368 |
2026-07-23T12:42:15.778368 |
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| 904 |
Propriétés de l'indice et application au calcul d'intégrale |
Soit $\gamma : I \rightarrow \mathbb{C}$ un chemin fermé de $\mathbb{C}$. Soit $a \in \mathbb{C} - \gamma (I)$. On définit l'indice du chemin $\gamma$ par rapport au point $a$ par $$\text{Ind}_{\gamma}(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz.$$\r$\text{Ind}_{\gamma}$ est une fonction :\r- à valeurs entières sur $\mathbb{C} - \gamma(I)$\r- constante sur chaque composante connexe de $\mathbb{C} - \gamma(I)$\r- nulle sur la composante connexe non bornée de $\mathbb{C} - \gamma (I)$\rEx de calcul d'intégrale par le théorème des résidus (qui utilise l'indice)\r\rRéf : les livres d'analyse complexe (Amar Mathéron) |
2026-07-23T12:42:15.778412 |
2026-07-23T12:42:15.778412 |
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| 905 |
Espace H1 et problème de Dirichlet |
On résout $-(au')' + bu' + cu = f$ dans $H1_0$. |
2026-07-23T12:42:15.778422 |
2026-07-23T12:42:15.778422 |
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| 906 |
Polynômes cyclotomiques sur les corps finis |
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2026-07-23T12:42:15.778429 |
2026-07-23T12:42:15.778429 |
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| 907 |
Autour de la semi-simplicité & extensions de corps [dvp vide] |
SVP rajouter au moins un minimum de recasages, une référence. Si possible rajouter une courte description de ce qui est démontré. |
2026-07-23T12:42:15.778440 |
2026-07-23T12:42:15.778441 |
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| 908 |
[Le problème des moments : doublon] |
SVP utiliser les développements déjà existants sur le site. |
2026-07-23T12:42:15.778449 |
2026-07-23T12:42:15.778449 |
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| 910 |
Autour de la fonction Gamma [dvpt vide] |
SVP rajoutez au moins un minimum de recasages, une référence. Si possible rajoutez une courte description de ce qui est démontré. |
2026-07-23T12:42:15.778459 |
2026-07-23T12:42:15.778459 |
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| 911 |
Structure topologique et différentielle de SLn(R) [dvpt vide] |
SVP rajouter au moins un minimum de recasages, une référence. Si possible rajouter une courte description de ce qui est démontré. |
2026-07-23T12:42:15.778470 |
2026-07-23T12:42:15.778470 |
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| 912 |
Régularité du flot d'un champ de vecteurs globalement Lipschitzien en la seconde variable |
Le champ de vecteur est complet et le flot est continu sous ces hypothèses. |
2026-07-23T12:42:15.778481 |
2026-07-23T12:42:15.778481 |
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| 913 |
Endomorphismes de Mn qui conservent le rang |
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2026-07-23T12:42:15.778487 |
2026-07-23T12:42:15.778488 |
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| 914 |
Cardinal endomorphismes diagonalisables |
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2026-07-23T12:42:15.778494 |
2026-07-23T12:42:15.778495 |
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| 915 |
Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov |
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2026-07-23T12:42:15.778501 |
2026-07-23T12:42:15.778501 |
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| 916 |
Densité des matrices diagonalisables |
Notons $\mathcal{D}_{n}(\mathbb{C})$ l'ensemble des matrices diagonalisables dans $\mathbb{C}$, et $\mathcal{T}_{n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices trigonalisables dans $\mathbb{R}$. Alors $\overline{\mathcal{D}_{n}(\mathbb{C})}=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et $\overline{\mathcal{D}_{n}(\mathbb{R})}=\mathcal{T}_{n}(\mathbb{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.778528 |
2026-07-23T12:42:15.778528 |
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| 917 |
Convergence des séries de Dirichlet |
Étude des séries de Dirichlet : rayons de convergence et de convergence absolue, analyticité, et comportement asymptotique. |
2026-07-23T12:42:15.778538 |
2026-07-23T12:42:15.778539 |
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| 918 |
Déterminant d'une matrice stochastique |
Soit M une matrice stochastique.\rAlors $ |det(M)| \leq 1$, avec égalité ssi M est une matrice de permutation.\rRéférence : Algèbre 2, FGN |
2026-07-23T12:42:15.778552 |
2026-07-23T12:42:15.778552 |
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| 1004 |
Équation de Bernoulli |
Cas général puis sur un exemple. \r |
2026-07-23T12:42:15.780316 |
2026-07-23T12:42:15.780316 |
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| 1005 |
Ordre moyen (espérance) du pgcd |
On a l'ordre moyen $\sum_{1\leq a,b\leq x}pgcd(a,b)=\frac{6}{\pi^2}x^2\log(x)+0(x^2)$ |
2026-07-23T12:42:15.780330 |
2026-07-23T12:42:15.780330 |
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| 919 |
La récursion forte est primitive récursive |
Soit $h: \mathbb{N}^{k+2} -> \mathbb{N}$ primitive récursive, soit $f : \mathbb{N}^{k+1} -> \mathbb{N}$ telle que :\r\r$f(n,x_{1},...,x_{k}) = h(n, x_{1},...,x_{k}, [f(0,x_{1},...,x_{k}), ..., f(n-1, x_{1},...,x_{k})])$\r\roù $[.,...,.]$ est un encodage bien choisi. Alors f est primitive récursive.\r |
2026-07-23T12:42:15.778573 |
2026-07-23T12:42:15.778573 |
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| 921 |
Unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens finis |
Soit $G$ un groupe abélien fini non trivial. \rIl existe un entier $r \geq 1$ et des entiers $n_1 , \ldots , n_r \ge 2$ tels que $n_r | n_{r-1} | \cdots | n_1 $ et \r$$G \simeq \mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_r \mathbb{Z}$$\rLes entiers $r$ et $n_1,...,n_r$ sont de plus uniques. |
2026-07-23T12:42:15.778597 |
2026-07-23T12:42:15.778597 |
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| 923 |
Equation de la chaleur par transformée de Fourier |
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2026-07-23T12:42:15.778604 |
2026-07-23T12:42:15.778604 |
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| 924 |
Espace des fonctions lipschitziennes de [0,1] dans R |
On montre que l'espace $Lip([0,1],\mathbb{R})$ est un espace vectoriel normé, non complet pour la norme infinie, mais complet pour une autre norme. |
2026-07-23T12:42:15.778617 |
2026-07-23T12:42:15.778617 |
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| 926 |
C est algébriquement clos (preuve par la réduction) |
Le corps $\mathbf{C}$ est algébriquement clos : Tous les polynômes de $\mathbf{C}[X]$ sont scindés sur $\mathbf{C}$.\r\rPreuve par la réduction\r(Voir Carnet de Voyage en Algébrie, P.Caldero, et Théorie algébrique des nombres, P.Samuel) |
2026-07-23T12:42:15.778634 |
2026-07-23T12:42:15.778634 |
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| 927 |
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard |
Pour E un espace préhilbertien, V un s-ev muni d'une base $\{ e_1,...,e_n\}$, et $x \in E$, on a :\r$dist(x,V)^2 = \frac{G(e_1,...,e_n,x)}{G(e_1,..,e_n)}$\roù $G(f_1,...,f_m) := det( (\langle f_i,f_j \rangle)_{i,j} )$ est le déterminant de la matrice de Gram associée à $\{f_1,..,f_m\}$.\r\rRef : Gourdon X., Algèbre, p.259 |
2026-07-23T12:42:15.778660 |
2026-07-23T12:42:15.778660 |
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| 928 |
Solution fondamentale de l'équation de Schrödinger |
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2026-07-23T12:42:15.778668 |
2026-07-23T12:42:15.778668 |
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| 929 |
Représentation des fonctions lipschitziennes |
Une fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est lipschitzienne si et seulement s'il existe une fonction $g \in L^\infty$ telle que pour tout $x \in \mathbb R$, $\displaystyle{f(x)=f(0) + \int_0^x g(x) dx}$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.778686 |
2026-07-23T12:42:15.778687 |
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| 931 |
Topologie de l'ensemble des matrices de rang r |
Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \geq 0$ et $r \in \{1;..;n\}$.\rSoit $J_r$ l'ensemble des matrices de $M_n(\mathbb{K})$ de rang r.\r\r- Pour $r = n$, $J_r = Gl_n(\mathbb{K})$, qui est ouvert et dense dans $M_n(\mathbb{K})$.\r$Gl_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs tandis que $Gl_n(\mathbb{R})$ a deux composantes connexes.\r- Pour $r < n$, $J_r$ est d'intérieur vide, est connexe par arcs, et vérifie : $ \overline{J_r} = \bigcup_{k=0}^rJ_k$\rAinsi, pour $0 < r < n$, $J_r$ n'est ni ouvert ni fermé.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.778734 |
2026-07-23T12:42:15.778735 |
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| 932 |
Deux équations diophantiennes : le problème des canards |
On note $n^{\Delta}:=\frac{n(n+1)}{2}$ le nombre $n$ \"au triangle\". On présente ici le \"problème des canards\", qui est prétexte à résoudre les équations diophantiennes en $n$ et $m$ :\r\[n^{\Delta}=2m^{\Delta},\quad\quad n^{\Delta}=m^2 \] |
2026-07-23T12:42:15.778755 |
2026-07-23T12:42:15.778755 |
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| 933 |
Nombre de racines d’un polynôme et formes quadratiques |
Prasolov, polynomials\rPerrin |
2026-07-23T12:42:15.778765 |
2026-07-23T12:42:15.778765 |
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| 935 |
Deux matrices semblables dans C le sont dans R. Plus généralement : semblable dans L extension de K corps infini implique semblable dans K |
[Gou] Algebre p158 |
2026-07-23T12:42:15.778775 |
2026-07-23T12:42:15.778775 |
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| 936 |
Théorème des restes chinois. Application à l'exo des pirates |
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2026-07-23T12:42:15.778783 |
2026-07-23T12:42:15.778783 |
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| 937 |
Formules de Fourier sur S' (en particulier la dérivation) |
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2026-07-23T12:42:15.778791 |
2026-07-23T12:42:15.778791 |
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| 939 |
La transformée de Fourier sur L^2(R) |
Définition et premières propriétés de la transformée de Fourier sur L^2(R). |
2026-07-23T12:42:15.778800 |
2026-07-23T12:42:15.778800 |
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| 940 |
Classification des applications orthogonales en dimension 3 |
Toute application orthogonale en dimension 3 est l'identité, une rotation, une réflexion ou une antirotation. On peut réutiliser ce développement (en poussant un peu plus loin) pour faire la classification des isométries affines en dimension 3. |
2026-07-23T12:42:15.778815 |
2026-07-23T12:42:15.778816 |
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| 941 |
Classification des isométries affines en dimension 3 |
Toute isométrie affine en dimension 3 est l'identité, une rotation, un vissage, une réflexion, une antirotation ou une symétrie glissée. |
2026-07-23T12:42:15.778827 |
2026-07-23T12:42:15.778828 |
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| 942 |
Théorème de D'Alembert-Gauss (version polynômes symétriques) |
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2026-07-23T12:42:15.778835 |
2026-07-23T12:42:15.778835 |
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| 943 |
Théorème des restes chinois effectif |
Preuve du théorème des restes chinois dans un anneau principal en explicitant la formule de la surjection.\rApplication à la résolution de systèmes de congruences. |
2026-07-23T12:42:15.778847 |
2026-07-23T12:42:15.778847 |
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| 944 |
Quaternions et isomorphismes exceptionnels |
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2026-07-23T12:42:15.778854 |
2026-07-23T12:42:15.778854 |
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| 945 |
Méthode archimédienne pour approcher Pi |
Pour tout $n$ entier tel que $n\geq2$, on note $u_n$ l’aire d’un polygone régulier à $2^n$ côtés inscrits dans le cerclede centre $O$ de coordonnées $(0,0)$ et de rayon $1$ dans le repère euclidien usuel.\rOn montre que la suite $(u_n)_{n\geq2}$ converge linéairement vers $\pi$ et on en déduit une méthode d’approximation de $\pi$. |
2026-07-23T12:42:15.778874 |
2026-07-23T12:42:15.778874 |
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| 946 |
Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes |
Soient $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie et $u_1,\cdots,u_m\in \mathcal{L}(E)$ une famille d'endomorphismes trigonalisables. On suppose de plus que les $u_i$ commutent entre eux deux à deux. Alors il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices des $u_i$ sont toutes triangulaires supérieures (i.e les $u_i$ sont co-trigonalisables). |
2026-07-23T12:42:15.778894 |
2026-07-23T12:42:15.778894 |
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| 947 |
Étude des polynômes cyclotomiques (+ corollaire sur les corps finis). |
Pour $n\geqslant 1$, on a $\Phi_n(X)\in \mathbb{Z}[X]$ est un polynôme irréductible et unitaire, donc irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ également.\r\rSoient $n\in \mathbb{N}^*$, $p$ premier ne divisant pas $n$, et $q=p^\alpha$. Dans $\mathbb{F}_q[X]$, les facteurs irréductibles de $\overline{\Phi_n}$ ont tous pour degré l'ordre de $q$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$. |
2026-07-23T12:42:15.778922 |
2026-07-23T12:42:15.778922 |
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| 948 |
Entiers algébriques et caractères irréductibles |
L'ensemble des entiers algébriques forme un sous-anneau de $\mathbb{C}$. Par conséquent, le degré de toute représentation irréductible d'un groupe fini $G$ divise $|G|$. |
2026-07-23T12:42:15.778936 |
2026-07-23T12:42:15.778936 |
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| 949 |
Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow |
On note $G$ le groupe des isométries (pas forcément positives) d'un cube régulier de $\mathbb{R}^3$.\r\rOn a $G\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathfrak{S}_4$, et $G\simeq \mathfrak{S}_4$. De plus, les sous-groupes de Sylow de $G^+$ se réalisent comme stabilisateurs de certaines droites remarquables du cube. |
2026-07-23T12:42:15.778965 |
2026-07-23T12:42:15.778965 |
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| 950 |
Intégrale de Gauss (par le théorème des résidus) |
C'est un calcul de résidus tout ce qu'il y a de plus standard.\rAttention cependant, pour que ce soit supportable a présenter (et à entendre), il faut bien suivre les différentes astuces (introduire la bonne fonction, la bonne constante, ne pas se perdre dans les lacets...) |
2026-07-23T12:42:15.778982 |
2026-07-23T12:42:15.778982 |
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| 1006 |
Théorème de Haar |
En utilisant des arguments de dualité, dimension, compacité, on démontre une CNS d'unicité d'un projeté (pour la norme uniforme) d'une fonction continue sur [a, b] sur un sev de dimension finie. |
2026-07-23T12:42:15.780344 |
2026-07-23T12:42:15.780345 |
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| 951 |
Prolongement fonction Gamma d'Euler (+formule de Weierstrass) |
La fonction\r\[\Gamma(z):=\int_{0}^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt\]\rest bien définie et holomorphe sur $\Omega_0:=\{z\in \mathbb{C}~|~\Re(z)>0\}$.\rElle se prolonge à $\mathbb{C}\setminus-\mathbb{N}$ en une fonction méromorphe, dont le résidu en $-n$ est $\frac{(-1)^n}{n!}$. On a de plus la formule de Weierstrass\r\[\frac{1}{\Gamma(z)}=z^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\]\rqui prouve en particulier que $1/\Gamma$ se prolonge en une fonction entière. |
2026-07-23T12:42:15.779019 |
2026-07-23T12:42:15.779019 |
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| 952 |
Description géométrique des normes |
[On traite le cas de la dimension finie, même si le résultat est vrai aussi en dimension infinie]\rOn montre le théorème suivant: \rSoit $A$ une partie non vide de $R^n$, alors il y a équivalence entre: \r- $A$ est la boule unité fermée d'une certaine norme sur $R^n$\r- $A$ est convexe, équilibrée, compacte et contenant 0 comme point intérieur. \r\rUne application est la construction d'une norme $||.||$ sur $R^2$ telle que les seules isométries de $(R^2, ||.||)$ sont $id$ et $-id$. \r\rRéférence: Zuily-Queffelec, p 244 pour l'édition de 2013. Voir aussi Rouvière (Petit Guide du calcul diff... ) p 20 |
2026-07-23T12:42:15.779047 |
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| 953 |
Analyticité des fonctions holomorphes |
Une fonction holomorphes sur un ouvert est développable en série entière en tout point |
2026-07-23T12:42:15.779057 |
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| 954 |
Calcul d'une intégrale par le théorème des résidus |
On calculera $I_\alpha = \int_0^{+\infty} \frac{x^\alpha \ln(x)}{x^2-1} dx$ où $-1 < \alpha < 1$. |
2026-07-23T12:42:15.779072 |
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| 955 |
Calcul du degré d'une extension de corps |
On calculera le degré de $\Q[(\sqrt{p_i}_{1 \leq i \leq n})]$ sur $\Q$, où les $(p_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 2, tous sans facteurs carrés, et deux à deux premiers. |
2026-07-23T12:42:15.779091 |
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| 956 |
Équation de Burgers |
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2026-07-23T12:42:15.779097 |
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| 957 |
Étude de deux suites récurrentes |
On donnera un équivalent de la suite définie par $u_0 > 0$ assez petit et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = x-ax^\alpha + o(x^\alpha)$ où $a > 0$ et $\alpha > 1$. On regardera les cas particuliers de $f = \sin$ et $f = \ln(1+.)$. \r\rOn calculera ensuite un développement asymptotique de la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = u_n + e^{-u_n}$. |
2026-07-23T12:42:15.779118 |
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| 958 |
Injectivité de la fonction caractéristique et application |
On montrera que la fonction caractéristique d'une variable aléatoire caractérise la loi de cette variable. \r\rOn en déduira la loi d'une variable multinomiale \"poissonifiée\". |
2026-07-23T12:42:15.779138 |
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| 959 |
Caractérisation des ensembles Récursivement Énumérables |
Les assertions suivantes sont équivalentes:\r\r1. $A$ est dans $\mathrm{RE}$,\r2. $\exists B\subset \mathbb{N}^2$ primitif récursif tel que $A=\pi^2_2(B)$,\r3. $A=\varnothing$ ou $A$ est l’image d’une fonction primitive récursive,\r4. $A$ est l’image d’une fonction récursive. |
2026-07-23T12:42:15.779159 |
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| 960 |
Algorithme de Dijkstra |
Algorithme répondant au problème du plus court chemin à origine unique dans un graphe orienté à pondération positive. |
2026-07-23T12:42:15.779169 |
2026-07-23T12:42:15.779170 |
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| 961 |
2-SAT est NL-dur |
Ce développement présente différents résultats de complexité concernant le problème de satisfiabilité d’un fragment du calcul propositionnel. Les algorithmes présentés utilisent des procédures classiques sur les graphes orientés (calcul de composantes fortement connexes et tri topologique). |
2026-07-23T12:42:15.779184 |
2026-07-23T12:42:15.779185 |
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| 962 |
Théorème des trois séries de Kolmogorov |
Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. Alors la série $\sum_n X_n$ converge presque sûrement si et seulement si les trois séries suivantes convergent \r(i) $\sum_n \mathbb{P}(|X_n|>1)$;\r(ii) $\sum_n \mathbb{V}(\overline{X}_n)$;\r(iii) $\sum_n \mathbb{E}(\overline{X}_n)$,\roù $\overline{X}_n$ est la variable aléatoire tronquée $X_n1_{|X_n\le1|}$.\r\rRéférences : $\textit{A Probability Path}$ de Resnick, et $\textit{Probability}$ de Breiman. |
2026-07-23T12:42:15.779215 |
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| 963 |
Sous-algèbres réduites de Mn(C) |
Référence : 131 développements pour l'oral D.Lesesvre P.Montagnon\rOn peut adapter certains arguments si l'on présente ce développement dans la leçon 153 par exemple avec la décomposition de Dunford ou le lemme des noyaux avec les projecteurs spectraux\r |
2026-07-23T12:42:15.779231 |
2026-07-23T12:42:15.779232 |
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| 964 |
Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2 |
Ce développement peut s'étendre aux entiers en général qui s'écrivent de cette forme si on préfère aller plus vite sur l'isomorphisme d'anneaux, l'exercice se trouve juste après celui avec les nombres premiers dans \"Carnet de voyage en Algébrie\" page 206-207 |
2026-07-23T12:42:15.779249 |
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| 965 |
Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude |
Ce développement peut amener à avoir des questions sur les opérateurs compacts il faut donc les connaître et savoir démontrer que l'ensemble des opérateurs compacts est fermé dans L(E).\rIl faut également donner des exemples de tels opérateurs (multiplication par une suite de carré sommable dans l$^2$(N), opérateurs de rang finis) et des exemples d'opérateurs n'étant pas dans cet ensemble (Id, Shift) |
2026-07-23T12:42:15.779269 |
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| 966 |
Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G |
Savoir faire une application dans S4 avec un dénombrement de décompositions d'un 4 cycle en plusieurs cycles |
2026-07-23T12:42:15.779280 |
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| 967 |
Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs) |
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2026-07-23T12:42:15.779287 |
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| 968 |
Racine carrée de la primitivisation (version calcul d'intégrale) |
Il s'agit d'une autre méthode utilisant uniquement des calculs d'intégrales pour montrer que notre opérateur est une racine carrée, elle est proposée dans la même référence mais les calculs sont effectués dans la partie commentaire du développement page 499-500 pour être plus adaptée au cadre de la leçon 236 |
2026-07-23T12:42:15.779305 |
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| 969 |
Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp) |
On établit une bijection entre l'ensemble des drapeaux complets de $\mathbb{F}_p^n$ et les $p$-Sylow de $GL_n(\mathbb{F}_p)$. |
2026-07-23T12:42:15.779318 |
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| 970 |
Distance d'une matrice à un sous-groupe |
Carnet de voyage en Analystan p154 |
2026-07-23T12:42:15.779327 |
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| 971 |
Processus du restaurant chinois: étude du nombre de tables |
On montre que le nombre de tables au temps n, divisé par log(n), cv ps vers le paramètre thêta. |
2026-07-23T12:42:15.779337 |
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| 972 |
Equation de transport et formule de d'Alembert |
On donne la solution de l'équation de transport avec terme source, et on l'applique pour la formule de d'Alembert qui donne la solution de l'équation des ondes en dimension 1. |
2026-07-23T12:42:15.779352 |
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| 973 |
Prolongement analytique le long d'une courbe |
On montre l'unicité d'un prolongement analytique suivant une courbe par un argument de connexité et le principe de principe de prolongement analytique. |
2026-07-23T12:42:15.779365 |
2026-07-23T12:42:15.779365 |
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| 974 |
Morphismes continus de $S^1$ dans $GL_n(\mathbb{C})$. |
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2026-07-23T12:42:15.779372 |
2026-07-23T12:42:15.779372 |
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| 1007 |
Les Théorèmes de Dini et application |
Les Théorèmes de Dini et application |
2026-07-23T12:42:15.780353 |
2026-07-23T12:42:15.780353 |
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| 1074 |
Caractérisation des sous groupes compacts de Gln(R) |
Un sous groupe de Gln(R) est compact si et seulement si il est conjugué à un sous groupe de On(R)\r\r\r\rRéférence: L3 Algèbre- Szpirglas \r |
2026-07-23T12:42:15.781198 |
2026-07-23T12:42:15.781198 |
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| 977 |
Déterminant circulant |
__Version A : Gourdon Algèbre 2eme ed p146 exo 12 : Déterminant circulant__\r\rSoit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\omega = e^{2i\pi/n}$. On considère la matrice $\Omega = \big( \omega^{(i-1)(j-1)} \big)_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. \r\ra) Soient $c_0,...,c_{n-1} \in \mathbb{C}$ et \r\r$$\rA = \begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{{n-1}}\\c_{{n-1}}&c_{0}&c_{1}&&c_{{n-2}}\\c_{{n-2}}&c_{{n-1}}&c_{0}&&c_{{n-3}}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}\r$$\r\rb) (Application) Si $\theta \in \mathbb{R}$, calculer le déterminant $n\times n$ \r$$\r\begin{pmatrix} \cos \theta & \cos 2 \theta &\dots & \cos n \theta \\ \cos n \theta & \cos \theta && \cos (n-1) \theta \\\r\vdots &&\ddots &\vdots \\ \r\cos 2 \theta & \cos 3 \theta &\dots & \cos \theta \end{pmatrix}\r$$\r\r\r__Version B : ibid p. 180 exo 4 : Diagonalisation d'un déterminant circulant__\r\rOn considère la matrice circulante \r$$\rA = \begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{{n-1}}\\c_{{n-1}}&c_{0}&c_{1}&&c_{{n-2}}\\c_{{n-2}}&c_{{n-1}}&c_{0}&&c_{{n-3}}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).\r$$\r\rEn exprimant $A$ comme un polynôme de la matrice \r$$\rJ={\begin{pmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&&&&1\\1&0&0&\dots &0\end{pmatrix}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\r$$\r\rdiagonaliser $A$. |
2026-07-23T12:42:15.779484 |
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| 978 |
Sous-algèbre de L(E) dont le seul élément nilpotent est 0 |
Référence : Exercice 3.39 p. 230 - Dugardin, Rezzouk\r\rOn considère $n$ est un entier supérieur ou égal à 2, $\mathbf{E}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(\mathbf{E})$ dont le seul élément nilpotent est $0$. \r\r1.a) Soit $u \in \mathcal{A}$. On note $\pi$ son polynôme minimal. Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$, de multiplicité $m$ dans le polynôme $\pi$. On écrit alors \r$$\r\pi (X) = (X - \lambda)^{m}Q(X) \text{, avec } Q(\lambda) \eq 0\r$$\r\rOn pose enfin \r$$\r\mathbf{F} = \ker(u - \lambda Id_{\mathbf{E}})^m \text{ et } \mathbf{G} = \ker Q(u)\r$$\rExpliquer pourquoi $\mathbf{E} = \mathbf{F} \oplus \mathbf{G}$. On note $p$ le projecteur sur $\mathbf{F}$ parrallèlement à $\mathbf{G}$.\r\rb) Démontrer que $p$ est un polynôme en $u$ et en déduire que $(u - \lambda Id_{\mathbf{E}}) \circ p$ est nilpotent. \rc) Démontrer que $u$ est diagonalisable. \rd) Démontrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $\mathbf{E}$ telle que pour tout $u \in \mathcal{A}$, $M_{\mathcal{B}}(u)$ soit diagonale.\re) Conclure que $\dim \mathcal{A} \leq n$. |
2026-07-23T12:42:15.779551 |
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| 979 |
Version faible du théorème de Schur |
Référence : Dugardin, Rezzouk p.69\r\rSoit $\mathcal{A} = \lbrace a_1,\dots, a_l \rbrace$ un ensemble d'entiers naturels non nuls, premiers dans leur ensemble. On considère des variables aléatoires $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ indépendantes, de même loi, à valeurs dans $\mathcal{A}$ et on suppose de plus $\mathbb{P}(X_1 = a_i) > 0$ pour tout $i \in [\![1;l]\!] $. Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on pose $g(z)=\mathbb{E}(z^{X_1})$.\r\r1) Montrer que l'application $z\longmapsto 1 - g(z)$ est un polynôme qui n'a pas de racines complexes de module $\leq 1$ autre que la valeur réelle $1$.\r\r2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $A_n = \lbrace N \in \mathbb{N}^*, \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} X_k = n \rbrace$. Montrer que \r$$\r\mathbb{P}(A_n) = \sum^{+ \infty}_{k=1} \mathbb{P} \left\lbrace \overset{N}{\underset{k=1}{\sum}} X_k = n \right\rbrace\r$$\r\r3) Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $\vert z \vert < 1$, la série $\underset{k \geq 1}{\sum} \mathbb{P}(A_n)z^n$ converge et exprimer sa somme en fonction de $g$.\r\r4) En étudiant les coefficients du développement en série entière de la fraction rationnelle $\frac{1}{1-g(z)}$ pour tout $\vert z \vert <1$, montrer que \r$$\r\lim_{n \leftarrow + \infty} \mathbb{P}(A_n) = \frac{1}{\mathbb{E}(X_1)}\r$$\r\r5) Étant donné $\mathcal{A} = \lbrace a_1,\dots, a_l \rbrace$ un ensemble d'entiers naturels non nuls, premiers dans leur ensemble, montrer qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que tout entier $n \geq n_0$ est combinaison à coefficients entiers naturels des entiers $a_i$. |
2026-07-23T12:42:15.779639 |
2026-07-23T12:42:15.779640 |
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| 980 |
Lemme de Borel-Cantelli & Application aux nombres premiers |
Référence : Exercice 1.28 - Dugardin, Rezzouk p. 72\r\rSoit $(A_n)$ une suite d'évènements. On pose $A=\underset{n \geqslant 0}{\bigcap} \left( \underset{k \geqslant n}{\bigcup} A_k \right)$. \r1) Montrer que si la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n)$ converge alors $\mathbb{P}(A)=0$.\r2) Application de la question 1. \rSoit $(X_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de V.A. et $X$ une V.A. discrète. Pour $\epsilon > 0$ on pose $A_n(\epsilon) = \lbrace \vert X_n - X \vert > \epsilon \rbrace$. Montrer que si pour tout $\epsilon > 0$, la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n(\epsilon))$ converge alors la suite $(X_n)$ converge p.s. vers X, i.e. il existe $\mathcal{A}$ tel que $\mathbb{P}(\mathcal{A}) = 1$ et pour tout $\omega \in \mathcal{A}$,$\underset{n \rightarrow + \infty}{\lim} X_n(\omega)=X(\omega)$. \r3) On suppose que les évènements $A_n$ sont indépendants, montrer que si la série $\underset{n \geqslant 0}{\sum} \mathbb{P}(A_n)$ alors $\mathbb{P}(A)=1$.\r4) On tape aléatoirement du texte au clavier, chaque caractère étant équiprobable. Montrer que p.s. le texte tapé (supposé très grand) contiendra n'importe quel ouvrage littéraire connu.\r\rExercice 1.31 p. 77 - Une autre application\r\rLe but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas de probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\mathbb{N}^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P} \lbrace$multiples de $n \rbrace = \frac{1}{n}$. On note $(p_k)_{k \geqslant n}$ la suite croissante des nombres premiers. On raisonne par l'absurbe en supposant que cette probabilité existe. \r\r1) Montrer que les évènements $A_{p_k} = \lbrace$multiples de $p_k \rbrace$ pour $k \geqslant 1$ sont indépendants.\r2) Que penser de le nature de la série $\underset{k \geqslant 1}{\sum} \mathbb{P}(A_{p_k})$?\r3) Conclure. |
2026-07-23T12:42:15.779740 |
2026-07-23T12:42:15.779740 |
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| 981 |
Permutations alternantes |
Référence : Exercice 1.20 p. 45 - Dugardin, Rezzouk\r\rSoit $n \geqslant 2$. On dit que $\sigma \in \mathcal{S}_n$ est alternante (ou en zig-zag) montante (resp. descendante) lorsque \r$$\r\sigma(1) < \sigma(2) > \sigma(3) < \sigma(4) > \dots \text{ (resp. } \sigma(1) > \sigma(2) < \sigma(3) > \sigma(4) < \dots \textbf{)}\r$$\r1) Montrer qu'il y a autant de permutations alternantes montantes que descendantes. \r\r2) On note $a_n$ le nombre de permutations montantes, et l'on pose $a_0 = a_1 = 1$. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$ \r$$\r2a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_k a_{n-k}\r$$\r3) On pose $f(x) = \underset{n \geqslant 0}{\sum} \dfrac{a_n}{n!} x^n$. Montrer que le rayon $R$ de cette série entière est $ \geqslant 1$ et que pour tout $x \in ]-R,R[$, \r\[\rf(x) = \tan(x) + \dfrac{1}{\cos(x)}\r\]\r5) Donner le rayon de cette série entière. \r\r6) Quelle est la probabilité pour qu'un permutation de $\mathcal{S}_{10}$ tirée au hasard soit alternante? [NdL : ils y répondent grâce à un programme python et non par la théorie] |
2026-07-23T12:42:15.779799 |
2026-07-23T12:42:15.779799 |
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| 982 |
Quelques cas particuliers du théorème de Dirichlet |
Je complèterai plus tard\r\rRef: Gourdon Algèbre ed 2, p.37 problème 4 |
2026-07-23T12:42:15.779810 |
2026-07-23T12:42:15.779810 |
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| 1073 |
Théorème de prolongement analytique et fonction caractéristique de la loi normale |
Fait dans L’oral de l’agrégation, Isenmann-Pecatte. |
2026-07-23T12:42:15.781185 |
2026-07-23T12:42:15.781185 |
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| 983 |
Caractérisation des fonctions différentiables convexes |
Référence : Exercice 8.2 p. 494 - Dugardin, Rezzouk ou Analyse Gourdon ou Rouvière\r\r1) Soit $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que pour tout $(a,x) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$, $f(x) \geqslant f(a)+df(a)(x-a)$.\r2) Soit $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe, de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $f(y,x)=f(x,y)$. Démontrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ \r\[\r(x-y) \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) - \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right) \geqslant 0\r\]\r |
2026-07-23T12:42:15.779853 |
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| 984 |
Maximum d'une fonction définie sur R^n |
Référence Exercice 8.19 p. 514 - Dugardin, Rezzouk\r\rOn considère l'ensemble \r\[\r\mathcal{K}_n = \lbrace x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^{n}_{+}, x_1+\dots+x_n=1 \rbrace\r\]\rainsi que la fonction \r$$\r\begin{array}{ccccc}\r\rf & : & \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R} \\\r\r & & x & \mapsto & \dfrac{1}{2} \underset{i \eq j}{\sum} x_i x_j \\\r\end{array}\r$$\rOn utilisera la norme 1. \r\r1) Justifier que la restriction de $f$ à $\mathcal{K}_n$ est majorée et qu'elle atteint sa borne supérieure en au moins un point de $\mathcal{K}_n$. Dans la suite on notera $M_n$ ce supremum.\r\r2) Calculer $M_2$.\r\r3) Soit $a \in \mathcal{K}_n$ tel que $M_n = f_n(a)$.\ra) En considérant la fonction $g_n : x \mapsto f_n(x) - f_n(a) \lVert x \rVert_{1}^{2}$, démontrer que si $a \in \mathbb{R}_{+}^{*n}$, alors $\nabla f_n(a) = f_n(a) \cdot \begin{bmatrix}\r 1 \\\r \vdots \\\r 1\r \end{bmatrix}$.\r\rb) Conclure alors par récurrence sur $n$ en ce qui concerne la valeur de $M_n$. |
2026-07-23T12:42:15.779925 |
2026-07-23T12:42:15.779925 |
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| 985 |
Minimum d'une fonction de n variables à l'aide du déterminant |
Référence : Exercice 3.40 p. 232 - Dugardin Rezzouk ou aussi Exercice 6 chap. 5 p. 268 - Algèbre, Gourdon\r\rOn note $\mathbf{E} = \mathbb{R}[X]$. \r1) Vérifier que l'application $\langle \cdot , \cdot \rangle$ définie sur $\mathbf{E}$ par \r\[\r\langle P,Q \rangle = \int^{+ \infty}_{0} P(x)Q(x)e^{-x} d x\r\]\rest un produit scalaire. \r2) Soient $n \in \mathbf{N}^{*}$ et $ \mathbf{F} = $ Vect$(X,X^{2},\dots, X^{n})$. On note $Q$ la projection orthogonale du polynôme $1$ sur $\mathbf{F}$. Calculer \r\[\r\mu = \inf_{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n} \left\lbrace \int^{+ \infty}_{0} (1 + x_1t + x_2t^2 + \dots + x_nt^n)^{2}e^{-t} dt \right\rbrace\r\]\rRemarque : Cet exercice est à rapprocher du problème du tome d'analyse portant sur le théorème de Müntz. |
2026-07-23T12:42:15.779977 |
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| 986 |
Ruine du joueur |
Modélisation d'un jeu de pile non nécessairement équilibré ou face contre un casino. On montre que le jeu termine presque sûrement; et on donne des probabilités explicites de victoire du joueur en fonction de sa fortune initiale, de celle du casino, et de la loi de proba du jeu de pile ou face. \rUtilise des suites de variables aléatoires, l'indépendance et la résolution de suites récurrentes linéaires. |
2026-07-23T12:42:15.779997 |
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| 987 |
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent |
Dénombrement sur un corps fini des matrices nilpotentes |
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| 988 |
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence |
Soit $(E, q)$ un espace quadratique.\r\r<u><b>Lemme 1 :</b></u> Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq E$ avec égalité lorsque $q$ est non dégénérée. De plus, $E = F \oplus F^{\perp}$ si, et seulement si $q_{|F}$ est non dégénérée.\r\r<u><b>Thm/Déf 2 :</b></u> Pour toute base $q$-orthogonale $(e_1, \ldots ,e_n)$ de $E$, les entiers $s = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) > 0\}$ et $t = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) < 0\}$ ne dépendent que de $q$, et non du choix de la base $q$-orthogonale. Le couple $(s,t)$ est alors appelé signature de $q$.\r\r<u><b>Thm 3 :</b></u> Notons $\mathcal{P}$ (resp $\mathcal{N}$) l'ensemble des sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ tels que $q_{|F}$ est définie positive (resp. définie négative). En notant $(s,t)$ la signature de $q$, on a:\r$$ s = \max\limits_{F \in \mathcal{P}} \dim(F) \quad \hbox{et} \quad t = \max\limits_{F \in \mathcal{N}} \dim(F) $$ |
2026-07-23T12:42:15.780063 |
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| 989 |
Théorème du rang et topologie des orbites pour l'action par similitude |
On considère l'action de $GL_m(K)\times GL_n(K)$ sur $M_{mn}(K)$ définie par, pour tout $A\in M_{mn}(K)$ et $P,Q$ dans $GL_n(K)$, $$(P,Q).A:=PAQ^{-1}$$\rOn montre que deux matrices sont dans la même orbites pour cette action si et seulement si elles ont même rang. \rPour $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on dispose d'une topologie sur $M_{mn}(K)$ induite par une norme (quelconque). Pour cette topologie, l'adhérence de l'orbite $O_r$ des matrices de rang $r$ est $\bigcup_{0\leq k \leq r}O_k$. |
2026-07-23T12:42:15.780092 |
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| 990 |
Solution approchée de y' = x^2 + y^2 |
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2026-07-23T12:42:15.780100 |
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| 991 |
Générateurs de SL2(Z) |
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2026-07-23T12:42:15.780106 |
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| 992 |
Calcul du résultant par l'algorithme d'Euclide |
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2026-07-23T12:42:15.780115 |
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| 993 |
Réduction simultannée des formes quadratiques réelles & applications |
1) Soit $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$. Soient $q_1$ et $q_2$ deux formes quadratiques sur $E$. On suppose que $q_1$ est définie-positive. Alors il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $mat_{B}q_1=I_n$ et $mat_Bq_2$ est diagonale réelle. \r2) Soient $M_1 \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $M_2 \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Alors il existe $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $M_1 = PP^t$ et $M_2 = PDP^t$. \r3) Soient $A,B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Alors $\det A + \det B \leqslant \det (A+B)$. |
2026-07-23T12:42:15.780147 |
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| 994 |
Théorème de réduction de Gauss et loi d'inertie de Sylvester |
Théorème de réduction de Gauss\rSoient $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$ et $q$ une forme quadratique sur $E$ dont l'on note $r$ le rang. Alors il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_r) \in \mathbb{R}^r$ tous non-nul et il existe $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in E^*$ formes linéaires linéairement indépendantes dans $E^*$ tels que \r$$\r\forall x \in E, q(x) = \lambda_1 \varphi_1^2 (x) + \dots + \lambda_r \varphi_r^2 (x)\r$$\r\rLoi d'inertie de Sylvester\rSoient $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$ et $q$ une forme quadratique sur $E$ dont l'on note $r$ le rang. Alors il existe $p \in \lbrace 1,\dots,r \rbrace$, $(\lambda_1,\dots,\lambda_r) \in ]0,+\infty[^r$ et $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in E^*$ formes linéaires linéairement indépendantes dans $E^*$ tels que \r$$\r\forall x \in E, q(x) = \lambda_1 \varphi_1^2 (x) + \dots + \lambda_p \varphi_p^2 (x) - \lambda_{p+1} \varphi_{p+1}^2 (x) - \dots - \lambda_r \varphi_r^2 (x)\r$$\rLe couple $(p,r-p)$ est appelé signature de $q$ et ne dépend pas du choix de la base. |
2026-07-23T12:42:15.780212 |
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| 995 |
Automorphismes d'un corps cyclotomique |
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2026-07-23T12:42:15.780219 |
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| 996 |
Somme de lois de Cauchy |
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2026-07-23T12:42:15.780225 |
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| 997 |
Décomposition des groupes abéliens finis |
[Isenmann, p.14]\r\rOn démontre le théorème suivant : \r\rSoit $G$ un groupe abélien fini non trivial. Il existe un entier $r \ge 1$ et des entiers $n_1 , \ldots , n_r \ge 2$ tels que $n_i$ divise $n_{i-1}$ pour tout $i \ge 2$ et tels qu'on ait l'isomorphisme \r\[\rG \simeq \mathbb{U}_{n_1} \times \cdots \times \mathbb{U}_{n_r} \simeq Z/n_1Z \times \cdots \times Z/n_rZ\r\]\roù $\mathbb{U}_n$ désigne le groupe des racines $n$-ième de l'unité. |
2026-07-23T12:42:15.780259 |
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| 998 |
Nombres normaux |
On montre qu'il existe des nombres normaux en toute base par les probabilités et la LFGN (réf: Zuily-Queffélec) |
2026-07-23T12:42:15.780270 |
2026-07-23T12:42:15.780270 |
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| 1008 |
Théorème des fonctions implicites |
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^m$, f une application de $\Omega$ dans $\mathbf{R}^m$ de classe $C^1$ et $(a,b)$ un point de $\Omega$. On pose $c = f(a,b)$ et on suppose que $Df_y (a,b)$ est inversible. Alors il existe un voisinage $A \times B$ de $(a,b)$ et une application $\phi$ de classe $C^1$ de $A$ dans $B$ tels que $\forall (x,y) \in A \times B$, $f(x,y)=c$ équivaut à $y=\phi(x)$. |
2026-07-23T12:42:15.780379 |
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| 1009 |
Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle) |
Pour $K$ égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, on note $\mathcal{N}_n(K)^*$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(K)$ privé de la matrice nulle. Alors $\mathcal{N}_n(\mathbf{C})^*$ est connexe par arcs et si $n \geq 3$, $\mathcal{N}_n(\mathbf{R})^*$ est connexe par arcs. |
2026-07-23T12:42:15.780400 |
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| 1010 |
Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert |
Soit $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur positif (continu). Alors il existe une racine carrée $S$ de $T$ : $S$ est un opérateur hermitien positif et vérifie $S^2=T$. |
2026-07-23T12:42:15.780413 |
2026-07-23T12:42:15.780413 |
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| 1011 |
Construction de fonctions dérivables dont la dérivée est discontinue sur un ensemble prescrit |
Soit $F$ un réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide dans $[0,1]$. Alors il existe une fonction $f:[0,1] \to \mathbf{R}$ dérivable sur $[0,1]$ et dont la dérivée $f'$ est discontinue sur l'ensemble $F$ et continue sur le complémentaire de F (dans $[0,1]$). |
2026-07-23T12:42:15.780432 |
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| 1012 |
Chemin continu de projecteurs |
Soit $f : [0,1] \to \mathcal{L}(\mathbf{R}^n)$ continue et telle que $f(t) = f(t) \circ f(t)$. Alors rg $f(t)$ ne dépend pas de $t \in [0,1]$. On le note $r$ et on suppose $r \geq 1$. Alors il existe $v_1, ..., v_r$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbf{R}^n$ telles que $(v_1(t),v_2(t),...,v_r(t))$ soit une base de Im $f(t)$ pour $t \in [0,1]$. |
2026-07-23T12:42:15.780455 |
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| 1013 |
Exemple de série numérique et recherche de sa nature (convergent ou divergent) |
Soit $\alpha > 0$. La série $\sum_{n \geq 1} {\frac{e^{i\sqrt n}} {n^\alpha} }$ converge si $\alpha > 1/2$ et diverge sinon. |
2026-07-23T12:42:15.780470 |
2026-07-23T12:42:15.780470 |
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| 1014 |
Parties relativement compactes de Lp(Rn) |
Pour $f \in L^p(\mathbf{R}^n)$ et $h \in \mathbf{R}^n$ on pose $\tau_h f(x) = f(x+h)$ translatée de $f$ par le vecteur $h$. Soit $A$ une partie bornée de $L^p(\mathbf{R}^n)$. Alors A est relativement compacte ssi les 2 conditions suivantes sont vérifiées :\r1) $\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, \forall f \in A, \forall ||h|| \leq \delta, ||\tau_h f - f||_p \leq \epsilon$\r2) $\forall \epsilon > 0, \exists B$ borélien borné tel que $\forall f \in A, (\int_{\mathbf{R}^n-B}{|f(x)|^p})^{1/p} \leq \epsilon$ |
2026-07-23T12:42:15.780508 |
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| 1015 |
Un théorème de localisation des racines d'un polynôme (Cauchy, Ostrowski) |
Soit $f(x) = x^n-b_1 x^{n-1}-...-b_n$ un polynôme tel que les coefficients $b_i$ soient positifs et non tous nuls.\r1) Cauchy : Alors f possède une unique racine positive $x_0$ et les valeurs absolues des autres racines (complexes) de f sont $\leq$ à $x_0$\r2) Ostrowski : Si en outre, le pgcd des indices $i$ tels que $b_i \e 0$ est égal à 1, les valeurs absolues des racines (complexes) distinctes de $x_0$ sont $< x_0$ |
2026-07-23T12:42:15.780529 |
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| 1016 |
Sous-espaces totalement isotropes maximals |
Théorème : Soit $q$ une forme quadratique non-dégénérée sur un espace vectoriel de dimension finie. On appelle sous-espace totalement isotrope (SETI) un sous-espace vectoriel $F$ vérifiant $\forall x \in F, q(x)=0$. On appelle SETI maximal un SETI $F$ maximal pour l'inclusion (si $G$ est un SETI tel que $F \subset G$ alors $F=G$). Les SETIM ont tous même dimension (appelé indice de Witt).\r\rCas particulier : Si $q$ est une forme quadratique réelle non-dégénérée de signature (s,t) (en particulier s+t=n) son indice de Witt est min(s,t). |
2026-07-23T12:42:15.780555 |
2026-07-23T12:42:15.780555 |
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| 1017 |
Théorème de Kuhn et Tucker |
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2026-07-23T12:42:15.780561 |
2026-07-23T12:42:15.780561 |
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| 1018 |
Système de Lotka Volterra |
Dans ce développement, on étudie qualitativement les solutions maximales d'un système différentiel non linéaire. On prédit notamment l'allure ainsi que son caractère périodique. |
2026-07-23T12:42:15.780574 |
2026-07-23T12:42:15.780574 |
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| 1019 |
Théorème spectral et ses trois corollaires |
Se trouve dans le Gourdon, Algèbre p 244 (2e édition). |
2026-07-23T12:42:15.780583 |
2026-07-23T12:42:15.780583 |
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| 1020 |
Espace tangent et extrema liés |
Démonstration de la caractérisation de l'espace tangent en un point d'une sous-variété avant de passer au théorème des extrema liés. |
2026-07-23T12:42:15.780595 |
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| 1021 |
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité |
On démontre que Sl_n(K) est engendré par les matrices de transvection et qu'un élément de Gl_n(K) peut s'écrire comme un produit de transvections et d'au plus une dilatation.\r\rApplication à la connexité de Sl_n(R) et Sl_n(C) et aux deux composantes connexes de Gl_n(R).\r\rOn montre également la connexité de Gl_n(C), mais sans passer par les transvections/dilatations. |
2026-07-23T12:42:15.780616 |
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| 1022 |
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q |
Démonstration classique de l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques, et on montre en application qu'une extension finie de Q contient un nombre fini de racines de l'unité.\r |
2026-07-23T12:42:15.780631 |
2026-07-23T12:42:15.780631 |
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| 1023 |
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle |
On démontre :\r1) une condition nécessaire de convergence de la méthode de relaxation\r2) cas de la méthode de Jacobi et de la méthode de relaxation pour les matrices à diagonale strictement dominante\r3) une condition suffisante sur la convergence des méthodes itératives dans le cas des matrices symétriques définies positives\r\r4) application du 3) qui nous donne deux conditions suffisantes de convergence des méthodes de Jacobi et de relaxation dans le cas des matrices symétriques définies positives |
2026-07-23T12:42:15.780655 |
2026-07-23T12:42:15.780655 |
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| 1024 |
Théorème de Cauchy-Lipschitz global (cas général) |
Démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz local, puis passage au global par un raisonnement par connexité. |
2026-07-23T12:42:15.780666 |
2026-07-23T12:42:15.780666 |
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| 1025 |
Principe du prolongement analytique, analyticité des fonctions holomorphes et formule de Cauchy |
Titre explicite... |
2026-07-23T12:42:15.780675 |
2026-07-23T12:42:15.780676 |
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| 1026 |
Théorème d'interversion limite et différentielle |
Version sur un ouvert connexe. |
2026-07-23T12:42:15.780684 |
2026-07-23T12:42:15.780684 |
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| 1028 |
Fonction de Takagi |
On note $\Delta$ la fonction $1$-périodique définie par\r$$\forall |x|\leqslant\frac{1}{2},~\Delta(x)=|x|.$$\rOn appelle fonction de Takagi la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par\r$$f(x)=\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{\Delta(2^px)}{2^p}.$$\rLa fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, continue et n'est dérivable en aucun point. |
2026-07-23T12:42:15.780710 |
2026-07-23T12:42:15.780710 |
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| 1029 |
La fonction de Fabius : une fonction C^infini et non-analytique |
On montre que si $(U_i)_{i\in\mathbb{N}^*}$ sont des variables aléatoires i.i.d. de lois uniformes sur $[0,1]$, alors la fonction de répartition de $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{U_i}{2^i}$, restreinte à l'intervalle $[0,1]$, est de classe $C^\infty$ mais n'est analytique en aucun point. |
2026-07-23T12:42:15.780730 |
2026-07-23T12:42:15.780731 |
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| 1030 |
Non-isomorphisme entre PSL(4,F_2) et PSL(3,F_4) |
On démontre que les groupes $PSL(4,\mathbb{F}_2)$ et $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ ne sont pas isomorphes, bien qu'ils soient simples et de même cardinal. |
2026-07-23T12:42:15.780743 |
2026-07-23T12:42:15.780744 |
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| 1031 |
Théorème de Cantor sur l'unicité des coefficients d'une série trigonométrique |
On démontre le théorème suivant, dû à Georg Cantor : si $(c_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ est une suite de nombres complexes telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx}$ existe et vaut $0$, alors $c_n = 0$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. |
2026-07-23T12:42:15.780765 |
2026-07-23T12:42:15.780766 |
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| 1032 |
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein |
On démontre d'abord le théorème de Berstein: Toute fonction continue sur l'intervalle $[0,1]$ est limite uniforme de sa suite de polynômes de Bernstein.\r\rOn en déduit le théorème de Weierstrass. |
2026-07-23T12:42:15.780780 |
2026-07-23T12:42:15.780780 |
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| 1033 |
Injectivité de la transformée de Fourier |
On démontre que l'application F : L^1 -> L^1 est injective en calculant la transformée de la gaussienne (via le théorème de Cauchy des fonctions holomorphes et le théorème de convergence dominée), en utilisant le théorème d'approximation de l'unité dans L^1 et quelques propriétés (relativement faciles) de la transformée de Fourier. |
2026-07-23T12:42:15.780799 |
2026-07-23T12:42:15.780799 |
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| 1034 |
Théorème chinois et applications |
Démonstration du théorème chinois dans le cadre d'un anneau principal et exemples de résolution dans deux anneaux différents |
2026-07-23T12:42:15.780809 |
2026-07-23T12:42:15.780810 |
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| 1035 |
Générateurs de O(E) et SO(E) |
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2026-07-23T12:42:15.780816 |
2026-07-23T12:42:15.780816 |
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| 1036 |
Isométries du cube |
Isomorphismes de groupes pour le groupe des isométries positives du cube puis pour le groupe des isométries du cube. |
2026-07-23T12:42:15.780826 |
2026-07-23T12:42:15.780826 |
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| 1037 |
Corps des nombres algébriques |
Démonstration du fait que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps et de ses propriétés. |
2026-07-23T12:42:15.780836 |
2026-07-23T12:42:15.780837 |
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| 1038 |
Métrique pour la convergence en proba |
Détermination d'une distance pour la convergence en probabilités, et démonstration du fait que $L^0$ muni de cette métrique est complet. |
2026-07-23T12:42:15.780848 |
2026-07-23T12:42:15.780848 |
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| 1039 |
Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues |
Démonstration du théorème de prolongement des fonctions uniformément continues et application dans le cadre des applications linéaires continues sur un espace vectoriel normé. |
2026-07-23T12:42:15.780861 |
2026-07-23T12:42:15.780861 |
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| 1040 |
Contre-exemple au théorème de Dirichlet |
On montre l'importance de l'hypothèse $C^1$ par morceaux par un contre-exemple |
2026-07-23T12:42:15.780871 |
2026-07-23T12:42:15.780871 |
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| 1041 |
Étude relative à la fonction Zeta |
Développement eulérien de la fonction ζ et application à la divergence de la série des nombres premiers. |
2026-07-23T12:42:15.780881 |
2026-07-23T12:42:15.780882 |
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| 1042 |
Connexité et non connexité par arcs |
Exemple de partie connexe non connexe par arcs. |
2026-07-23T12:42:15.780890 |
2026-07-23T12:42:15.780890 |
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| 1043 |
Théorèmes de Cauchy-Lipschitz |
Démonstrations du théorème de Cauchy-Lipschitz global et du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, avec des méthodes tout à fait similaires. \r\rOn fera l'un ou l'autre selon la leçon. |
2026-07-23T12:42:15.780904 |
2026-07-23T12:42:15.780904 |
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| 1044 |
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier |
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2026-07-23T12:42:15.780912 |
2026-07-23T12:42:15.780912 |
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| 1045 |
Transformée de Fourier de la gaussienne complexe |
On calcule la transformée de Fourier de la gaussienne complexe, puis grâce à un lemme intermédiaire on prouve SIMULTANEMENT la méthode la Laplace et celle de la phase stationnaire (méthodes d'approximation d'intégrales). Très joli développement! |
2026-07-23T12:42:15.780928 |
2026-07-23T12:42:15.780928 |
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| 1046 |
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier) |
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2026-07-23T12:42:15.780935 |
2026-07-23T12:42:15.780935 |
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| 1047 |
Théorème de Korovkin |
Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (Pn) une suite d'opérateurs linéaires positifs (en) de C([a, b]) dans C([a, b]).\rSi Pn(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales f0(x) = 1, f1(x) = x et f2(x) = x^2, alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b])\r\rApplication : Permet de démontrer le Théorème de Weiertrass avec les polynomes de Bernstein ou même le thèorème de Féjèr en l'adaptant aux fonctions 2PI périodiques (il faut alors prendre f1(x)=cos(x) et f2(x)= sin(x) et le noyau de Féjèr peut être vu comme la suite d'opérateurs linéaires positifs\r |
2026-07-23T12:42:15.780964 |
2026-07-23T12:42:15.780964 |
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| 1048 |
Localisation des valeurs propres |
Disque de Gershgorin\rApplication à la localisation des racines d un polynôme de C[X] |
2026-07-23T12:42:15.780974 |
2026-07-23T12:42:15.780974 |
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| 1049 |
Développement en série entière de la solution de y''+py'+qy=0 |
zuilly-quéfellec 403 |
2026-07-23T12:42:15.780984 |
2026-07-23T12:42:15.780985 |
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| 1050 |
Calcul d'intégral par la méthode de la quadrature de Gauss |
Ref : Carnet de voyage en Analystan [Caldero, Perronier, etc..]\rCalcul exact d'intégral de polynome de degré 2n-1 avec une somme d'évaluation en n points |
2026-07-23T12:42:15.780999 |
2026-07-23T12:42:15.780999 |
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| 1051 |
Somme du déterminant de matrices symétriques positives (inégalité de Minkowski) |
$\det(A+B)^{1/n}> \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$ où $A$ et $B$ sont deux matrices symétriques définies positives d'ordre $n$.\r |
2026-07-23T12:42:15.781013 |
2026-07-23T12:42:15.781013 |
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| 1052 |
Complétude de l'espace l1(R) en fonction du choix de la norme |
Réf : Gostiaux. Cours de mathématiques spéciales. Tome 2 : topologie, analyse réelle. P183\r\rL'espace l1(R) est complet pour la norme 1 mais il ne l'est pas pour la norme 2 et la norme infinie. |
2026-07-23T12:42:15.781029 |
2026-07-23T12:42:15.781029 |
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| 1053 |
Théorèmes de point fixe dans un espace compact |
Thm 1 avec K espace métrique compact non vide\rThm2 avec K compact convexe \r\r\rMadère p45\rOu\rGourdon p34 et 52 |
2026-07-23T12:42:15.781040 |
2026-07-23T12:42:15.781040 |
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| 1055 |
D'Alembert Gauss (avec des extension de corps) |
Belle preuve du fait que C soit algébriquement clos.\r\r\rRef: Algèbre: le grand combat, Berhuy |
2026-07-23T12:42:15.781052 |
2026-07-23T12:42:15.781052 |
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| 1056 |
Fonction Gamma |
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2026-07-23T12:42:15.781058 |
2026-07-23T12:42:15.781058 |
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| 1058 |
Résolution d'une EDO d'ordre 2 avec des séries entières |
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2026-07-23T12:42:15.781066 |
2026-07-23T12:42:15.781066 |
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| 1059 |
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz |
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2026-07-23T12:42:15.781073 |
2026-07-23T12:42:15.781073 |
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| 1061 |
Loi de réciprocité quadratique (par les sommes de Gauss) |
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2026-07-23T12:42:15.781080 |
2026-07-23T12:42:15.781080 |
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| 1063 |
Lucie Conchon [titre ??] |
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2026-07-23T12:42:15.781086 |
2026-07-23T12:42:15.781086 |
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| 1067 |
résolution d'un pb aux limites en dim 1 par méthode de tir |
résolution d'un pb aux limites en dim 1 que l'on ramène a un pb de Cauchy \r\rRef: p 108-110 Hubert Hubbard \"Calcul scientifique de la théorie à la pratique\" |
2026-07-23T12:42:15.781101 |
2026-07-23T12:42:15.781101 |
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| 1069 |
Inégalités dans les Lp |
On montre que la norme Lp est une norme en montrant successivement les inégalités de Young, Hölder et Minkowski. |
2026-07-23T12:42:15.781111 |
2026-07-23T12:42:15.781111 |
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| 1070 |
Résolution d'une EDL avec les séries entières |
Dantzer |
2026-07-23T12:42:15.781119 |
2026-07-23T12:42:15.781120 |
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| 1071 |
Déterminant de Cauchy par deux méthodes |
Soient $(\alpha_1,…,\alpha_n), (\beta_1,…,\beta_n) \in \mathbb{C^n}$ tels que $a_i+b_j \eq 0, \forall i,j$ . \r\rAlors : \r\r$$\r\det(\dfrac{1}{\alpha_i+\beta_j}) = \dfrac{\Pi_{i<j}(\alpha_j-\alpha_i)(\beta_j-\beta_i)}{\Pi_{i,j}(\alpha_i+\beta_j)}\r$$\r\r\rOn fait \r1. par récurrence et bidouille sur la matrice\r2. Méthode similaire à Vandermonde avec des fractions rationnelles |
2026-07-23T12:42:15.781152 |
2026-07-23T12:42:15.781152 |
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| 1072 |
Inégalité de Carleman |
Soit $\Sigma a_n$ une série convergente à termes positifs. Alors on a :\r$$\r\Sigma_{n=1}^{+\infty} (a_1...a_n)^{1/n} \leq e \Sigma_{n=1}^{+\infty} a_n\r$$\rEt $e$ est la meilleure constante réalisant cette inégalité. \r\rOn peut ajouter éventuellement l'inégalité arithmético-géométrique. \r\rFGN analyse 1 p208 |
2026-07-23T12:42:15.781175 |
2026-07-23T12:42:15.781175 |
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| 1075 |
Endomorphismes conservant le déterminant |
Si K est un corps de cardinal assez grand, les endomorphismes de Mn(K) dans Mn(K) conservant le déterminant conservent le rang.\r\r\r\rutilise fortement la réduction de Gauss |
2026-07-23T12:42:15.781211 |
2026-07-23T12:42:15.781211 |
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| 1076 |
Critère de Klarès |
Soit $k$ corps algébriquement clos, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie, et $u$ un endomorphisme de $E$, on définit $ad_u : L(E)\rightarrow L(E)$ par $ad_u(v)=uv-vu$. \rAlors $u$ est diagonalisable si et seulement si $\ker ad_u =\ker ad^2_u$.\r\rRéférence : Mansuy et Mneimné \r\rPré-requis : Réduction des nilpotents (lemme des noyaux itérés)\r |
2026-07-23T12:42:15.781231 |
2026-07-23T12:42:15.781231 |
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| 1077 |
Diagonalisation des endomorphismes normaux |
Gourdon |
2026-07-23T12:42:15.781239 |
2026-07-23T12:42:15.781239 |
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| 1078 |
Equation de Laplace dans un rectangle |
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2026-07-23T12:42:15.781246 |
2026-07-23T12:42:15.781246 |
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| 1079 |
Théorème de Poincaré-Bendixson |
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2026-07-23T12:42:15.781252 |
2026-07-23T12:42:15.781252 |
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| 1080 |
Théorème de Jordan |
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2026-07-23T12:42:15.781258 |
2026-07-23T12:42:15.781258 |
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| 1081 |
Théorème de Kakutani. Application aux ss-gp compacts de GLn(R) ou à l'existence d'une mesure de Haar |
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2026-07-23T12:42:15.781267 |
2026-07-23T12:42:15.781267 |
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| 1082 |
Exemple d'équations diophantiennes |
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers.\r\rL'équation $x^2 + 5y^2=p$ admet une solution si, et seulement si, $p=5$ ou $p \equiv 1,9 \pmod{20}$.\r\rL'équation $2x^2 + 2xy + 3y^2=q$ admet une solution si, et seulement si $p \equiv 3,7 \pmod{20}$. |
2026-07-23T12:42:15.781287 |
2026-07-23T12:42:15.781287 |
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| 1083 |
Marche aléatoire simple sur Z |
Fait proprement dans aucun bouquin\r |
2026-07-23T12:42:15.781295 |
2026-07-23T12:42:15.781295 |
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| 1084 |
Convergence du schéma d'Euler explicite |
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2026-07-23T12:42:15.781302 |
2026-07-23T12:42:15.781302 |
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| 1085 |
Nombre de solutions d'une équation |
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2026-07-23T12:42:15.781309 |
2026-07-23T12:42:15.781309 |
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| 1086 |
Nombre de points fixes d'une permutation aléatoire |
Soit X le nombre de points fixes d'une permutation tirée aléatoirement dans Sn. On montre grâce à la formule de Burnside que l'espérance et la variance de X valent 1.\rOn exhibe de plus une bijection entre Sn et l'ensemble des points fixes. |
2026-07-23T12:42:15.781326 |
2026-07-23T12:42:15.781327 |
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| 1087 |
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester |
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2026-07-23T12:42:15.781333 |
2026-07-23T12:42:15.781334 |
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| 1088 |
Etude de la fonction Zeta de Riemann |
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2026-07-23T12:42:15.781340 |
2026-07-23T12:42:15.781340 |
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| 1089 |
Une équation de Mordell |
On montre que les solutions de l'équation diophantienne :\r$$y^2=x^3-2$$\rsont (3,5) et (3,-5)\r\r\r |
2026-07-23T12:42:15.781352 |
2026-07-23T12:42:15.781352 |
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| 1090 |
Étude de l'équation x' = x^2 - t |
Nous montrons qu'il existe une unique solution équivalente à $\sqrt{t}$ en $+\infty$, et que toutes celles inférieures sont définies jusqu'à $+\infty$ et équivalentes à $-\sqrt{t}$.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.781383 |
2026-07-23T12:42:15.781384 |
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| 1091 |
Lois de Kepler |
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2026-07-23T12:42:15.781390 |
2026-07-23T12:42:15.781390 |
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| 1094 |
Théorème Carathéordory + enveloppe convexe d'un compact |
Démo théo Carathéodory + cor enveloppe convexe compact est compacte. |
2026-07-23T12:42:15.781400 |
2026-07-23T12:42:15.781400 |
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| 1095 |
Log concavité et minkowski |
utilisation de la concavité pour montrer l'inegalité de Young\rdémonstration de Hölder\rdémonstration de Minkowski\r\r(un peu court) |
2026-07-23T12:42:15.781413 |
2026-07-23T12:42:15.781413 |
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| 1096 |
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace |
Soit A une matrice à coefficients complexes.\r\rTr(A^k)=0 pour tout k entre 1 et n si et seulement si A est nilpotente\r\r |
2026-07-23T12:42:15.781424 |
2026-07-23T12:42:15.781425 |
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| 1097 |
Théorème de Cauchy pour les groupes |
Démonstration du théorème de cauchy pour les groupes (par permutation circulaire)\r\rRombaldi p25 + corollaire1. 50 page 23\r\rSi il y a du temps on peut faire une application : exercice 1.11 page 35 (rombaldi) |
2026-07-23T12:42:15.781438 |
2026-07-23T12:42:15.781439 |
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| 1098 |
Critère de Kalmann |
Nécessite d'avoir vu un peu de théorie du contrôle des équa diff. \rOriginal, et se recase bien en EDO/EDL et en algèbre linéaire.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.781451 |
2026-07-23T12:42:15.781451 |
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| 1099 |
Involutions alternantes |
Une très belle démonstration de la formule du Crible par une méthode de comptage par involutions.\rC'est tiré d'un DM d'un prof de LLG, mais c'est introuvable dans la littérature. |
2026-07-23T12:42:15.781466 |
2026-07-23T12:42:15.781466 |
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| 1100 |
Théorème du point fixe de Markov-Kakutani |
Un développement assez original qui parle d'Ascoli et de convexité. |
2026-07-23T12:42:15.781476 |
2026-07-23T12:42:15.781476 |
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| 1101 |
Récurrence et transience de la Marche aléatoire simple sur Z, Z^2 et Z^3 |
Joli développement pour la leçon sur les séries.\rIl nécessite cependant d'avoir de bonnes connaissances sur les chaînes de Markov (niveau M1 au moins).\r |
2026-07-23T12:42:15.781490 |
2026-07-23T12:42:15.781490 |
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| 1102 |
Convergence p.s. des sous-martingales bornées dans L1 |
Développement difficile, mais qui permet de faire quelque chose de différent pour la leçon sur les suites, notamment. Il faut avoir suivi un cours de probas en M1. |
2026-07-23T12:42:15.781501 |
2026-07-23T12:42:15.781501 |
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| 1103 |
Problème de Dirichlet sur H^1_0 en dimension d |
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2026-07-23T12:42:15.781508 |
2026-07-23T12:42:15.781508 |
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| 1104 |
Décomposition de Bruhat |
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2026-07-23T12:42:15.781515 |
2026-07-23T12:42:15.781515 |
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| 1105 |
Théorèmes de Hahn-Banach en dimension finie |
Après un lemme technique sur la jauge d'un convexe, on démontre le théorème de Hahn-Banach analytique puis le théorème de Hahn-Banach géométrique (à adapter en fonction des leçons). \rOn se retreint à la dimension finie, c'est déjà largement assez long. |
2026-07-23T12:42:15.781531 |
2026-07-23T12:42:15.781531 |
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| 1106 |
Théorème de Radon Nikodym |
Un peu surpris de ne pas l'avoir trouvé ici !\rL'agreg manque vraiment trop de théorie de la mesure :(\r\r\r |
2026-07-23T12:42:15.781542 |
2026-07-23T12:42:15.781543 |
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| 1107 |
Théorèmes de Sylow (Version de Wielandt) |
Une preuve originale des théorèmes de Sylow, qui utilise beaucoup les actions de groupes. |
2026-07-23T12:42:15.781552 |
2026-07-23T12:42:15.781552 |
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| 1108 |
Des groupes bien mélangés par leurs automorphismes |
Siot $G$ est un groupe, on note Aut($G$) le groupe des automorphisme de G et soit p un nombre premier qui divise le cardinal de $G$.\rSi Aut($G$) agit transitivement sur $G$\{e} alors il existe un entier naturel n tel que card(G)=p^n et G est isomorphe à $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ |
2026-07-23T12:42:15.781570 |
2026-07-23T12:42:15.781570 |
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| 1109 |
Solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire |
Soit $\omega \in \mathbb{R}$. On s'intéresse à l'équation (E) : $xy''+2y'-\omega^2 xy=0$.\r1. Les solutions globales de (E) sont de la forme $y(x)=\frac{\lambda \text{sh} (\omega x)}{x} ,\mu \in \mathbb{R}$. \r2. Sur $\mathbb{R}_+^\ast$ ou $\mathbb{R}_-^\ast$ les solutions de (E) sont de la forme $y(x)=\frac{1}{x}\big(\lambda \text{sh} (\omega x) + \mu \text{ch} (\omega x)\big)$, avec $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$. |
2026-07-23T12:42:15.781609 |
2026-07-23T12:42:15.781609 |
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| 1110 |
Prolongement d'une norme définie sur Z^2 |
Soit N une norme de Z^2 dans l'ensemble des entiers naturels. \rAlors N se prolonge de façon unique en une norme sur R^2\r |
2026-07-23T12:42:15.781622 |
2026-07-23T12:42:15.781622 |
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| 1111 |
Réduction des isométries |
Soit $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie. Alors il existe une b.o.n. $B$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ à la forme par blocs... \r\rSi $E$ est hermitien etc version matricielle: l'orbite de $U$ pour l'action de $\mathcal{U}_n$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ contient une matrice diagonale dont les éléments sont de module 1. \r\r\rGourdon Algèbre 3eme éd p268\r\rJe compléterais très bientôt |
2026-07-23T12:42:15.781645 |
2026-07-23T12:42:15.781646 |
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| 1113 |
Utilisation de la notion de compacité. |
c'est un exercice utilisant la notion de compacité.\rSoit ∑aᵢ une série numérique absolument convergente. Pour une partie χ de ℕ, on pose: Sᵪ=∑aᵢ où i parcourt χ.\r Alors l'ensemble S={Sᵪ , χ partie de ℕ} est une partie compacte de ℝ. |
2026-07-23T12:42:15.781661 |
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| 1114 |
L'équation de la chaleur par les séries de Fourier |
Soit $u_0\in L^2([0;1])$ et $(d_n = c_n(u_0))_{n\in\mathbf{Z}}$ la suite de ses coefficients de Fourier.\rAlors: il existe une unique fonction $u\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R};\mathbf{R})$ telle que:\r(1) Pour tout $t\in\mathbf{R}_+^*$, $u(t;.)$ est $2\pi$-périodique.\r(2) $\partial_t u$ et $\Delta_x u$ sont bien définies et continues sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$.\r(3) $\partial_t u = \Delta_x u$ sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$ (équation de la chaleur).\r(4) $u(t;.)$ tend en norme $L^2$ vers $u_0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ |
2026-07-23T12:42:15.781700 |
2026-07-23T12:42:15.781700 |
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| 1115 |
Théorème de Fourier-Plancherel (via les espaces de Schwarz) |
Soit $\mathcal{P}:^{\mathcal{S}(\mathbf{R})\to L^2(\mathbf{R})}_{f\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}(f)}$.\rAlors: $\mathcal{P}$ est bien définie et il existe un unique prolongement isomorphique, isométrique de $\mathcal{P}$ à $L^2(\mathbf{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.781721 |
2026-07-23T12:42:15.781722 |
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| 1116 |
Théorème d'Hadamard Lévy par le flot |
Soit $f\in\mathcal{C}^2(\mathbf{R}^n;\mathbf{R}^n)$.\rAlors: $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ si et seulement si $f$ est propre (i.e. pour tout compact $K$ dans $\mathbf{R}^n$, $f^{-1}(K)$ est compact) et $\forall x\in\mathbf{R}^n, d_xf\in GL(\mathbf{R}^n)$. |
2026-07-23T12:42:15.781744 |
2026-07-23T12:42:15.781744 |
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| 1117 |
Inégalité de Hoeffding et deux applications |
Lemme: Soit $X$ variable aléatoire réelle, bornée presque sûrement par 1, centrée.\rAlors: $\forall t\in\mathbf{R}, \mathbf{E}[exp(tX)]\leq exp(\frac{t^2}{2})$.\r\rThéorème: (inégalité de Hoeffding) Soit $(X_n)_{n\in\mathbf{N}}$ suite de variables aléatoires réelles indépendantes, centrées, presque sûrement bornées: $\forall n\in\mathbf{N}, \exists c_n>0\ | X_n| \leq c_n$. Soit $(S_n = \sum ^n_{j=1} X_j)_{n\in\mathbf{N}}$.\rAlors: $\forall n\in\mathbf{N}, \forall \epsilon >0, \mathbf{P}(| S_n| > \epsilon)\leq 2exp(-\frac{\epsilon^2}{2\sum^n_{j=1} c_j^2})$.\r\rApplication n°1: Soit $(X_i)_{i=1}^n$ variables aléatoires iid de loi $\mathcal{B}(1;p)$ avec $p\in ]0;1[$, soit $\alpha\in ]0;1[$.\rAlors: un intervalle de confiance par excès de niveau $1-\alpha$ du paramètre $p$ est: $[\frac{1}{n}S_n-\sqrt{\frac{2}{n}ln(\frac{2}{\alpha})} ; \frac{1}{n}S_n+\sqrt{\frac{2}{n}ln(\frac{2}{\alpha})}]$.\r\rApplication n°2: Soit $\alpha\in\mathbf{R}^*_+$ et $\beta\in\mathbf{R}^*_+$ tels que: $\forall n\in\mathbf{N}, \sum ^n_{k=1} c_k^2\leq n^{2\alpha - \beta}$.\rAlors: $(\frac{S_n}{n^\alpha})$ tend presque sûrement vers $0$. |
2026-07-23T12:42:15.781817 |
2026-07-23T12:42:15.781817 |
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| 1118 |
Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple |
Théorème: Soit $I\subset{\mathbf{R}}$ intervalle, $\rho$ fonction poids telle que: $\exists a>0, \int_I e^{a|x|} \rho(x) dx < \infty$.\rAlors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $\rho$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ forme une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$.\r\rContrexemple: L'hypothèse sur $\rho$ est vitale.\rSoit $w: ^{\mathbf{R}^*_+ \to \mathbf{R}}_{x \mapsto x^{-ln(x)}}$.\rAlors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $w$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ ne forme pas une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$. |
2026-07-23T12:42:15.781852 |
2026-07-23T12:42:15.781853 |
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| 1119 |
Calcul des intégrales de Fresnel |
Les intégrales de Fresnel: $\int ^{+\infty}_0 sin(t^2) dt$ et $\int ^{+\infty}_0 cos(t^2) dt$ convergent et valent $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}$. |
2026-07-23T12:42:15.781868 |
2026-07-23T12:42:15.781869 |
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| 1120 |
Théorèmes de Choquet et de Birkhoff |
Théorème: (de Choquet) Soit $E$ un espace euclidien, $K\subset{E}$ convexe, compact tel que $\epsilon (K)$, l'ensemble de ses points extrémaux, soit compact. Soit $l: E \to \mathbf{R}$ fonction linéaire, continue sur $E$.\rAlors: $l$ atteint un minimum sur $K$ en un point extrémal de $K$.\r\rThéorème: (de Birkhoff) Soit $n\in\mathbf{N}^*$ et $B_n = \{A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n([0;1]) | \forall i,j\in [[1;n]], \sum ^n_{i=1} a_{i,j} = \sum ^n_{j=1} a_{i,j} = 1 \}$.\rAlors: les points extrémaux de $B_n$ sont les matrices de permutation. |
2026-07-23T12:42:15.781900 |
2026-07-23T12:42:15.781900 |
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| 1121 |
Marche aléatoire sur [0;1] |
Soit $p\in ]0;1[$, $(\xi _n)_{n\in\mathbf{N}}$ suite de variables aléatoires de même loi $\mathcal{B}(1;p)$, $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ variables aléatoires de même loi $\mathcal{U}([0;1])$ telles que toutes les variables aléatoires introduites sont indépendantes. Soit $X_0 \in [0;1]$ et $\forall n\in\mathbf{N}, X_{n+1} = U_n X_n+\xi _n(1-U_n)$.\rAlors: la suite $(X_n)$ tend en loi vers une variable aléatoire de loi $\beta(p;1-p)$. |
2026-07-23T12:42:15.781927 |
2026-07-23T12:42:15.781927 |
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| 1122 |
Théorème de Liapounov par les formes quadratiques |
Soit $f: \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0)=0$ et $d_0f$ a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négatives.\rAlors: 0 est point d'équilibre stable du système $y'=f(y), y(0)=y_0\in\mathbf{R}^n$ i.e. pour tout $y_0\in\mathbf{R}^n$ suffisamment proche de 0, la solution maximale du problème précédent $y$ est bien définie sur $\mathbf{R}_+$ et tend exponentiellement vite vers $0$ en $\infty$. |
2026-07-23T12:42:15.781954 |
2026-07-23T12:42:15.781954 |
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| 1123 |
Forme normale de Smith |
Soit $\mathbf{A}$ anneau euclidien, $\delta$ un stathme sur $\mathbf{A}$, $m,n\in\mathbf{N}^*$ et $M\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{A})$.\rAlors: $\exists P,Q\in GL_m(\mathbf{A})\times GL_n(\mathbf{A})$ telles que: \r\r\[\r PMQ = \r \begin{bmatrix}\r f_{1} & & & & &\\\r & \ddots & & & & \\\r & & f_{r} & & & \\\r & & & 0 & & \\\r & & & & \ddots & \\\r & & & & & 0\r \end{bmatrix}\r\]\r\ravec $f_1;...;f_r\in\mathbf{A}$ tels que: $f_1|...|f_r$ uniques modulo les inversibles de $\mathbf{A}$. |
2026-07-23T12:42:15.781996 |
2026-07-23T12:42:15.781996 |
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| 1124 |
Théorème de Dixon |
Théorème: (de Dixon) Soit $G$ groupe non-abélien fini et $p(G)$ la probabilité pour que deux éléments de $G$ tirés uniformément et indépendemment commutent.\rAlors: $p(G)\leq \frac{5}{8}$.\r\rApplication: Soit $\mathbf{D}_8$ groupe diédral à 8 éléments.\rAlors: $p(\mathbf{D}_8) = \frac{5}{8}$. |
2026-07-23T12:42:15.782014 |
2026-07-23T12:42:15.782015 |
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| 1125 |
Étude des polynômes cyclotomiques (coefficients entiers, unitaire et irréductible sur Z) |
Soit $n\in\mathbf{N}^*$.\rAlors: $\Phi_n$, le $n$-ième polynôme cyclotomique, est à coefficients entiers, unitaire et est irréductible sur $\mathbf{Z}$. |
2026-07-23T12:42:15.782031 |
2026-07-23T12:42:15.782031 |
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| 1126 |
Décompositions LU et de Cholesky |
Théorème: (décomposition LU) Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ telle que: $\forall k\in [[1;n]]$\r\r\[\r \Delta^k := \r \begin{bmatrix}\r a_{1,1} \dots a_{1,k}\\\r \ddots \\\r a_{k,1} \dots a_{k,k}\r \end{bmatrix} \in GL_k(\mathbf{K}).\r\]\rAlors: $\exists ! L,U\in GL_n(\mathbf{K})$ telles que: $A=LU$ avec $L$ triangulaire inférieure avec des 1 sur sa diagonale et $U$ triangulaire supérieure.\r\r\rThéorème: (décomposition de Cholesky) Soit $A\in S^{++}_n(\mathbf{R})$.\rAlors: $\exists ! B\in GL_n(\mathbf{R})$ telle que $A=BB^*$ avec $B$ triangulaire inférieure à diagonale positive. |
2026-07-23T12:42:15.782084 |
2026-07-23T12:42:15.782084 |
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| 1130 |
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien |
Lemme: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.\rAlors: il existe des sous-espaces vectoriels de $E$: $P_1;...;P_r$ de dimensions 1 ou 2, deux à deux orthogonaux, stables par $u$ tels que: $E = \bigoplus ^r_{j=1} P_j$.\r\rThéorème: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.\rAlors: il existe une base orthonormée $\mathcal{B}$ de $E$ telle que: \r\r\[\r \mathcal{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \r \begin{bmatrix}\r D_p & & &\\\r & R_1 & & \\\r & & \ddots & \\\r & & & R_r\r \end{bmatrix} \r\]\ravec $D_p$ matrice diagonale, et pour tout $k\in[[1;r]],$\r\[\r R_k = \r \begin{bmatrix}\r a_k & -b_k\\\r b_k & a_k\r \end{bmatrix} \r\]\rtel que $b_k \eq 0$ et $p+2r = n$. |
2026-07-23T12:42:15.782132 |
2026-07-23T12:42:15.782132 |
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| 1131 |
Critères de convergence pour les méthodes itératives (cas des matrices hermitiennes) |
[Note des modérateurs : pour le développement sans les matrices hermitiennes voir : https://agreg-maths.fr/developpements/104 ]\r\rThéorème: Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$, soit $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$ et $(x_k)_{k\in\mathbf{N}}$ une méthode itérative basée sur $(M;N)$.\rAlors: $(x_k)$ converge si et seulement si $\rho (M^{-1}N)<1$.\r\rThéorème: Soit $A\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$.\rAlors: $(M^*+N)\in H_n(\mathbf{C})$.\rSi de plus, $(M^*+N)\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, alors: $\rho (M^{-1}N)<1$. |
2026-07-23T12:42:15.782181 |
2026-07-23T12:42:15.782181 |
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| 1132 |
Courbure de noeuds |
Théorème (Fary-Milnor) : Tout noeud $C^2$ non trivial (ie non isotope à un cercle) a une courbure au moins 4pi. |
2026-07-23T12:42:15.782190 |
2026-07-23T12:42:15.782191 |
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| 1133 |
Théorème des nombres premiers (version faible via la formule de Stirling) |
Utilisation du théorème de Stirling pour démontrer une version faible du théorème des nombres premiers : $\pi(n) = \Theta(n \ln(n))$ où $\pi(n)$ désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. |
2026-07-23T12:42:15.782207 |
2026-07-23T12:42:15.782208 |
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| 1134 |
Statistiques d'ordres |
Soient $X_1 , \dots , X_n$ des variables aléatoires réelles, définies sur le même espace probabilisé $\Omega$, iid de densité $f$ et de fonction de répartition $F$.\\\rSoit $\sigma$ la variable aléatoire sur $\mathfrak{S}_n$ telle que, $\forall \omega \in \Omega$: \r\[ X_{(1)}(\omega)= X_{\sigma(\omega)(1)}(\omega) < \dots < X_{(n)}(\omega)= X_{\sigma(\omega)(n)}(\omega). \]\r\rAlors $\sigma$ est bien définie et pour tout $i \in \{ 1 , \dots , n \}$, $X_{(i)}$ à pour densité $i {n \choose i} f (F)^{i-1}(1-F)^{n-i}.$ |
2026-07-23T12:42:15.782246 |
2026-07-23T12:42:15.782246 |
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| 1135 |
Fonction Bêta et volume de l'hyperboule |
Montrer que \(\forall a,b\in\mathbb{R}_+^*, \ B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) puis que \(\mathrm{Vol}(B_n)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\) où \(B_n\) est la boule unité euclidienne de \(\mathbb{R}^n\). |
2026-07-23T12:42:15.782273 |
2026-07-23T12:42:15.782273 |
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| 1136 |
Fonction zeta et nombres premiers |
Gourdon analyse et Rombaldi (exos et pb corrigés) |
2026-07-23T12:42:15.782281 |
2026-07-23T12:42:15.782282 |
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| 1137 |
Action à gauche de GLm(K) sur Mnm(K) |
On étudie l'action à gauche de $\mathrm{GL}_m(K)$ sur $\mathcal{M}_{n,m}(K)$ par translation. On y montre que le noyau est un invariant total pour cette action puis que les matrices échelonnées réduites forment une famille de représentant pour cette action. |
2026-07-23T12:42:15.782297 |
2026-07-23T12:42:15.782298 |
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| 1138 |
Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C) |
L'objectif est de montrer que les groupes $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ et $\mathrm{SO}_3(\mathbb{C})$ sont isomorphes. On aura besoin pour cela tantôt d'algèbre (action par conjugaison, classification des formes quadratiques sur $\mathbb{C}$) et tantôt de l'analyse (inversion locale sur des sous-variétés, espaces tangents...). |
2026-07-23T12:42:15.782318 |
2026-07-23T12:42:15.782318 |
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| 1139 |
Étude des fonctions elliptiques de Weierstrass |
On fixe $\Lambda$ un réseau de $\mathbb{C}$. Alors la fonction\r\r$$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \left( \frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right)$$\r\rest une fonction holomorphe sur $\mathbb{C} \setminus \Lambda$ et vérifie l'équation fonctionnelle\r\r$$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3$$\r\ravec $g_2 = 60 \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \frac{1}{\omega^4}$ et $g_4 = 140 \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \frac{1}{\omega^6}$. |
2026-07-23T12:42:15.782367 |
2026-07-23T12:42:15.782368 |
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| 1140 |
Cardinal de SO2(Z/pZ) |
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2026-07-23T12:42:15.782374 |
2026-07-23T12:42:15.782374 |
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| 1141 |
Théorème fondamental de l’algèbre |
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2026-07-23T12:42:15.782381 |
2026-07-23T12:42:15.782381 |
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| 1142 |
Centre d’un p-groupe |
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2026-07-23T12:42:15.782387 |
2026-07-23T12:42:15.782387 |
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| 1143 |
Arithmétique dans l'anneau des fonctions entières |
On montre que, bien que l'anneau $\mathcal{H}(\mathbb{C})$ n'est pas factoriel, il est quand même à PGCD. Cela utilise le théorème sur les produits de Weierstrass (voir par exemple Analyse réelle et complexe de W.Rudin). Pour la 245 on insiste plus sur la preuve du théorème de Weierstrass, pour la 142 on insiste sur la partie \"arithmétique\" (caractérisation de la divisibilité en terme de valuation). |
2026-07-23T12:42:15.782410 |
2026-07-23T12:42:15.782410 |
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| 1144 |
Endomorphismes continus commutant avec la dérivation |
Soit $E = C^0([-\pi, \pi], \mathbb{R})$ et $T \in \mathcal{L}_c(E)$ stabilisant le sous espace $F = C^1([-\pi,\pi], \mathbb{R})$. On suppose que l'endomorphisme induit par $T$ sur $F$ commute avec la dérivation $f \mapsto f'$. Alors $T$ est une homothétie. |
2026-07-23T12:42:15.782430 |
2026-07-23T12:42:15.782431 |
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| 1145 |
Nullstellensatz quadratique |
Soient $q$ et $q'$ deux formes quadratiques non dégénérées sur un $\mathbb{K}$-ev $E$ de dimension finie ($\mathbb{K}$ est de caractéristique $\eq 2$). On suppose qu'il existe $u$ non nul dans $C_q$. Alors $C_q = C_{q'}$ si et seulement si $q$ et $q'$ sont proportionnelles. |
2026-07-23T12:42:15.782448 |
2026-07-23T12:42:15.782448 |
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| 1146 |
Décomposition polaire pour O(p,q) |
On note $O(p,q)$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ des isométries pour la forme quadratique $$q(x)=x_1^2+ \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2$$ c'est-à-dire le stabilisateur de $I_{p,q}=Diag(I_p, -I_q)$. \rSi $p, q \geqslant 1$, on a un homéomorphisme entre $O(p,q)$ et $O(p) \times O(q) \times \mathbf{R}^{pq}$. |
2026-07-23T12:42:15.782470 |
2026-07-23T12:42:15.782470 |
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| 1147 |
Solution élémentaire à l'équation de Schrödinger |
L'équation de Schrödinger possède une solution élémentaire tempérée à support dans $\{t \geqslant 0\}$, il s'agit de la distribution $E$ définie par: \r\r$$\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n), E(\varphi) = e^{-in\pi/4} \int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n}^{} e^{i||x||^2/4t} \varphi(t,x) \mathrm{d}x \mathrm{d}t$$ |
2026-07-23T12:42:15.782501 |
2026-07-23T12:42:15.782501 |
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| 1148 |
Dérangements d'un ensemble fini |
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2026-07-23T12:42:15.782508 |
2026-07-23T12:42:15.782509 |
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| 1149 |
Probabilité que deux éléments commutent dans groupe |
On montre que la probabilité de tirer deux éléments qui commutent dans un groupe non abélien est toujours majoré par 5/8 et que l'on peut calculer explicitement cette probabilité en fonction du nombre de classes de conjugaisons et le cardinal du groupe\rOn applique alors ce résultats a un groupe de matrice sur un corps fini. |
2026-07-23T12:42:15.782527 |
2026-07-23T12:42:15.782527 |
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| 1150 |
Propriétés de l'anneau H(C) |
On montre que l'anneau H(C) est :\r- intègre\r- non noethérien\r- non factoriel\r\r(PDF à venir cet été) \r\rRéférence: Francinou, Gianella, exercices de mathématiques pour l'agrégation, ALGEBRE I. |
2026-07-23T12:42:15.782544 |
2026-07-23T12:42:15.782544 |
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| 1151 |
Minimisation d'une fonctionnelle quadratique |
On construit une suite qui converge vers le minimum de la fonctionnelle quadratique f(x)=1/2<Ax,x> + <b,X> où A matrice symétrique et b vecteur non nul |
2026-07-23T12:42:15.782556 |
2026-07-23T12:42:15.782556 |
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| 1153 |
Fonction caractéristique de la gaussienne par DSE |
Très gros calcul, pas la méthode la plus simple |
2026-07-23T12:42:15.782566 |
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| 1154 |
Calcul algébrique de la somme quadratique de Gauss |
On calcule, pour $n$ impair $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$)\rOn trouve : $$\tau_n = \left \{\begin{array}{cc}\r \sqrt n & \text{ si } n \equiv 1 \pmod 4 \\\r i \sqrt n & \text{ si } n \equiv 3 \pmod 4\r\end{array} \right.$$\rOn effectue ce calcul en exprimant la somme comme la trace de l'opérateur de transformée de Fourier sur $\mathbf Z/n\mathbf Z$ ; on calcule cette trace en diagonalisant l'opérateur. |
2026-07-23T12:42:15.782602 |
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| 1155 |
Théorème de simplicité d'Iwasawa |
Soit $G$ agissant sur $X$ (de cardinal au moins $2$) fidèlement et doublement transitivement (i.e. : l'action de $G$ sur $X\times X$ a deux orbites : la diagonale et le reste). On suppose :\r- $G$ est engendré par ses commutateurs ;\r- pour un $x\in X$, le stabilisateur $G_x$ contient $K$ abélien distingué dans $G_x$ tel que $\{gkg^{-1}, g \in G, k \in K\}$ engendre $G$. \rAlors $G$ est simple. |
2026-07-23T12:42:15.782626 |
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| 1156 |
Sous-groupe de Frattini d'un p-groupe |
Soit $G$ un $p$-groupe (non trivial) fini. Alors il existe un entier $n \ge 1$ tel que, pour toute famille $S \subset G$ engendrant $G$, on peut extraire une sous-famille finie génératrice $S' \subset S$ telle que $|S'|=n$. |
2026-07-23T12:42:15.782643 |
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| 1157 |
Indicateur de Frobenius-Schur |
Soit $\rho : G \to \text{GL}(V)$ une représentation irréductible. On montre l'équivalence entre :\r(i) $\chi=\text{tr}(\rho)$ est réel\r(ii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non nulle sur $V$\r(iii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non dégénérée sur $V$\r\rPuis, dans le cas où (i) est réalisé, on montre l'équivalence entre \r1) $\rho$ se réalise sur $\mathbf R$ (ie $\rho$ fixe un $\mathbf R$-espace vectoriel de dimension $\dim(V)$)\r2) $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle\r2') $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle\r3) $I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g^2)=1$. \r\rNB : il n'est pas possible de tout faire en 15 min |
2026-07-23T12:42:15.782685 |
2026-07-23T12:42:15.782685 |
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| 1158 |
Intégrale elliptique et longueur du lemniscate |
On note $M$ la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres ; alors, pour $u<v$ deux réels strictement positifs : \r$$I(u,v):= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{u^2\cos^2(\varphi) + v^2 \sin^2(\varphi)}} = \frac{\pi}{2M(u,v)}$$\r\rOn en déduit la longueur du lemniscate de Bernoulli, image par l'inversion de centre $0$ de rapport $1$ de l'hyperbole $\{x^2-y^2=1\}$ (d'équation en coordonnées polaires $r=\sqrt{\cos(2\theta)}$), qui vaut : \r$$\ell = \frac{2 \pi}{M(1, \sqrt 2)} $$\r\rPour poursuivre, on peut déterminer la vitesse de convergence des moyennes vers $M(a,b)$, et en déduire une estimation de l'erreur dans le calcul de la longueur du lemniscate. |
2026-07-23T12:42:15.782728 |
2026-07-23T12:42:15.782728 |
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| 1159 |
Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières |
Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y=Z$ ; alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson.\r |
2026-07-23T12:42:15.782744 |
2026-07-23T12:42:15.782744 |
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| 1160 |
Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss |
On calcule $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$)\rOn trouve : $$\tau_n = \frac{1+i^{-n}}{1+i^{-1}} \sqrt{n}$$\r\rLe calcul se fait en reconnaissant la somme comme la valeur d'une fonction, et de calculer cette valeur en utilisant les séries de Fourier et le théorème de Dirichlet.\rAu passage, on détermine la valeur de l'intégrale de Fresnel : \r$$\int_0^{\infty} \exp(2i \pi x^2) \mathrm dx$$ |
2026-07-23T12:42:15.782776 |
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| 1161 |
Inégalité de Hadamard (par le th des extrema liés) |
voir Rouvière page 409\r\rSoit E=$\mathbb{R}^n$ munis du produit scalaire usuel. Si $v_i$ $\in E$ pour $i \in \{1,...,n\}$ , alors\r$$|det(v_1,...,v_n)| \leqslant \|v_1\|...\|v_n\|$$\rOn a égalité si la famille $(v_i)$ est orthonormé. |
2026-07-23T12:42:15.782798 |
2026-07-23T12:42:15.782798 |
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| 1162 |
Convergence en loi de variables aléatoires discrètes |
Théorème :\rSi $X$ et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réelles et à valeurs dans un même ensemble dénombrable $A = \{x_k ; k \in K\}$ discret (dont tous les points sont isolés), alors $X_n \stackrel{Loi}{\longrightarrow} X$ si et seulement si pour tout $k\in K$, $\mathbb{P}(\{X_n = x_k\} ) \longrightarrow_{n \to \infty} \mathbb{P}(\{X = x_k\})$.\r\rApplication :\rSoit $X_n$ des variables aléatoires de loi binomiale de paramètres $n$ et $p_n$ tels que $np_n \longrightarrow_{n \to \infty} \lambda$. Alors $X_n$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. |
2026-07-23T12:42:15.782837 |
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| 1163 |
Convergence de la méthode de la puissance |
Très bon développement pour la leçon 149 et qui se recase pour toutes les leçons sur les suites.\rRef : [Filbet] analyse numérique\r |
2026-07-23T12:42:15.782849 |
2026-07-23T12:42:15.782849 |
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| 1164 |
Une classe de séries lacunaires sans dérivées |
Soit $\Lambda = (\lambda_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite lacunaire de réels, $\sum \varepsilon_n$ une série absolument convergente de complexes et $f : \mathbb R \to \mathbb C$ la fonction définie par la série normalement convergente\r $$ \forall t \in \mathbb R, \ f(t) = \sum_{n = 0}^{+\infty}\varepsilon_n e^{i\lambda_n t}$$\r Si $f$ est dérivable en au moins un point, alors $\varepsilon_n \underset{n \to +\infty}{=} o(\frac1{\mu_n})$.\r\r Par contraposé, si $\sum \frac1{\mu_n} < +\infty$ et s'il existe une constante $|\varepsilon_n| > \frac{\delta}{\mu_n}$ pour tout $n$, alors la fonction $f$ est partout non dérivable. |
2026-07-23T12:42:15.782892 |
2026-07-23T12:42:15.782892 |
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| 1165 |
Convergence uniforme d'une série de Fourier dont les coefficients sont sommables |
Montrer que le noyau de Poisson est une approximation de l'unité. |
2026-07-23T12:42:15.782903 |
2026-07-23T12:42:15.782903 |
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| 1166 |
Une somme de série par les séries entières |
Un développement assez calculatoire mais rentre très bien dans les leçons sur les séries et permet de montrer qu'on est claire sur des choses simples. \r\rPetit TIPS : On peut utiliser à un moment le théorème Abel angulaire pour montrer une égalité au bord d'un rayon de convergence. |
2026-07-23T12:42:15.782920 |
2026-07-23T12:42:15.782920 |
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| 1167 |
Log concavité du déterminant |
On démontre que l'application déterminant est log concave sur $S_n{++}$ de deux manière différente une version algébriste et une analytique par le calcul intégrale je trouve ça jolie et ptet un peu original. (Peut être utilisé dans ellipsoïde de John je crois..) |
2026-07-23T12:42:15.782935 |
2026-07-23T12:42:15.782936 |
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| 1168 |
Calcul de l'intrégale de 1/1+x^n |
On calcul l'intégrale : \r\r$$ \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^n} dx $$\r\rici par deux méthodes assez classique et une plus astucieuse que l'autre. attention il faut connaitre une idée de preuve de la formule des compléments pour ce dev je pense. |
2026-07-23T12:42:15.782955 |
2026-07-23T12:42:15.782955 |
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| 1169 |
Etude de la fonction Digamma Psi |
On donne une formule sur la fonction Digamma à partir de la fonction $\Gamma$ avec la formule de Gauss. On utilise des théorèmes classiques sur les séries de fonctions. On en déduit également la valeur de $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t} \ln(t) \ dt $ |
2026-07-23T12:42:15.782973 |
2026-07-23T12:42:15.782973 |
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| 1170 |
Formule de Cauchy pour un cercle par dérivation sous l'intégrale |
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2026-07-23T12:42:15.782981 |
2026-07-23T12:42:15.782981 |
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| 1172 |
Théorème de Lebesgue |
On démontre que toute fonction continue monotone définie sur un intervalle [a,b] est presque partout dérivable. |
2026-07-23T12:42:15.782992 |
2026-07-23T12:42:15.782992 |
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| 1173 |
Théorème de Bézout et théorème des restes chinois |
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2026-07-23T12:42:15.782999 |
2026-07-23T12:42:15.782999 |
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| 1174 |
Théorème de Chebotarev |
Soit $p$ un nombre premier et $u$ une racine $p$-ième de l'unité. On note $A$ la matrice de Vandermonde définie par\r$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & u & \cdots & u^{p-1} \\ 1 & u^2 & \cdots & u^{2(p-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & u^{p-1} & \vdots & u^{(p-1)^2}\end{pmatrix} \in \mathcal M_p(\mathbb C).$$\rAucun mineur de la matrice $A$ n'est nul. |
2026-07-23T12:42:15.783028 |
2026-07-23T12:42:15.783028 |
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| 1355 |
Une suite d'intégrales mettant en jeu l'IPP et des changements de variables |
On calcule $\displaystyle{I_n = \int_0^{+\infty}{\frac{dt}{\cosh(t)}}}$ |
2026-07-23T12:42:15.786015 |
2026-07-23T12:42:15.786016 |
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| 1175 |
Théorème de Brouwer par le logarithme |
On montre deux résultats, dont le second est une application du premier.\r i) Soit $K$ un compact de $\mathbb R^d$ étoilé par rapport à $0$. Toute fonction $f \in \mathcal C(K, \mathbb C^*)$ admet un logarithme continu, i.e. il existe $g \in \mathcal C(K, \mathbb C)$ telle que $f = \exp(g)$.\r\r ii) Dans $\mathbb R^2$, toute application continue de la boule unité dans elle-même admet un point fixe. |
2026-07-23T12:42:15.783053 |
2026-07-23T12:42:15.783053 |
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| 1176 |
Théorème de Polya (chaînes de Markov) |
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires modélisant une marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$ et vérifiant\r$$ X_0 = 0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb N^*, \ X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k,$$\roù les $\xi_k$ sont des variables aléatoires i.i.d de loi uniforme sur $\lbrace \pm e_1, \ldots, \pm e_d \rbrace$, où $e_1, \ldots, e_d$ désignent les vecteurs de la base canonique de $\mathbb R^d$.\rLa suite $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ est récurrente (i.e. revient en $0$ en un temps fini presque sûrement) ssi $d \leq 2$. |
2026-07-23T12:42:15.783089 |
2026-07-23T12:42:15.783089 |
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| 1177 |
Sous-groupes à 1 paramètre de GLn(C) |
Voir : https://www.youtube.com/watch?v=0X3la_16-Ks. |
2026-07-23T12:42:15.783097 |
2026-07-23T12:42:15.783097 |
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| 1178 |
Sur le flot d'un champs de vecteurs |
Exercices de mathématiques pour l'agrégations : Analyse 3, A.CL , S.F : Exercice 30-5 p119 |
2026-07-23T12:42:15.783108 |
2026-07-23T12:42:15.783108 |
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| 1179 |
L'unique entier entre un carré et un cube |
Les solutions de l'équation diophantienne\r\r\[x^2 + 2 = y^3 \]\r\rsont exactement les couples $(\pm 5, 3)$. |
2026-07-23T12:42:15.783122 |
2026-07-23T12:42:15.783123 |
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| 1180 |
Loi forte des grands nombres version marche aléatoire |
On propose ici une démonstration courte et originale qui repose sur l’étude des marches aléatoires |
2026-07-23T12:42:15.783133 |
2026-07-23T12:42:15.783133 |
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| 1181 |
Ensemble de transpositions engendrant S_n |
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2026-07-23T12:42:15.783140 |
2026-07-23T12:42:15.783140 |
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| 1182 |
Paires génératrices de sous-groupes de S_n |
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2026-07-23T12:42:15.783147 |
2026-07-23T12:42:15.783147 |
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| 1183 |
Reduction des endomorphismes nilpotents |
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2026-07-23T12:42:15.783154 |
2026-07-23T12:42:15.783154 |
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| 1184 |
Collier de perles |
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2026-07-23T12:42:15.783160 |
2026-07-23T12:42:15.783160 |
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| 1185 |
Système de congruences (cas général) |
Résolution du système\r$\left\{ \begin{array}{rcl}\rx & \equiv & a_1 [m_1] \\\r& \vdots & \\\rx & \equiv & a_s [m_s]\r\end{array} \right.$\ren toute généralité, c'est-à-dire sans hypothèse de coprimalité sur les $m_i$. |
2026-07-23T12:42:15.783183 |
2026-07-23T12:42:15.783183 |
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| 1186 |
Produit eulérien |
Théorème de développement en produit eulérien pour les fonctions multiplicatives.\r\rApplications :\r1) $\sum_{p} \frac{1}{p} = \infty$ (et petite application en probas) ;\r2) produit eulérien de $\zeta$ et déduction de sa non-annulation pour $\mathrm{Re}(s)>1$. |
2026-07-23T12:42:15.783201 |
2026-07-23T12:42:15.783201 |
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| 1187 |
Polynôme caractéristique d'un élément algébrique, famille Q-libre, extension multiquadratique |
D'abord on montre deux propriétés du polynôme caractéristique d'un élément dans une extension finie.\rEnsuite on déduit de l'une des deux que la famille des $\sqrt{d}$ pour $d$ sans facteur carré est libre sur $\mathbb{Q}$, puis que l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \cdots, \sqrt{p_n}) / \mathbb{Q}$ est de degré $2^n$.\r\rContient une généralisation du développement \"Famille Q-libre par la trace\". |
2026-07-23T12:42:15.783229 |
2026-07-23T12:42:15.783229 |
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| 1188 |
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire |
Dans cette version on montre les deux résultats (la décomposition polaire est déduite de l'homéomorphisme). |
2026-07-23T12:42:15.783245 |
2026-07-23T12:42:15.783245 |
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| 1189 |
Théorème de Wielandt |
En tant que fonction définie pour $\mathrm{Re}(z)>0$, $\Gamma$ est caractérisée par :\r$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ ;\r$\Gamma$ bornée sur $\{1\leq\mathrm{Re}(z)<2\}$ ;\r$\Gamma(1) = 1$. |
2026-07-23T12:42:15.783264 |
2026-07-23T12:42:15.783264 |
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| 1190 |
Marches aléatoires sur Z |
Deux propriétés (indépendantes) des marches aléatoires sur $\mathbb{Z}$.\r$\mu$ une proba quelconque sur $\mathbb{Z}$, $(X_k)_{k\geq1}$ iid de loi $\mu$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$.\r\r1) Si $N$ est le nombre de passages en zéro : $P(N=\infty) = \left\{\r\begin{array}{rl}\r1 & \text{si}~ \sum_{n=0}^\infty P(S_n=0) = \infty \\\r0 & \text{sinon}\r\end{array}\r\right.$. Appli cas Rademacher.\r\r2) Si $\mu$ est symétrique et non triviale, ps on a $\varliminf S_n = -\infty$ et $\varlimsup S_n = \infty$.\r |
2026-07-23T12:42:15.783300 |
2026-07-23T12:42:15.783300 |
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| 1191 |
Lemme de Goursat |
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2026-07-23T12:42:15.783306 |
2026-07-23T12:42:15.783306 |
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| 1192 |
Paradoxe de Penney |
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2026-07-23T12:42:15.783312 |
2026-07-23T12:42:15.783312 |
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| 1195 |
Ellipse de Steiner en utilisant le groupe affine. |
Caldero tome 1 |
2026-07-23T12:42:15.783320 |
2026-07-23T12:42:15.783321 |
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| 1196 |
Nombre d'endomorphismes nilpotents sur un corps fini |
Soit $n \geq 1$ un entier et $\mathbb{F}_q$ un corps fini. Alors le nombre de matrices nilpotentes d'indice maximal $n$ dans l'anneau $M_n(\mathbb{F}_q)$ est égal à $(q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n - q^{n-2})$ |
2026-07-23T12:42:15.783338 |
2026-07-23T12:42:15.783338 |
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| 1199 |
Théorème Paley-Wiener |
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2026-07-23T12:42:15.783344 |
2026-07-23T12:42:15.783344 |
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| 1200 |
Stone-Weieistrass par la convolution |
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2026-07-23T12:42:15.783351 |
2026-07-23T12:42:15.783351 |
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| 1201 |
Théorème du min-max de Fenchel-Rockafellar |
Un théorème d'interversion min-max pour des fonctions convexes sur des espaces vectoriels normés. Utile notamment dans la théorie du transport optimal (dans certaines démonstrations de la dualité de Kantorovitch). Page 24 du Brézis. Voir \"Topics in optimal transportation\" de Villani pour l'application au transport optimal. |
2026-07-23T12:42:15.783373 |
2026-07-23T12:42:15.783373 |
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| 1202 |
Spectre de la comatrice |
Algèbre 2 F-G-N\r |
2026-07-23T12:42:15.783380 |
2026-07-23T12:42:15.783381 |
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| 1203 |
Décomposition QR et inégalité d'Hadamard |
FGN Algèbre 3 |
2026-07-23T12:42:15.783389 |
2026-07-23T12:42:15.783389 |
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| 1204 |
Lemme de Hensel |
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2026-07-23T12:42:15.783395 |
2026-07-23T12:42:15.783395 |
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| 1205 |
l(p) est complet |
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2026-07-23T12:42:15.783401 |
2026-07-23T12:42:15.783401 |
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| 1207 |
Critère de nilpotence par la trace |
pour la 144 adapter le dev |
2026-07-23T12:42:15.783409 |
2026-07-23T12:42:15.783409 |
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| 1209 |
Lemme de la grenouille |
Lemme 1: L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite à valeurs dans un evn compact tq ||Un+1-Un||-->0 est connexe\rLemme 2 (grenouille): f : [0,1]--> [0,1] continue et une suite Xn+1=f(Xn), X0 ds [0,1]. \rAlors Xn CV ssi |Xn+1-Xn|-->0 |
2026-07-23T12:42:15.783424 |
2026-07-23T12:42:15.783425 |
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| 1210 |
Matrice de Gram |
Dantzer page 374 |
2026-07-23T12:42:15.783431 |
2026-07-23T12:42:15.783432 |
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| 1211 |
Asymptotique d'une équation du troisième degré |
Soit $f(x,\varepsilon) = (x-a)(b-x) + \varepsilon x^3$.\rOn donne un développement asymptotique des trois racines de f grâce au théorème des fonctions implicites et aux relations racines/coefficients.\rOn en déduit que :\r$I(\varepsilon)=\displaystyle \int_{x_1(\varepsilon)}^{x_2(\varepsilon)} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{f(x,\varepsilon)}}=\pi+\frac{3\pi}{4}(a+b)\varepsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ |
2026-07-23T12:42:15.783461 |
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| 1212 |
Transformée de Zak et formule de Poisson |
La transformée $f\mapsto Zf(x,t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} f(x+k)e^{-2i\pi k t} $ définie sur l'espace de Schwartz se prolonge en une isométrie inversible entre $L^2(\mathbb{R})$ et $L^2([0,1]\times [0,1])$. La formule de Poisson permet d'échanger les variables $x$ et $t$ ainsi que $f$ et sa transformée de Fourier (en convention fréquentielle) :$Zf(x,t)=e^{2i \pi t x} Z \tilde{f} (t, -x)$ où $\tilde{f}(t)=\int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2i\pi t x} dx$. |
2026-07-23T12:42:15.783488 |
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| 1214 |
Théorème de Sturm (équa diff) |
Oraux X-ENS Analyse 4 |
2026-07-23T12:42:15.783495 |
2026-07-23T12:42:15.783496 |
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| 1215 |
Complémentaire d'un hyperplan |
Oraux XENS Analyse 3 |
2026-07-23T12:42:15.783504 |
2026-07-23T12:42:15.783504 |
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| 1216 |
Inversion globale |
Petit guide du calcul différentiel\rExercice 70 |
2026-07-23T12:42:15.783512 |
2026-07-23T12:42:15.783512 |
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| 1217 |
Décomposition polaire et marche quantique unitaire |
On considère des matrices $A$ et $B$ telles que $A^*A+B^*B=Id$ et $A^*B=0$. Alors il existe un projecteur $P$ et une matrice unitaire $U$ tels que $A=UP$ et $B=U(Id-P)$. \r\rLa condition sur $A$ et $B$ équivaut au fait que la matrice suivante est unitaire : \r$$\r\begin{pmatrix}\r0 & B & 0 & 0& \cdots & A \\\rA& 0 & B & 0 \cdots & 0 \\\r\vdots & \ddots \\\rB & 0 & 0 & \cdots & A& 0\r\end{pmatrix}\r$$\rCette matrice décrit la marche quantique unitaire sur Z/nZ |
2026-07-23T12:42:15.783541 |
2026-07-23T12:42:15.783542 |
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| 1218 |
Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp |
Référence Brezis, Rudin 3.5 ET 70 développement Lavigne |
2026-07-23T12:42:15.783552 |
2026-07-23T12:42:15.783552 |
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| 1219 |
Dénombrement des matrices nilpotentes d'indice n dans Mn(Fq) |
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2026-07-23T12:42:15.783560 |
2026-07-23T12:42:15.783560 |
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| 1220 |
Théorème de Cauchy et de Sylow(récurrence) |
Version abélienne du théorèmed de Cauchy pour la 108 qui utilise un système de générateurs minimal\r |
2026-07-23T12:42:15.783570 |
2026-07-23T12:42:15.783571 |
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| 1222 |
Descente de gradient à pas constant |
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2026-07-23T12:42:15.783577 |
2026-07-23T12:42:15.783577 |
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| 1223 |
Groupes dérivés des groupes symétriques |
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2026-07-23T12:42:15.783584 |
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| 1224 |
Sous groupes finis de K* |
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2026-07-23T12:42:15.783590 |
2026-07-23T12:42:15.783590 |
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| 1225 |
Riemann-Lebesgue |
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2026-07-23T12:42:15.783596 |
2026-07-23T12:42:15.783596 |
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| 1226 |
AX+XB=C |
Doublon avec : https://agreg-maths.fr/developpements/177 |
2026-07-23T12:42:15.783605 |
2026-07-23T12:42:15.783605 |
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| 1227 |
Cochran, Fischer et application test chi-deux |
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2026-07-23T12:42:15.783611 |
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| 1228 |
Paul-Lévy, TCL et applications |
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2026-07-23T12:42:15.783617 |
2026-07-23T12:42:15.783618 |
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| 1229 |
Théorème de Burnside (Groupes simples) |
On démontre qu'un groupe fini dont l'ordre n'admet que deux diviseurs premiers n'est pas simple. |
2026-07-23T12:42:15.783630 |
2026-07-23T12:42:15.783630 |
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| 1230 |
Étude du groupe A4 |
Il s'agit ici de montrer, en exploitant le groupe de Klein, que $\mathfrak{A_4}$ n'est pas simple puis qu'il n'admet pas de sous-groupe d'ordre 6. On prouve au passage deux petits résultats généraux de théorie des groupes. |
2026-07-23T12:42:15.783646 |
2026-07-23T12:42:15.783646 |
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| 1231 |
Lemmes de Borel-Cantelli et application à la convergence presque sûre |
On prouve dans un premier temps les deux célèbres lemmes de Borel-Cantelli, puis on les exploite pour montrer un critère de convergence presque sûre de suites de variables aléatoires, et on démontre enfin que ce critère est en fait une caractérisation lorsque les variables aléatoires sont indépendantes et que la variable aléatoire limite est nulle presque sûrement. |
2026-07-23T12:42:15.783664 |
2026-07-23T12:42:15.783664 |
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| 1232 |
Matrices et déterminants de Gram |
On prouve d'abord une caractérisation des matrices de Gram ainsi que de leur inversibilité, puis on utilise la caractérisation de l'inversibilité pour montrer une jolie formule de distance entre vecteur et sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien. |
2026-07-23T12:42:15.783680 |
2026-07-23T12:42:15.783680 |
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| 1233 |
Corollaire du théorème de Wantzel et réponse négative à la trisection de l'angle |
D'abord, on montre ce corollaire du théorème de Wantzel :\r\"Si $t\in\mathbb{R}$ est constructible, alors il existe $q\in\mathbb{N}$ tel que $[\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]=2^q.$\"\r\rEnfin, on utilise ce corollaire pour montrer que le problème antique de construction de la trisection de l'angle à la règle et au compas n'a pas de solution.\r\r |
2026-07-23T12:42:15.783706 |
2026-07-23T12:42:15.783706 |
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| 1234 |
Résolution des équations quadratiques dans Fp |
D'abord, on résout explicitement les équations quadratiques dans $\mathbb{F}_p$ ($p$ premier), plus précisément :\r\"Soient $a,b,c\in\mathbb{F}_p$ avec $a\eq 0$. L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet des solutions si et seulement si $\Delta:=b^2-4ac$ est un carré de $\mathbb{F}_p$, et le cas échant les solutions sont $\frac{-b\pm\delta}{2a}$ où $\delta\in\mathbb{F}_p$ est tel que $\delta^2=\Delta$.\"\r\rEnfin, on va jusqu'au bout de la résolution explicite de ces équations en pratique en prouvant une caractérisation classique d'être un carré non-nul dans $\mathbb{F}_p$ lorsque $p\geqslant 3$. |
2026-07-23T12:42:15.783740 |
2026-07-23T12:42:15.783741 |
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| 1235 |
Inégalité de Heisenberg |
Pour toute fonction $f\in L^2$ sur $\mathbb{R}$, on a l'inégalité suivante :\r$\int_{\mathbb{R}}\lvert xf(x)\rvert^2dx\int_{\mathbb{R}}\lvert \zeta\hat{f}(\zeta)\rvert^2d\zeta\geq\frac{1}{4}\|f\|^4_{L^2}$\r\rLa preuve se fait pour des fonctions de l'espace de Schwarz, puis par densité, en approximant par convolution, et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et des approximations de l'unité sur certaines suites de fonctions. |
2026-07-23T12:42:15.783771 |
2026-07-23T12:42:15.783771 |
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| 1236 |
Inverser sans inverser |
On pose une suite récurrente qui converge (quadratiquement) vers l'inverse d'une matrice inversible. C'est un résultat de convergence vers un point fixe. On peut faire le lien avec la méthode de Newton (multi-dimensionnelle). |
2026-07-23T12:42:15.783785 |
2026-07-23T12:42:15.783786 |
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| 1237 |
Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères |
Notons $V_n(r)$ le volume de la boule euclidienne de $\mathbb{R}^n$ de rayon $r$, et $\mathscr{A}(\mathbb{S}_r)$ l'aire de la sphère euclidienne de $\mathbb{R}^n$ de rayon r. En appliquant la formule de la coaire (admise), on montre que \[\frac{d}{dr} V_n(r) = \mathscr{A}(\mathbb{S}_r),\] et on calcule directement l'aire des sphères. le développement pouvant être un peu court, on peut ajouter le calcul direct du volume des boules grâce au théorème de Fubini. |
2026-07-23T12:42:15.783812 |
2026-07-23T12:42:15.783812 |
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| 1238 |
Polynômes et fonctions de Hermite |
En passant par les polynômes de Hermite, on montre que les fonctions de Hermite forment une famille orthogonale et totale de $L^2(\mathbb{R})$, puis qu'elles diagonalisent l'opérateur associé à l'oscillateur harmonique quantique 1D \[-\frac{d^2}{dx^2} + x^2\] ainsi que la transformée de Fourier. |
2026-07-23T12:42:15.783831 |
2026-07-23T12:42:15.783831 |
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| 1239 |
Transformée de Fourier par les résidus |
On calcule la transformée de Fourier de fonctions vérifiant certaines hypothèses, grâce au théorème des résidus. |
2026-07-23T12:42:15.783842 |
2026-07-23T12:42:15.783842 |
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| 1240 |
Propriétés des opérateurs compacts |
Soit $E$ un Banach, $T : E \to E$ un opérateur compact. Alors, $\ker (I-T)$ est de dimension finie et $\mathrm{Im}(I-T)$ est fermée. De plus, \r- En dimension infinie, $0$ est valeur spectrale de $T$.\r- Les valeurs spectrales non nulles de $T$ sont en fait des valeurs propres, et forment soit un ensemble fini, soit une suite convergeant vers $0$. |
2026-07-23T12:42:15.783861 |
2026-07-23T12:42:15.783862 |
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| 1241 |
Equivalence de diagonalisabilité |
On montre là que U un endomorphisme est diagonalisable ssi exp(U) l'est. |
2026-07-23T12:42:15.783871 |
2026-07-23T12:42:15.783871 |
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| 1242 |
Existence et unicité d'un corps à q éléments |
On démontre qu'un corps à q éléments est unique à isomorphisme près et que le corps de décomposition de $X^q-X$ en est un. \r |
2026-07-23T12:42:15.783883 |
2026-07-23T12:42:15.783883 |
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| 1243 |
Fonctions strictement monotones |
On montre ici quelques propriétés sur les fonction strictement monotones. |
2026-07-23T12:42:15.783892 |
2026-07-23T12:42:15.783892 |
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| 1244 |
Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires |
On décompose tout polynôme symétrique en polynôme des polynômes symétriques élémentaires. Le résultat se fait par récurrence imbriquée dans une récurrence. \r |
2026-07-23T12:42:15.783904 |
2026-07-23T12:42:15.783905 |
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| 1245 |
Etude des fonctions à variations bornées. |
On étudie certaines propriétés des fonctions à variations bornées. |
2026-07-23T12:42:15.783913 |
2026-07-23T12:42:15.783914 |
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| 1246 |
Critère fonction convexe ou affine |
On démontre un critère concluant sur la convexité d'une fonction. |
2026-07-23T12:42:15.783923 |
2026-07-23T12:42:15.783923 |
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| 1247 |
Minimum d'une norme matricielle |
Tout est dans le titre. On utilise les extrémas liés. |
2026-07-23T12:42:15.783932 |
2026-07-23T12:42:15.783932 |
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| 1248 |
Etude de la fonction de Weierstrass |
Soit $0 < a < 1$ et $b>1$ tels que $ab \geq 1$. La fonction\r\[F \colon \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{R} &\longrightarrow &\mathbb{R} \\\rx &\longmapsto &\sum_{k \geq 0} a^k cos(b^kx) \end{array}\]\rdéfinit une fonction continue sur $\mathbb{R}$ nulle part dérivable. |
2026-07-23T12:42:15.783957 |
2026-07-23T12:42:15.783957 |
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| 1249 |
Méthode de Newton multi-D |
Dans ce développement on généralise la méthode de Newton dans le cas multi-dimensionnel. On retrouve les mêmes arguments que dans le cas à une dimension. |
2026-07-23T12:42:15.783969 |
2026-07-23T12:42:15.783969 |
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| 1250 |
Nombre de dérangements |
Soit $\mathcal{D}_n:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_n\mid\sigma\text{ n'a pas de point fixe}\}$. (Un élément de $\mathcal{D}_n$ est appelé un dérangement)\rNotons $d_n:=|\mathcal{D}_n|$. Alors :\r\r1/ Par des arguments classiques de dénombrement, on obtient $\displaystyle d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$\r\r2/ On peut retrouver cette égalité en établissant l'identité $\displaystyle n!=\sum_{k=0}^n{n\choose k}d_k$ puis en utilisant la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{d_n}{n!}z^n$\r\r3/ On a en fait une formule plus explicite de $d_n$ : $$d_n=\left\lfloor \frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\right\rfloor.$$\r |
2026-07-23T12:42:15.784010 |
2026-07-23T12:42:15.784010 |
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| 1251 |
Théorème de Rouché (et principe de l'argument) |
On montre : \rSoit $\Omega$ un ouvert. Soient $f,g \in H(\Omega)$. Soit $K$ un compact de $\Omega$ à bord régulier (pouvant être paramétré par une courbe régulière). On suppose que l'on a :\r$$\r \forall z \in \partial K, |f(z)-g(z)| < |f(z)|+|g(z)|.\r$$\rAlors $f$ et $g$ ont le même nombre de zéros dans $K$ (comptés avec leurs multiplicités).\r\r(Il existe d'autres conditions plus ou moins fortes avec différentes démonstrations) |
2026-07-23T12:42:15.784037 |
2026-07-23T12:42:15.784037 |
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| 1252 |
Approximation diophantienne |
Soit $\alpha \in \mathbb R \backslash \mathbb Q$, on montre qu'il existe un infinité de couples $(p,q) \in \mathbb Z \times \mathbb N^*$ tels que \r\r\[\left| \alpha - \frac pq \right| \leq \frac{1}{q^2}\]\r\rApplication : étude de la suite $\left( \frac{1}{n \sin n} \right)_n$ |
2026-07-23T12:42:15.784071 |
2026-07-23T12:42:15.784071 |
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| 1253 |
Isométrie du tétraèdre régulier |
On décrit le groupe des isométries du tétraèdre régulier.\rCarnet de Voyage en Algébrie (p 168) |
2026-07-23T12:42:15.784081 |
2026-07-23T12:42:15.784082 |
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| 1254 |
Sous-groupes finis de SO3(R) |
Théorie des groupes, Félix Ulmer\rPage 138 |
2026-07-23T12:42:15.784090 |
2026-07-23T12:42:15.784090 |
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| 1255 |
Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques |
Carnet de voyage en Algébrie |
2026-07-23T12:42:15.784099 |
2026-07-23T12:42:15.784099 |
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| 1256 |
Théorème de Floquet pour l'équation de Hill |
Equations différentielles\rBerthelin\rpage 297 |
2026-07-23T12:42:15.784109 |
2026-07-23T12:42:15.784109 |
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| 1257 |
Premier théorème de Mertens |
Théorie analytique et probabiliste des nombres\rGérald Ténenbaum |
2026-07-23T12:42:15.784118 |
2026-07-23T12:42:15.784119 |
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| 1259 |
Enveloppe convexe fermée et précompacité |
Oraux X-ENS\rAnalyse 3 |
2026-07-23T12:42:15.784127 |
2026-07-23T12:42:15.784127 |
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| 1260 |
Théorème de Sunyer i Balaguer |
Une fonction telle que pour tout x il existe n tel que f^n(x) = 0 est un polynôme |
2026-07-23T12:42:15.784136 |
2026-07-23T12:42:15.784136 |
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| 1261 |
Un critère de connexité par arcs |
Tout espace métrique complet, connexe et localement connexe est connexe par arcs |
2026-07-23T12:42:15.784146 |
2026-07-23T12:42:15.784146 |
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| 1262 |
Théorème d'Osgood |
Soit U un ouvert de C, et (fn) une suite de fonctions holomorphes qui cv simplement vers f. Alors il existe U' inclu dans U dense dans U tel que f soit holomorphe sur U'. |
2026-07-23T12:42:15.784158 |
2026-07-23T12:42:15.784159 |
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| 1263 |
Théorème du point fixe de Brouwer par le lemme de Sperner |
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2026-07-23T12:42:15.784165 |
2026-07-23T12:42:15.784166 |
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| 1264 |
Déterminant des matrices à coefficients dans un anneau |
Soit A un anneau commutatif. On caractérise la surjectivité et l'injectivité d'un endomorphisme A-linéaire en fonction des valeurs prises par le déterminant de la matrice à coefficients dans A associée. |
2026-07-23T12:42:15.784179 |
2026-07-23T12:42:15.784180 |
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| 1265 |
Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles |
Le théorème présenté est un joli résultat liant les matrices stochastiques et les groupes, en passant par les valeurs propres et les nombres complexes de module 1. Il existe différentes versions du théorème de Perron-Frobenius, selon les hypothèses sur la matrice. Celle présentée nous donne des informations sur le spectre des matrices stochastiques irréductibles. Plus précisément, on montre que l'ensemble des valeurs propres de module 1 d'une telle matrice forme un sous groupe de $\mathbb S^1$. |
2026-07-23T12:42:15.784203 |
2026-07-23T12:42:15.784203 |
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| 1266 |
Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué |
Dans ce développement, on commence par montrer que pour tout groupe G fini, et pour tout diviseur premier p du cardinal de G, il existe un élément d'ordre p. \r\rOn montre ensuite que s'il existe un sous groupe H de G d'indice le plus petit diviseur premier p du cardinal de G, celui-ci est nécessairement distingué dans G. En particulier, tout sous groupe d'indice 2 est distingué. |
2026-07-23T12:42:15.784224 |
2026-07-23T12:42:15.784225 |
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| 1267 |
F(L1) dense dans C_o |
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2026-07-23T12:42:15.784231 |
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| 1268 |
Equirépartition presque sûre des orbites du doublement de l’angle |
On se place sur E = [0, 1[ qu’on munit de la mesure de Lebesgue. On définit l’application f par f(x) = {2x} (partie fractionnaire de 2x), pour tout x dans E. Cette application correspond au doublement de l’angle sur le cercle.\r\rDans le développement, on montre que pour presque-tout x dans E, la suite des itérées de f en x est équirépartie. On pourra regarder dans : P. Billingsley, Probability and measure. |
2026-07-23T12:42:15.784252 |
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| 1269 |
Moyenne d'une fonction multiplicative à valeurs dans [0,1] |
On montre un critère permettant de savoir si une fonction multiplicative à valeurs dans [0,1] admet une valeur moyenne. C'est le théorème I.3.12 de Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum. Le chapitre I.3 de ce livre est intéressant aussi pour regarder des exemples concrets (et plus simples). |
2026-07-23T12:42:15.784270 |
2026-07-23T12:42:15.784271 |
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| 1270 |
Tout groupe d'ordre n est cyclique ssi n^phi(n)=1 [?] |
Note de la modération : je crois que ce théorème est faux car Z/4Z et un groupe cyclique d'ordre 4. Or phi(4) = 2 n'est pas premier avec 4. Donc l'équivalence semble fausse. |
2026-07-23T12:42:15.784284 |
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| 1272 |
Dynamique symbolique |
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2026-07-23T12:42:15.784290 |
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| 1273 |
La courbe brachistochrone |
Au XVIIe siècle, la famille Bernoulli (au moins deux d'entre eux) et Leibniz s'intéressent à un problème initié par Galilée : si on prend deux points d'un plan, quelle doit être la forme de la courbe minimisant le temps de trajet d'un point materiel placé dans un champ de pesanteur uniforme glissant sans frottement et sans vitesse initiale sur cette courbe ? Une telle courbe est appelée courbe brachistochrone, brakhistos voulant dire \"le plus court\" et chronos voulant dire \"le temps\" en grec. Galilée pensait qu'il s'agissait d'un arc de cercle. Cependant, Bernoulli et Leibniz ont prouvé qu'il s'agissait d'un arc de cycloïde : en notant $(x,y)$ les coordonnées dans le plan, avec ici $Oy$ orienté dans le même sens que le champ de pesanteur, il existe $\theta_0 \in (0,2\pi)$ tel que la courbe soit paramétrée par les équations :\r$$\r \left\{\r \begin{array}{rcl}\r x(\theta) & = & R(\theta - \sin(\theta)) \\\r y(\theta) & = & R(1-\cos(\theta))\r \end{array}, \quad \theta \in [0,\theta_0].\r \right.\r$$\rLe but de ce développement est de le montrer, en utilisant des techniques de calcul de variations. |
2026-07-23T12:42:15.784350 |
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| 1274 |
Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global) |
On prouve le Théorème du point fixe de Banach-Picard puis on l'applique pour démontrer le Théorème de Cauchy Lipschitz linéaire ou global\r\rInspiré par : https://agreg-maths.fr/developpements/1043 et https://agreg-maths.fr/developpements/386 |
2026-07-23T12:42:15.784367 |
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| 1275 |
Incertitude de Heisenberg pour les groupes |
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2026-07-23T12:42:15.784373 |
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| 1276 |
Endomorphisme conservant le déterminant |
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2026-07-23T12:42:15.784380 |
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| 1277 |
Compacts dans les espaces de Hilbert |
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2026-07-23T12:42:15.784387 |
2026-07-23T12:42:15.784387 |
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| 1278 |
Différentielle de l'exponentielle de matrice (et application) |
On commence par calculer la différentielle de l'exponentielle de matrice en tout point grâce à un théorème limite puis on lui applique le théorème d'inversion locale en 0 pour montrer qu'il n'existe pas de sous groupe arbitrairement petit de GLn(K) (ou K est R ou C).\r |
2026-07-23T12:42:15.784406 |
2026-07-23T12:42:15.784407 |
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| 1280 |
Loi des grands nombres |
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2026-07-23T12:42:15.784413 |
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| 1281 |
L'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes |
On note \r$$\rW = \left\{ f \in \mathrm{L}^1_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}) \text{ } \left \vert \text{ } \Vert f \Vert_W := \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)| < +\infty \right. \right\}\r$$\rl'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes. Dans ce développement, je propose de montrer que l'algèbre de Wiener $(W,+, \cdot, \times, \Vert \cdot \Vert_W)$ est isomorphe isométriquement à l'algèbre de Banach $\left(\ell^1(\mathbb{Z}),+,\cdot, \star, \Vert \cdot \Vert_1\right)$ munie de la convolution discrète $\star$ définie ainsi :\r$$\r\forall u,v \in \ell^1(\mathbb{Z}), \quad (u\star v)_n = \sum_{j \in \mathbb{Z}} u_j v_{n-j}.\r$$\rCela permettra de résoudre certaines équations différentielles linéaires sur $\ell^1(\mathbb{Z})$. Pour la leçon 209, je propose de prouver le théorème de Wiener disant que toute fonction de l'algèbre de Wiener ne s'annulant pas a son inverse dans l'algèbre de Wiener. Ce résultat se base énormément sur le fait que toute fonction de $W$ s'écrit comme somme de sa série de Fourier, et que cette dernière converge normalement. |
2026-07-23T12:42:15.784482 |
2026-07-23T12:42:15.784482 |
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| 1282 |
Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov |
Il est question dans ce développement de montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est positive et irréductible alors : \r\r1) $\rho(A) > 0$ et $\rho(A) \in \text{Sp}(A)$, \r2) La valeur propre $\rho(A)$ est simple (i.e. elle est de multiplicité algébrique égale à 1), \r3) L'espace propre $E_{\rho(A)}(A)$ est engendré par un vecteur propre strictement positif, \r4) Si $A$ est strictement positive, alors $\rho(A)$ est l'unique valeur propre de module maximal. \r\rÀ cela s'ajoute une application aux chaînes de Markov : Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov irréductible à valeurs dans un espace d'états fini $E$, de matrice associée $P$ alors \r\r1) Il existe une unique probabilité invariante $\mu$ pour la dynamique issue de $P$, et cette mesure charge tous les éléments de $E$, \r2) Si de plus la chaîne est apériodique, alors :\r$$\rP^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} \begin{pmatrix}\r\mu \\\r\vdots \\\r\mu\r\end{pmatrix}\r$$\roù on a représenté la mesure $\mu$ comme un vecteur ligne. En particulier, quelle que soit la loi de $X_0$, $(X_n)$ converge en loi vers la probabilité invariante $\mu$. |
2026-07-23T12:42:15.784545 |
2026-07-23T12:42:15.784545 |
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| 1283 |
Morphismes continus de S1 dans GLn(R) |
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2026-07-23T12:42:15.784552 |
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| 1284 |
Théorème de Wiener-Ikehara |
C'est un joli développement qui mélange plusieurs aspects de l'analyse (un peu calculatoire) : Séries de fonctions, transformation de Fourier (de manière assez surprenante !), interversion de symboles (convergence dominée, monotone) et des estimations non triviales. \rAttention, je pense qu'il faut être vraiment à l'aise de base avec les séries de Dirichlet pour les éventuelles questions de jury et surtout ce développement peut mener à une pente assez glissante car on peut prouver le théorème des nombres premiers ensuite (typiquement si le jury demande un exemple d'application de ce résultat).\r\rSoit $\displaystyle{F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{ n^{s}}}$ une série de Dirichlet avec $b_n \geqslant 0$ pour tout $n \geqslant 1$. On suppose que : \r\r - La série de Dirichlet $F(s)$ converge pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mathcal{R}\textit{e}(s) > 1$,\r - $F$ peut être prolongée en une fonction méromorphe sur le demi-plan $\{ s \in \mathbb{C} \vert \Re(s) \geqslant 1\}$ et de plus $F$ ne possède pas de pôle excepté en $s=1$ où son résidu vaut $R > 0$.\r\r\rAlors on a l'estimation suivante quand $x \to +\infty$ : \r\[B(x):=\sum_{n \leqslant x} b_{n}=R x+o(x). \] |
2026-07-23T12:42:15.784610 |
2026-07-23T12:42:15.784611 |
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| 1285 |
Accélération de la convergence des méthodes itératives par la méthode de Tchebychev |
Pour résoudre le système linéaire $Ax = b$ dans $\mathbb{R}^d$ via une méthode itérative basée sur la décomposition $A = M-N$, on étudie des suites récurrentes :\r$$\rx_{k+1} = Bx_k + c\r$$\ravec $B = M^{-1}N$ et $c = M^{-1}b$, qui sont des itérations de point fixe. L'idée derrière la méthode de Tchebychev est de modifier, à chaque étape, le vecteur $x_k$ en un vecteur $y_k$ sous la forme :\r$$\ry_k = \sum_{i = 0}^k a_i^{(k)}x_i.\r$$\rLe but de ce développement est de trouver des $a_i^{(k)}$ satisfaisants pour accélérer la convergence, et cela fait intervenir des polynômes de Tchebychev ! |
2026-07-23T12:42:15.784639 |
2026-07-23T12:42:15.784639 |
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| 1286 |
Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien |
Le théorème du min-max de Courant-Fischer donne une formule de calcul des valeurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint $u$ d'un espace euclidien ou hermitien $E$ en fonction du quotient de Rayleigh-Ritz :\r$$\r\forall x \in E\setminus\{0\}, \quad R_u(x) = \frac{\langle u(x),x \rangle}{\Vert x \Vert^2}.\r$$\rIl est connu que son maximum est la plus grande valeur propre de $u$ et que son minimum est la plus petite valeur propre de $u$, mais quid des autres ? Ce théorème nous dit que, si $E$ est de dimension $n$, alors, en notant $\lambda_1(u) \leq \ldots \leq \lambda_n(u)$ les valeurs propres de $u$, on a :\r$$\r\forall k \in [\![1,n]\!], \quad \lambda_k(u) = \min_{F \in \mathcal{F}_k}\left(\max_{x \in F\setminus\{0\}} R_u(x) \right) = \max_{F \in \mathcal{F}_{n-k+1}}\left(\min_{x \in F\setminus\{0\}} R_u(x) \right)\r$$\roù $\mathcal{F}_k$ désigne l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$.\rDe ce théorème peut se déduire que les applications $u \mapsto \lambda_k(u)$ sont continues, et même 1-lipschitziennes pour la norme subordonnée à la norme euclidienne sur $E$ ! |
2026-07-23T12:42:15.784708 |
2026-07-23T12:42:15.784708 |
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| 1287 |
L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme |
Dans ce développement, si $K$ est un corps et $L/K$ une extension finie, on montre des résultats élémentaires sur le lien entre la norme $N_{K(\alpha)/K}(\alpha)$ d'un élément $\alpha \in L$ et les racines du polynôme minimal $\pi_{K,\alpha}$ dans son corps de décomposition. On utilisera alors ces résultats dans le cadre des corps finis pour en caractériser les carrés ou dans le cadre des anneaux d'entiers de corps de nombre pour en caractériser les éléments inversibles. |
2026-07-23T12:42:15.784734 |
2026-07-23T12:42:15.784734 |
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| 1288 |
Construction des codes cycliques, classes cyclotomiques |
On présente la théorie derrière la construction des codes cycliques et l'utilisation des classes cyclotomiques pour factoriser $X^n-1$ sur $F_q[X]$ lorsque $q$ et $n$ sont premiers entre eux. |
2026-07-23T12:42:15.784748 |
2026-07-23T12:42:15.784748 |
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| 1289 |
Développements de sinus, cotangente et cosécante en produit et sommes infinis du point de vue holomorphe |
On démontre les égalités classiques\r$\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod\limits_{n = 1}^{+\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2})$,\r$\pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{2 z}{z^2 - n^2}$, et\r$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z - n)^2}$\ravec des théorèmes sur les fonctions holomorphes. |
2026-07-23T12:42:15.784781 |
2026-07-23T12:42:15.784781 |
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| 1290 |
Critère d'Eisenstein + Contre-exemple au théorème de l'élément primitif |
Critère d'Eisenstein :\rSoit A un anneau factoriel, \rP = a0 + a1 X + ... + aN X^N ∈ A[X] et p ∈ A premier.\rSi p ne divise pas aN, p divise aK pour K inférieur à N-1, et p^2 ne divise pas a0, alors P est irréductible dans Frac(A)[X]\r\rContre-exemple :\rSoit k un corps de caractéristique p > 0, on pose K = k(U,T) et K0 = k(U^p, T^p), alors K n'est pas une extension monogène de K0. |
2026-07-23T12:42:15.784804 |
2026-07-23T12:42:15.784804 |
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| 1291 |
Développement en produit eulérien du sinus |
Pour tout $t \in ]-\pi ; \pi[$, $\displaystyle \sin(t) = t \lim_{n \rightarrow + \infty} \prod_{k=1}^n \left(1-\dfrac{t^2}{k^2 \pi^2} \right)$. |
2026-07-23T12:42:15.784822 |
2026-07-23T12:42:15.784822 |
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| 1292 |
Le problème des canards dispersés : Etude des inversibles de Z[√2] |
Développement avec un esprit très fun (avec des canards) qui consiste à étudier l'équation n(n+1)/2 = m(m+1), en se rapportant à l'équation a² - 2b² = -1 . \rEn exhibant un générateur des inversibles >= 1 de Z[√2], qui se trouve être l'inversible minimal > 1, (1 + √2), on obtient des solutions entières de notre équation initiale par les puissances impaires de ce dernier.\r\rRéférence possible : Perrin , cours d'algèbre (je crois) |
2026-07-23T12:42:15.784846 |
2026-07-23T12:42:15.784846 |
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| 1293 |
Réductibilité des polynômes cyclotomiques |
Carnet de voyage en Algébrie p.220\r\rIl s'agit de voir la propriété suivante:\r\rSi le groupe (Z/nZ)* n'est pas cyclique, alors pour tout p divisant n, la réduction modulo p du n-ième polynôme cyclotomique est réductible dans Fp[X]. |
2026-07-23T12:42:15.784862 |
2026-07-23T12:42:15.784863 |
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| 1294 |
Décomposition en valeurs singulières (SVD) |
Pour A une matrice m*n, on la décompose sous la forme A = UΣV*, avec :\rU une matrice carrée m*m unitaire ; V une matrice carrée n*n unitaire ; Σ une matrice m*n rectangulairement diagonale (Σ_i,j = 0 si i différent de j).\r\rDans ce cas, la matrice pseudo-inverse de A, notée A+, est définie comme :\rA+ = V(Σ+)U* , où Σ+ est la matrice Σ avec tous les coefficients non nuls remplacés par leurs inverses.\r\rApplication : Résolution de Ax = b lorsque le nombre de variables de x est inférieure à la quantité de contraintes, c'est à dire m < n. \rMinimisation de ||Ax - b||_2.\r\rDéveloppement très difficile qu'il faut ABSOLUMENT tronquer pour faire passer en quinze minutes. Aucune référence sous la main pour l'instant |
2026-07-23T12:42:15.784893 |
2026-07-23T12:42:15.784893 |
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| 1295 |
Disques de Gerschgorin-composantes connexes |
On construit les disques de Gerschgorin puis on étudie les composantes connexes formées par ces disques. Il y a exacement d valeurs propres dans une composante connexe si cette dernière est formée par d disques. |
2026-07-23T12:42:15.784906 |
2026-07-23T12:42:15.784906 |
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| 1296 |
Algorithme de Perturbation dans l'ensemble de Mandelbrot |
On définit premièrement l'ensemble de Mandelbrot M = {z complexe tel que |z_{n}| est bornée} avec z_0 = z, z_n+1 = z_n^2 + z.\rOn explique pourquoi les algorithmes \"naïfs\" de calcul itératifs de (z²+c) pour chaque point de départ ont des limitations. Cela nous amène à l'explication d'un algorithme de perturbation, qui vise à extrapoler des informations localement à partir d'un point de référence z dont la suite z_n a déjà été calculée.\rLa justification d'un tel algorithme passe par un développement de Taylor.\r\rL'algorithme est couteux initialement, puis chaque actualisation se fait en O(log(N)), ce qui justifie son utilisation.\r\rJ'ajouterai ma propre version lorsqu'elle sera rédigée proprement.\r\r(Il est possible de réaliser un tel algorithme, avec des modifications minimales, pour les ensembles de Julia). |
2026-07-23T12:42:15.784945 |
2026-07-23T12:42:15.784946 |
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| 1297 |
Polynômes de meilleure approximation uniforme |
\"Généralise\" le théorème de Weierstrass en imposant une condition sur le degré. |
2026-07-23T12:42:15.784956 |
2026-07-23T12:42:15.784956 |
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| 1298 |
Preuve de l'hypothèse de Riemann |
On démontre que l'ensemble des zéros complexes non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. La preuve est laissée au lecteur curieux. |
2026-07-23T12:42:15.784968 |
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| 1299 |
Théorème de Cayley-Hamilton |
Preuve du Théorème de Cayley-Hamilton de deux façons différentes \rPar calcul matriciel (polynôme de matrice)\rPar reduction au cas cyclique \rTrouvable dans le \"Reduction des endomorphismes\" Mansuy et Mneimné\r\rLe dit Théorème : Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est annulateur du dit endomorphisme. \rOuvert aux propositions de recasages. |
2026-07-23T12:42:15.784988 |
2026-07-23T12:42:15.784988 |
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| 1300 |
Lemme des classes monotones + Applications (théorème pi-lambda de Dynkin) |
Lemme des classes monotones : La plus petite classe monotone contenant le $\pi$-système $C$ est la tribu engendrée par $C$. \r\rApplications : \rLemme d'unicité des mesures de probabilité : Deux mesures de probabilité P et P' définies sur un même espace probabilisable et coincidant sur un $\pi$-système coincident sur la tribu engendrée par ce dernier. \rCorollaire : Deux mesures / v.a réelles définies sur le même espace probabilisable sont égales ssi elles ont même fonction de répartition.\rCritère d'indépendance.\r\rDev issu de wikipédia :https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_classe_monotone\r\r |
2026-07-23T12:42:15.785019 |
2026-07-23T12:42:15.785019 |
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| 1301 |
Théorèmes de Helly et de Carathéodory |
Issu des 131 développements pour l'oral :\r\"Ce développement présente la preuve de trois résultats classiques qui sont à la base de la théorie des ensembles convexes en dimension finie, de nombreux théorèmes de géométrie en étant des conséquences directes. Il met en jeu des méthodes typiques de la théorie des convexes [...]. [On y trouve une] forte utilisation des arguments de dimension et notamment l'existence de relations de dépendance linéaire pour des familles suffisamment grandes de vecteurs [...].\" |
2026-07-23T12:42:15.785041 |
2026-07-23T12:42:15.785042 |
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| 1302 |
Présentation des groupes PGLn et PSLn |
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2026-07-23T12:42:15.785048 |
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| 1303 |
Problème des diviseurs de Dirichlet |
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2026-07-23T12:42:15.785055 |
2026-07-23T12:42:15.785055 |
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| 1304 |
Théorème d'Egorov |
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré fini. Si $(f_n)$ est une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $\mathbb{R}$ qui converge $\mu$-presque partout vers $f$ mesurable. Alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe $A\in\mathcal{A}$ tel que $\mu(A)\leq \varepsilon$ et $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A^c$. |
2026-07-23T12:42:15.785077 |
2026-07-23T12:42:15.785077 |
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| 1305 |
Modèle épidémiologique SIR |
développement présent dans \"131 développements pour l'oral\" (Lesevre, Montagnon, Barbenchon, Pierron) |
2026-07-23T12:42:15.785087 |
2026-07-23T12:42:15.785088 |
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| 1306 |
Theorème de Delmot-Lacèr |
On détermine la probabilité qu'une matrice choisie dans Mn(K) admette une décomposition polaire unique. Développement réalisable uniquement en police 55 sur un tableau à craie. |
2026-07-23T12:42:15.785100 |
2026-07-23T12:42:15.785101 |
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| 1307 |
Étude d'une suite de Fibonacci aléatoire |
Étude en deux temps du comportement asymptotique d'une suite de Fibonacci aléatoire.\r\rOn montre la divergence presque sûre, puis, plus difficile, on évalue la vitesse de divergence en démontrant un théorème ergodique. |
2026-07-23T12:42:15.785115 |
2026-07-23T12:42:15.785116 |
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| 1308 |
Classification des formes quadratiques sur R et C |
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2026-07-23T12:42:15.785122 |
2026-07-23T12:42:15.785123 |
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| 1309 |
Analyse d'un schéma numérique aux différences finies pour la résoltuion d'une EDP de type réaction-diffusion |
Dans ce développement, on s'intéresse à l'équation aux dérivées partielles suivantes, d'inconnue $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^+ \times [-L,L], \mathbb{R})$ :\r\begin{equation}\r \tag{R-D}\r \label{réaction-diffusion}\r \left\{\r \begin{array}{rcll}\r \partial_tu(t,x) & = & \u \partial_{xx}^2u(t,x) + g(u(t,x)) & \forall (t,x) \in \mathbb{R}^{+} \times [-L,L], \\\r \partial_xu(t,-L) & = & 0 & \forall t \in \mathbb{R}^+, \\\r \partial_xu(t,L) & = & 0 & \forall t \in \mathbb{R}^+, \\\r u(0,x) & = & u_0(x) & \forall x \in [-L,L],\r \end{array}\r \right.\r\end{equation}\roù $\u > 0$ est un coefficient de diffusion, $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $g(0) = g(1) = 0$, et positive sur $[0,1]$, typiquement la fonciton $g : u \mapsto u(1-u)$ ou $g : u \mapsto u\left(1-u^2\right)$ et où $u_0$ est une condition initiale de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[-L,L]$ telle que $u_0'(-L) = u_0'(L) = 0$ (il s'agit de conditions de compatibilité avec les conditions aux bords de Neumann) et $0 \leqslant u_0 \leqslant 1$ (on travaille avec des \"concentrations\" de population). Cette équation modélise le comportement d'une population sur un segment $[-L,L]$. Le but est donc d'analyser un schéma numérique aux différences finies semi-implicite pour la résolution de l'équation \ref{réaction-diffusion}, ce qui peut potentiellement mettre le jury à vos pieds pour les leçons 206 et 218.\r\rDéveloppement à réserver aux aguerris de l'option B ! |
2026-07-23T12:42:15.785213 |
2026-07-23T12:42:15.785213 |
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| 1310 |
Théorème de Morera et théorème de Weierstrass sur la convergence des suites de fonctions holomorphes |
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2026-07-23T12:42:15.785221 |
2026-07-23T12:42:15.785221 |
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| 1312 |
Un théorème taubérien de Hardy-Littlewood |
Supposons que $a_n \geq 0$ pour tout $n$, et que lorsque $x$ tend vers 1 on ait \[\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \sim\frac{1}{1-x}.\]\rAlors quand $n$ tend vers l'infini on a \[\sum_{k=0}^{n}a_k\sim n.\] |
2026-07-23T12:42:15.785241 |
2026-07-23T12:42:15.785241 |
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| 1314 |
Alternative dense/monogène, valeurs d'adhérence de la suite (cos(n)) |
On montre qu'un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ est ou bien dense ou bien monogène. On en déduit que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite de terme général $\cos(n)$ est le segment $[-1,1]$. |
2026-07-23T12:42:15.785258 |
2026-07-23T12:42:15.785259 |
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| 1315 |
DA de $\int_1^x \frac{e^t}{t} dt$ |
Lelang-Ferrand Arnaudiès: Analyse, Tome 2, page 176\r |
2026-07-23T12:42:15.785268 |
2026-07-23T12:42:15.785269 |
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| 1316 |
Théorème de Paul Lévy |
Lien entre convergence en loi et convergence simple de la fonction caractéristique |
2026-07-23T12:42:15.785278 |
2026-07-23T12:42:15.785278 |
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| 1318 |
Théorème de Gauss - Markov |
Mots clefs : Estimateur linéaire - Moindre carré - Modèle linéaire bruité / gaussien\r\rThéorème de Gauss - Markov : \rSoient n observations indépendantes $Y_1,...Y_n$ faites aux nivaux $x_1,...,x_n$ de x. C'est à dire, supposons que $Y_i=ax_i+b+\epsilon_i$ où les variables aléatoires $\epsilon$ sont indépendantes, centrées d'ordre 2 et de variance inconnue $\sigma^2$. \r\rAlors l'estimateur linéaire de variance minimum parmi tous les estimateurs linéaires sans biais $(a,b)$ sont les estimateurs de moindre carré. \r\rPour aller plus loin, même résultat pour le modèle linéaire gaussien (les bruits sont gaussiens), avec en plus des renseignements qualitatifs sur ces estimateurs. |
2026-07-23T12:42:15.785310 |
2026-07-23T12:42:15.785310 |
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| 1319 |
Abel implique Césaro |
Énoncé : si une série converge au sens d'Abel, alors elle converge au sens de Césaro, et les sommes sont égales\r\r$$\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n r^n \underset{r \rightarrow 1}{\longrightarrow} S \Rightarrow \dfrac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n-1} \left(\sum_{m = 0}^{k}a_m\right) \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} S$$ |
2026-07-23T12:42:15.785336 |
2026-07-23T12:42:15.785337 |
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| 1320 |
Étude des zéros de l'EDO de Sturm-Liouville |
On étudie une solution d'une EDO, et on en déduit un équivalent du nombre de zéros de cette solution sur [0,n]. |
2026-07-23T12:42:15.785348 |
2026-07-23T12:42:15.785348 |
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| 1321 |
Théorème de Frobenius (Sous-groupe distingué d'un groupe fini) |
Oraux X-ENS Algèbre 1 (page 48) |
2026-07-23T12:42:15.785358 |
2026-07-23T12:42:15.785358 |
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| 1322 |
Développement asymptotique du nombre moyens de diviseurs |
Oraux X-ENS Algèbre 1\rOraux X-ENS Analyse 1 (pour la partie développement asymptotique)\r\rLeçon 230 : On étudie les sommes partielles d'une série divergente\rLeçon 224 : On effectue un développement asymptotique\r |
2026-07-23T12:42:15.785387 |
2026-07-23T12:42:15.785387 |
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| 1323 |
Théorème de Pappus |
Oraux X-ENS Algèbre 3 |
2026-07-23T12:42:15.785394 |
2026-07-23T12:42:15.785395 |
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| 1324 |
L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2] |
L'anneau $\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}]$ est un anneau principal non euclidien. |
2026-07-23T12:42:15.785406 |
2026-07-23T12:42:15.785407 |
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| 1325 |
Convergence d'une suite lente |
Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ vérifiant $f(x)=x-\alpha x^{p+1}+\beta x^{2p+1}+o_{x\to 0}(x^{2p+1})$ avec $\alpha\in\mathbb{R}_+^*, \beta\in\mathbb{R}^*, p\in\mathbb{N}^*$. Alors il existe $\eta>0$ tel que $f([0,\eta])\subset [0,\eta]$ et en posant $u_0\in ]0,\eta]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $\gamma:= \dfrac{(1+p)\alpha^2}{2}-\beta\eq 0$, on a\r$$\ru_n = \left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}-\dfrac{\gamma}{p^2\alpha^2}\left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}\dfrac{\ln(n)}{n}+o_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\ln(n)}{n^{1+\frac{1}{p}}}\right).\r$$\r\rOn l'applique, si on a le temps, à $f=\sin,\tan,\ln(1+\cdot),\sinh, etc.$. |
2026-07-23T12:42:15.785462 |
2026-07-23T12:42:15.785462 |
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| 1326 |
Inégalité de Kolmogorov pour les fonctions |
Pour une fonction $f : \mathbb{R}\to\mathbb{C}$, si $f^{(n)}$ existe et est bornée, on note $M_n = \Vert f^{(n)}\Vert_\infty$.\r\rOn montre ce qui suit.\r\r1) Soit $f \in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$. On suppose que $f,f''$ sont bornées sur $\mathbb{R}$. Alors \r$$\rM_1\le \sqrt{2M_0M_2}.\r$$\r\r2) Soit $f \in\mathcal{C}^n(\mathbb{R},\mathbb{C})$. On suppose que $M_0$ et $M_n$ sont finis. Alors pour tout $k\in [\![0,n]\!]$, $M_k$ est fini et \r$$\rM_k \le 2^\frac{k(n-k)}{2}M_0^{1-\frac{k}{n}}M_n^{\frac{k}{n}}.\r$$ |
2026-07-23T12:42:15.785499 |
2026-07-23T12:42:15.785500 |
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| 1327 |
Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications |
On démontre les résultats suivants.\r\r1) Les connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.\r\r2) [TVI] Soit $X$, un espace topologique connexe et $f : X\to\mathbb{R}$ continue. Alors $f(X)$ est un intervalle. En particulier, s'il existe $x,y\in X$ tel que $f(x)f(y)\le 0$, alors il existe $z\in X$ tel que $f(z)=0$.\r\r3) [TAF] Soit $a<b$. Soit $f : [a,b]\to F, g: [a,b]\to \mathbb{R}$ avec $F$, un Banach. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$ et que\r$$\r\forall t\in ]a,b[, \Vert f'(t)\Vert \le g'(t).\r$$\rAlors\r$$\r\Vert f(b)-f(a)\Vert \le g(b)-g(a).\r$$\r\r4) Application : Soit $U$, un ouvert de $E$ connexe. Soit $f : U\to E$ différentiable telle que $Df=0$. Alors $f$ est constante. |
2026-07-23T12:42:15.785546 |
2026-07-23T12:42:15.785546 |
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| 1328 |
Changement de variable polaire et interprétation du jacobien |
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2026-07-23T12:42:15.785553 |
2026-07-23T12:42:15.785553 |
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| 1329 |
Dualité des espaces $Lˆp$-$Lˆq$ |
On prouve, en utilisant le théorème de Radon-Nikodym que toute forme linéaire continue positive dans $Lˆp(\Omega, \mu)$ est caractérisé par une fonction dans $Lˆq$, pour p appartenant à [1, + \infty[, q et p étant conjuguées.\r\rLe développement est entièrement justifié pour les leçons 201, 208 et 234. Pour la leçon 235, il se recase assez naturellement car on utilise tous les outils classiques de la théorie de l'intégration (Beppo-Levi, convergence dominée, Fubini et le lemme de Fatou). Il faut alors axer le développement sur les différentes interventions et bien les justifier. |
2026-07-23T12:42:15.785580 |
2026-07-23T12:42:15.785580 |
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| 1330 |
Théorème de Birkhoff - Application au transport optimal |
On montre que toute matrice bi-stochastique (on note l'ensemble des matrices bistochastiques $B_n$) est combinaison convexe de matrices de permutations. Selon les leçons on peut montrer plusieurs points :\r- $B_n$ est un convexe compact\r- L'ensemble des points extrêmaux de $B_n$ est égale à l'ensemble des matrices de permutations (Birkhoff)\r- On montre que les extremums d'une forme linéaire sur un convexe compact se trouvent sur les points extrêmaux \r- Présentation d'un problème de transport optimal & résolution abstraite du problème\r\rLe théorème se déduit du théorème de Milmann, il est bon d'en connaître la preuve. A défault de proposer ce développement, les théorèmes de Krein-Milmann, Birkhoff & Caratheodory se recasent vraiment bien dans les leçons géométriques, sur la dimension finie en analyse, les formes linéaires ect... (Voir le livre d'algèbre linéaire de Patrice Tauvel) |
2026-07-23T12:42:15.785618 |
2026-07-23T12:42:15.785618 |
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| 1331 |
Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson) |
On démontre la formule de Stirling grâce au théorème central limite appliqué à des variables aléatoires i.i.d. suivant une loi de Poisson de paramètre 1. |
2026-07-23T12:42:15.785631 |
2026-07-23T12:42:15.785631 |
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| 1332 |
Van der Pol |
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2026-07-23T12:42:15.785637 |
2026-07-23T12:42:15.785637 |
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| 1333 |
Décomposition Polaire sous la forme A=exp(iΘ)R |
Soit A ∈ Mn(C), alors il existe une matrice hermitienne Θ \ret une matrice hermitienne positive R telles que A = exp(iΘ) R.\rSi A est inversible alors R et exp(iΘ) sont uniques, mais pas Θ.\r\rCeci, permet de généraliser la forme polaire bien connue sur C, z = r exp(iθ) \r |
2026-07-23T12:42:15.785654 |
2026-07-23T12:42:15.785654 |
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| 1334 |
PGCD avec la matrice de Sylvester |
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2026-07-23T12:42:15.785661 |
2026-07-23T12:42:15.785661 |
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| 1335 |
Principe de prolongement et applications simples |
J'ai construit ce développement en pensant principalement à la leçon connexité.\rLe but est de démontrer le principe du prolongement analytique et le principe des zéros isolés qui en découle.\rOn fait en suite un petit exercice d'application qui illustre bien l'utilisation de la connexité.\rTout est dans \"Tavel - Analyse complexe pour la licence 3\".\rPage 52 et 53 pour les principes et exercice 4.4 page 54 pour l'exercice. |
2026-07-23T12:42:15.785684 |
2026-07-23T12:42:15.785684 |
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| 1336 |
Densité de Lip([0, 1]) dans C([0, 1]) par Stone-Weirstrass |
Voir la référence |
2026-07-23T12:42:15.785692 |
2026-07-23T12:42:15.785692 |
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| 1337 |
Appoximation de l'unité et application |
On montre que l'on peut fabriquer des appoximations de l'unité à partir de densité de probabilités.\rOn utilise ensuite une approximation de l'unité quelconque pour donner une caratérisation des fonction L_inf ayant un représentant uniformément continu. |
2026-07-23T12:42:15.785709 |
2026-07-23T12:42:15.785709 |
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| 1338 |
Caractérisation des fonctions de L infini possédant un représentant uniformément continu. |
Soit $f \in L^\infty(\mathbb{R})$. $f$ admet un représentant uniformément continue si et seulement si\r$\tau_f : a \in \mathbb{R} \rightarrow f_a \in L^\infty(\mathbb{R})$ est continue.\rAvec $f_a(x) = f(x - a)$. |
2026-07-23T12:42:15.785729 |
2026-07-23T12:42:15.785730 |
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| 1339 |
Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques |
La base de la théorie L2 des séries de Fourier. Un développement simple et une petite application\r(Enoncé à venir ?) |
2026-07-23T12:42:15.785741 |
2026-07-23T12:42:15.785741 |
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| 1340 |
Approximations intégrales |
On étudie la précision des méthodes du trapèze, du point milieu et de simpson pour l'approximation numérique d'intégrales. |
2026-07-23T12:42:15.785752 |
2026-07-23T12:42:15.785753 |
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| 1341 |
Etude qualitative d'un modèle proie-prédateur |
On étudie qualitativement (orbites, ensemble limite) le système suivant :\r$\frac{dx}{dt} = x - xy - 2 x^2$\r$\frac{dy}{dt} = -2y + xy - y^2$ |
2026-07-23T12:42:15.785766 |
2026-07-23T12:42:15.785766 |
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| 1342 |
Résultant, discriminant, applications |
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2026-07-23T12:42:15.785772 |
2026-07-23T12:42:15.785773 |
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| 1343 |
Matrices à coefficients dans Z/nZ |
On calcule les cardinaux de plusieurs sous-ensembles de $M_r(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ et on montre que les morphismes de réduction \[ SL_r(\mathbb{Z})\rightarrow SL_r(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] sont surjectifs. |
2026-07-23T12:42:15.785790 |
2026-07-23T12:42:15.785790 |
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| 1344 |
Présentation du groupe symétrique |
On démontre que le groupe $\mathfrak{S}_n$ est bien égal à sa présentation de Coxeter, c'est-à-dire que :\[\mathfrak{S}_n = \langle \tau_1,\dots,\tau_{n-1}\ |\ \tau_i^2=1,\ \tau_i\tau_j=\tau_j\tau_i\ \text{si }|i-j|>1,\ (\tau_i\tau_{i+1})^3=1\rangle.\] |
2026-07-23T12:42:15.785816 |
2026-07-23T12:42:15.785816 |
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| 1345 |
Equation linéaire d'Euler |
Oraux X-ENS Analyse 4 |
2026-07-23T12:42:15.785825 |
2026-07-23T12:42:15.785825 |
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| 1346 |
Equation pendule simple |
Oraux X-ENS Analyse 4 |
2026-07-23T12:42:15.785832 |
2026-07-23T12:42:15.785832 |
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| 1347 |
Analyticité des fonctions holomorphes (par les séries de Fourier) |
On commence par démontrer que la série de Fourier d'une fonction f continue et C^1 par morceaux sur le tore converge normalement vers f. En corolaire on démontre qu'une fonction holomorphe sur un ouvert U (i.e. C dérivable de dérivée continue sur U) est analytique sur U. |
2026-07-23T12:42:15.785848 |
2026-07-23T12:42:15.785849 |
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| 1348 |
Stabilité d'un système à coefficients constants |
Oraux X-ENS Analyse 4 |
2026-07-23T12:42:15.785857 |
2026-07-23T12:42:15.785857 |
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| 1349 |
Théorème de Minkowski |
Oraux X-ENS Algèbre 3 |
2026-07-23T12:42:15.785864 |
2026-07-23T12:42:15.785864 |
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| 1350 |
Rotations de R^3 laissant un réseau invariant |
Oraux X-Ens algèbre 3 |
2026-07-23T12:42:15.785872 |
2026-07-23T12:42:15.785872 |
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| 1351 |
Les suites récurrentes linéaires d'ordre p forment un espace vectoriel engendré par des suites géométriques |
On démontre que $\forall (a_k)_{0 \leqslant k \leqslant p-1} \in \mathbb{C}^p, p \in \mathbb{N}$, si le polynôme de $\displaystyle{\mathbb{C}_p[X]$ $P = X^p + \sum_{k=0}^{p-1} a_k X^k}$ est scindé à racines simples sous la forme $\displaystyle{\prod_{k=0}^{p-1} (X - \lambda_k)}$, alors l'ensemble $\displaystyle{F = \left\{ u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \ \middle|\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_k u_{n+k} \right\}}$ est engendré par les suites géométriques $((\lambda_k)^n)_{n \in \mathbb{N}}$. Pour la 226, on notera bien entendu qu'on peut transformer $\displaystyle{\ u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_k u_{n+k}}$ en $\ U_{n+1} = f(U_n)$ en mettant tout sous forme de vecteurs-colonnes, comme avec les équations différentielles.\r |
2026-07-23T12:42:15.785921 |
2026-07-23T12:42:15.785921 |
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| 1352 |
Règle d'Abel |
On montre que : \rSi $(u_n)$ est une suite décroissante positive convergeant vers 0 \rEt si la suite des sommes partielles de $\sum v_n$ est bornée\rAlors la série $\sum u_n v_n$ converge. \r\rOn prendra ensuite deux ou trois exemples pour illustrer. |
2026-07-23T12:42:15.785938 |
2026-07-23T12:42:15.785938 |
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| 1353 |
Règle de Raabe-Duhamel, exemples |
Pour $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs, on montre que : \rS'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \dfrac{a}{n} + o\left (\dfrac{1}{n} \right )$ \rAlors $\sum u_n$ converge si $a > 1$ et diverge si $a < 1$.\rOn prendra deux ou trois exemples pour illustrer. |
2026-07-23T12:42:15.785959 |
2026-07-23T12:42:15.785959 |
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| 1354 |
Formule de Stirling par la méthode de Laplace |
-> On commence par montrer le lemme de Watson pour la transformée de Laplace :\rSoit $f$ une fonction intégrable au voisinage de 0 et à croissance au plus exponentielle en l'infini, on suppose de plus que $f$ admet un développement asymptotique en 0 de la forme :\r\r$f(x) = a_0 x^{\alpha_0} + \ldots a_n x^{\alpha_n} + O_0(x^{\alpha_{n + 1}})$\ravec $-1 < \alpha_0 < \ldots < \alpha_{n + 1}$\r\rAlors $\mathcal{L}(f) = \sum_{k = 0}^{n} a_k \frac{\Gamma(\alpha_k + 1)}{x^{\alpha_k + 1}} + O_{+\infty}(\frac{1}{x^{\alpha_{n + 1} + 1}})$\r\r-> On utilise ensuite ce lemme pour appliquer la méthode de Laplace à la fonction Gamma et retrouver ainsi l'équivalent de Stirling\r$\Gamma(x + 1) \sim_{+\infty} e^{-x}x^x\sqrt{2\pi x}$ |
2026-07-23T12:42:15.786001 |
2026-07-23T12:42:15.786002 |
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| 1356 |
Égalité de deux intégrales à paramètre |
On montre que $\displaystyle{\int_0^{+\infty}{\dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}dt} = \int_0^{+\infty}{\dfrac{\sin(t)}{x+t}dt}}$ pour tout $x \geqslant 0$ |
2026-07-23T12:42:15.786031 |
2026-07-23T12:42:15.786032 |
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| 1357 |
Calcul d'une intégrale grâce à un DSE |
On calcule $\displaystyle{\int_0^1{\dfrac{\ln(x)}{x^2+1}dx}}$ grâce à un développement en série entière. |
2026-07-23T12:42:15.786045 |
2026-07-23T12:42:15.786045 |
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| 1358 |
Classification des groupes à p^2 éléments |
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2026-07-23T12:42:15.786052 |
2026-07-23T12:42:15.786052 |
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| 1359 |
Classification des groupes d'ordre p^2 et 2p |
On cherche ici les classes d'isomorphisme des groupes d'ordre p^2 et 2p avec p un nombre premier. |
2026-07-23T12:42:15.786063 |
2026-07-23T12:42:15.786063 |
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| 1360 |
Décomposition de Dunford |
On donne ici une démonstration de la décomposition de Dunford ainsi qu'une application plutôt que le lemme des noyaux (qu'il faut malgré tout maîtriser !) pour être \"un peu plus original\". |
2026-07-23T12:42:15.786085 |
2026-07-23T12:42:15.786085 |
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| 1361 |
Inégalités de Jensen et application à l'espérance d'une variable aléatoire réelle. |
On montre dans un premier temps les inégalités de Jensen. On considère ensuite une variable aléatoire réelle X et une fonction f convexe telle que X et f(X) admettent une espérance finie. On applique l'inégalité à f(E(X)).\r\rIl s'agit d'un développement très simple à mettre en oeuvre; il faut bien détailler toutes les étapes pour tenir 15 minutes. Il peut être stratégique de le placer dans une leçon et se concentrer sur un développement plus complexe car c'est un développement qui a une faible probabilité d'être choisi par le jury. |
2026-07-23T12:42:15.786113 |
2026-07-23T12:42:15.786113 |
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| 1362 |
Fermés de L2(R) invariants par translation |
M est un sous espace fermé de L2(R) invariant par translation SSI M est de la forme {f dans L2(R) tq F(f) restreinte à E est nulle} où E est un borélien de R. |
2026-07-23T12:42:15.786125 |
2026-07-23T12:42:15.786125 |
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| 1364 |
Exemple de la trace |
Soit $q: M \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{R}) \mapsto tr( M^2)$. \r$q$ est une forme quadratique non dégénérée de rang $n^2$ et de signature $sign( q) = ( \frac{n (n+1)}{2}, \frac{n (n-1)}{2} )$.\rDe plus $S_n( \mathbb{R})^{\perp} = A_n( \mathbb{R})$. |
2026-07-23T12:42:15.786144 |
2026-07-23T12:42:15.786144 |
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| 1365 |
Théorème de d'Alembert Gauss |
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2026-07-23T12:42:15.786151 |
2026-07-23T12:42:15.786151 |
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| 1366 |
Théorème de Heine + Application |
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2026-07-23T12:42:15.786157 |
2026-07-23T12:42:15.786158 |
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| 1367 |
DA à 3 termes des log itérés |
On considère $u_0\in R_+^\ast$, et $u_{n+1}=\ln(u_n+1)$ pour $n\ge 0$. On veut trouver un développement asymptotique à 3 termes pour $(u_n)_n$. Plus précisément, on montre qu'il existe $C\in R$ tel que $u_n=\frac{2}{n}+\frac{2}{3}\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{C}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$.\r\rUn développement pas ultra intéressant mais pas débile non plus, qui possède un recasage qui, lui, est intéressant, notamment pour les leçons pas intéressantes du tout. |
2026-07-23T12:42:15.786185 |
2026-07-23T12:42:15.786185 |
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| 1368 |
LU+Choleski+QR |
On prouve, dans l'ordre, et chacune utilisant la précédente, l'existence et l'unicité de :\r- LU\r- Choleski\r- QR\r\rCe développement est tout bonnement indispensable. Vous voulez mettre quoi d'autre dans ces deux leçons horribles que sont la 154 et la 162 ? |
2026-07-23T12:42:15.786202 |
2026-07-23T12:42:15.786202 |
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| 1369 |
Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, 100% bio, sans abus de notation ni circonvolution |
On prouve un critère pour que $M_q=2^q-1$ soit premier, on en déduit un test algorithmique simple et rapide. C'est par cette méthode qu'on a construit les plus grands nombres premiers connus à ce jour !\r\rCette version du développement parvient à présenter la caractérisation des $M_q$ premiers et le test de Lucas-Lehmer en 15 minutes, en esquivant un calcul du Saux-Picard-Rannou qui n'est pas utile. |
2026-07-23T12:42:15.786224 |
2026-07-23T12:42:15.786224 |
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| 1370 |
Principe d'incertitude suédois |
Soit $f$ un élément de $\mathbb{L}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On note : $$A=\{t\in\mathbb{R}, f(t)\eq 0\} \text{ et } B=\{\xi\in\mathbb{R}, \hat{f}(\xi)\eq 0\}.$$\rSi $\lambda(A)<+\infty$ et $\lambda(B)<+\infty$ alors $f$ est nulle $\lambda$ presque partout. |
2026-07-23T12:42:15.786250 |
2026-07-23T12:42:15.786250 |
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| 1371 |
Théorème des deux carrés |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème des deux carrés dans l'anneau Z[i]. |
2026-07-23T12:42:15.786260 |
2026-07-23T12:42:15.786260 |
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| 1372 |
Décomposition LU et de Cholesky |
Le but de ce développement est de démontrer deux types de décompositions de matrices qui sont utilisés en analyse numérique lors de la résolution de systèmes. |
2026-07-23T12:42:15.786271 |
2026-07-23T12:42:15.786271 |
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| 1373 |
Dénombrement des endomorphismes nilpotents sur un corps fini |
Le but de ce développement est de déterminer le nombre d'endomorphismes nilpotents définis sur un corps fini. |
2026-07-23T12:42:15.786282 |
2026-07-23T12:42:15.786282 |
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| 1374 |
Dénombrement des polynômes unitaires irréductibles sur un corps fini |
Le but de ce développement est de déterminer le nombres de polynômes irréductibles sur un corps fini F_q en utilisant la fonction de Möbius. |
2026-07-23T12:42:15.786294 |
2026-07-23T12:42:15.786294 |
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| 1375 |
Déterminant circulant et suite de polygones |
Le but de ce développement est d’étudier la convergence d’une suite de polygone à l’aide d’un calcul préliminaire de déterminant. |
2026-07-23T12:42:15.786305 |
2026-07-23T12:42:15.786305 |
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| 1376 |
Dual de M_n(K) |
Le but de ce développement est de trouver le dual de M_n(K) et d’en déduire divers résultats. |
2026-07-23T12:42:15.786314 |
2026-07-23T12:42:15.786314 |
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| 1377 |
Étude de la fonction Γ sur R |
Le but de ce développement est de donner quelques résultats fondamentaux sur la\rfonction Γ d’Euler et d’en déduire l’allure de son graphe. |
2026-07-23T12:42:15.786326 |
2026-07-23T12:42:15.786326 |
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| 1378 |
Exposant d'un groupe |
Le but de ce développement est de redémontrer les propriétés classiques sur l’exposant d’un groupe et d’en déduire un résultat sur les sous-groupes de K^× (K étant un corps commutatif quelconque).\r |
2026-07-23T12:42:15.786339 |
2026-07-23T12:42:15.786339 |
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| 1379 |
Formule de Stirling par le TCL |
Le but de ce développement est de démontrer la formule de Stirling en utilisant les\rprobabilités et notamment le TCL. |
2026-07-23T12:42:15.786360 |
2026-07-23T12:42:15.786361 |
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| 1380 |
Formule de Stirling |
Le but de ce développement est de démontrer la formule de Stirling via l’utilisation des intégrales de Wallis.\r |
2026-07-23T12:42:15.786378 |
2026-07-23T12:42:15.786378 |
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| 1381 |
Formule d’Euler-Maclaurin |
Le but de ce développement est de démontrer la formule d’Euler-Maclaurin et d’en donner une application en donnant un développement asymptotique de la série harmonique à la précision 1/n^r .\r |
2026-07-23T12:42:15.786397 |
2026-07-23T12:42:15.786397 |
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| 1382 |
Générateurs de SL_n(K) et GL_n(K) |
Le but de ce développement est de montrer que SL_n(K) est engendré par les transvections et que GL_n(K) est engendré par les transvections et les dilatations et enfin de donner une application topologique.\r |
2026-07-23T12:42:15.786420 |
2026-07-23T12:42:15.786420 |
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| 1383 |
Groupe des isométries du cube |
Le but de ce développement est de déterminer le groupe des isométries qui laissent globalement invariant le cube. |
2026-07-23T12:42:15.786430 |
2026-07-23T12:42:15.786431 |
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| 1384 |
Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C) |
Le but de ce développement est de démontrer que l’exponentielle matricielle réalise un homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C) . |
2026-07-23T12:42:15.786441 |
2026-07-23T12:42:15.786441 |
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| 1385 |
Illustration du théorème des résidus |
Le but de ce développement est d’utiliser le théorème des résidus afin de calculer une intégrale (a priori non calculable via les théorèmes usuels). |
2026-07-23T12:42:15.786453 |
2026-07-23T12:42:15.786453 |
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| 1431 |
Théorème d'Hermite sur les formes quadratiques |
On montre un résultat de majoration sur le minimum d'une forme quadratique sur les points entiers. |
2026-07-23T12:42:15.787278 |
2026-07-23T12:42:15.787278 |
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| 1386 |
Injectivité de la transformation de Fourier |
Le but de ce développement est de montrer que la transformée de Fourier est injective (résultat très utile en théorie des probabilités via la fonction caractéristique). Pour cela, nous allons tout d’abord redémontrer un premier résultat préliminaire et la formule de dualité avant de passer à la démonstration. |
2026-07-23T12:42:15.786469 |
2026-07-23T12:42:15.786470 |
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| 1387 |
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X] |
Le but de ce développement est de montrer que les polynômes cyclotomiques sont irréductibles sur Q[X] dans le but d’obtenir le degré d’une extension particulière. |
2026-07-23T12:42:15.786481 |
2026-07-23T12:42:15.786481 |
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| 1388 |
Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R |
Le but de ce développement est de démontrer quelques résultats sur la signature d'une forme quadratique réelle. |
2026-07-23T12:42:15.786493 |
2026-07-23T12:42:15.786493 |
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| 1389 |
Matrices minimisant la norme sur SL_n(R) |
Le but de ce développement est de déterminer les matrices minimisant une certaine\rnorme sur SL_n(R). |
2026-07-23T12:42:15.786504 |
2026-07-23T12:42:15.786504 |
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| 1390 |
Convergence de la méthode de Newton |
Le but de ce développement est de démontrer l’efficacité de la méthode de Newton en termes de vitesse de convergence. |
2026-07-23T12:42:15.786514 |
2026-07-23T12:42:15.786514 |
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| 1391 |
Polynômes orthogonaux |
Le but de ce développement est de montrer que les polynômes orthogonaux associés à un certain poids ρ forment une base hilbertienne de L^2(]a; b[, ρ).\r |
2026-07-23T12:42:15.786525 |
2026-07-23T12:42:15.786525 |
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| 1392 |
Processus de Galton-Watson |
Le but de ce développement est d’étudier le processus de Galton-Watson afin d’obtenir des résultats asymptotiques avec des calculs de probabilité. |
2026-07-23T12:42:15.786535 |
2026-07-23T12:42:15.786535 |
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| 1393 |
Étude du processus de Galton-Watson |
Le but de ce développement est d’étudier le processus de Galton-Watson afin d’obtenir des résultats asymptotiques avec des calculs de probabilité. |
2026-07-23T12:42:15.786546 |
2026-07-23T12:42:15.786546 |
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| 1394 |
Résolution d’une EDO par DSE |
Le but de ce développement est de trouver des solutions d’une équation différentielle par développement en série entière. |
2026-07-23T12:42:15.786556 |
2026-07-23T12:42:15.786556 |
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| 1395 |
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5 |
Le but de ce développement est de démontrer que le groupe A_n est simple pour n = 3 et n ≥ 5 (c’est-à-dire qu’il ne possède aucun sous-groupe distingué non-trivial). Pour cela, nous allons d’abord utiliser le fait que A_n est engendré par les 3-cycles et que ceux-ci sont tous conjugués dans A_n puis ensuite utiliser ce résultat central pour démontrer que A_n est un groupe simple. |
2026-07-23T12:42:15.786574 |
2026-07-23T12:42:15.786574 |
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| 1396 |
Simplicité de SO_3(R) |
Le but de ce développement est de démontrer que le groupe SO3(R) est un groupe simple, c’est-à-dire qu’il n’admet pas de sous-groupes distingués non triviaux (c’est-àdire différent du groupe trivial et du groupe tout entier), grâce à une démonstration proche (dans le fond) de celle donnant la simplicité de An pour n ≥ 5. |
2026-07-23T12:42:15.786590 |
2026-07-23T12:42:15.786590 |
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| 1397 |
Surjectivité de l’exponentielle matricielle |
Le but de ce développement est de montrer que l’exponentielle réalise une surjection de M_n(C) dans GL_n(C) et d’en donner un corollaire. |
2026-07-23T12:42:15.786602 |
2026-07-23T12:42:15.786602 |
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| 1398 |
Le théorème d’Abel angulaire |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème d’Abel angulaire qui est un résultat de continuité de la somme d’une série entière. |
2026-07-23T12:42:15.786612 |
2026-07-23T12:42:15.786612 |
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| 1399 |
Théorème de Banach-Steinhaus |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Banach-Steinhaus et d’en donner une application aux séries de Fourier pour montrer qu’il existe une fonction f : R −→ C continue et 2π-périodique telle que sa série de Fourier diverge en 0. |
2026-07-23T12:42:15.786626 |
2026-07-23T12:42:15.786627 |
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| 1400 |
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside |
Le but de ce développement est de montrer le théorème de Burnside qui offre un cas où le fait qu’un groupe d’exposant fini est fini est vrai.\r |
2026-07-23T12:42:15.786638 |
2026-07-23T12:42:15.786638 |
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| 1401 |
Le théorème de Cauchy-Lipschitz local |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz local afin de montrer que tout problème de Cauchy admet une unique solution locale.\r |
2026-07-23T12:42:15.786649 |
2026-07-23T12:42:15.786650 |
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| 1402 |
Le théorème de Féjer |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Féjer et d’en donner un corollaire. |
2026-07-23T12:42:15.786659 |
2026-07-23T12:42:15.786659 |
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| 1403 |
Théorème de Gauss-Wantzel |
Le but de ce développement est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur l’entier n pour que le n-gone régulier soit constructible à la règle non graduée et au compas. |
2026-07-23T12:42:15.786670 |
2026-07-23T12:42:15.786670 |
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| 1404 |
Théorème de Lévy et théorème central limite |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Lévy qui est très pratique pour étudier la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires. |
2026-07-23T12:42:15.786681 |
2026-07-23T12:42:15.786682 |
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| 1405 |
Théorème de projection sur un convexe fermé |
Le but de ce développement est de montrer qu’il est possible de définir une projection sur un convexe fermé non vide d’un espace hilbertien (H, < ·; · >_H). |
2026-07-23T12:42:15.786693 |
2026-07-23T12:42:15.786693 |
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| 1406 |
Le théorème de Riesz |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Riesz qui est une caractérisation de la dimension finie grâce à la compacité de la boule unité.\r |
2026-07-23T12:42:15.786704 |
2026-07-23T12:42:15.786704 |
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| 1407 |
Théorème de Weierstrass |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Weierstrass qui permet d’obtenir un résultat de densité dans l’ensemble C^0([a; b], R). |
2026-07-23T12:42:15.786714 |
2026-07-23T12:42:15.786714 |
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| 1408 |
Le théorème des deux carrés |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème des deux carrés dans l’anneau Z[i]. |
2026-07-23T12:42:15.786723 |
2026-07-23T12:42:15.786723 |
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| 1409 |
Théorème des restes chinois et application |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème des restes chinois (grâce à un lemme préliminaire) dans le but de résoudre des systèmes d’équations diophantiennes dans Z/nZ par exemple.\r |
2026-07-23T12:42:15.786736 |
2026-07-23T12:42:15.786736 |
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| 1410 |
Théorème d’inversion locale |
Le but de ce développement est de démontrer le théorème d’inversion locale en calcul différentiel. |
2026-07-23T12:42:15.786745 |
2026-07-23T12:42:15.786745 |
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| 1411 |
Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse |
Ce développement et un grand paquet de goodies contenant :\r\r- L'irréductibilité des polynômes cyclotomiques\r- Si m est entier, alors (Progression arithmétique de Dirichlet, version faible ) il existe une infinité de p premiers congrus à 1 modulo m (l'intérêt est que ces deux résultats se prouvent de façon semblable)\r- (Application) Tous les groupes abéliens finis sont des quotients d'un groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z^\times$.\r- (bonus) les extensions cyclotomiques et leur groupe de galois\r- (bonus) un bonus : tout groupe abélien fini est isomorphe au groupe de Galois d'une extension galoisienne de $\mathbb Q$ |
2026-07-23T12:42:15.786778 |
2026-07-23T12:42:15.786779 |
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| 1432 |
Zéros de la fonction de Bessel |
On commence à montrer que l'équation de Bessel:\r\[\rxy''+y'+xy=0\r\]\ravec $y(0)=1$ admet une unique solution $J$ développable en série entière sur $\mathbb{R}^+$. Ensuite, on montre un théorème d'entrelacement de zéros (thm de Sturm) que l'on applique pour montrer que la solution $J$ admet un nombre infini de zéros sur $\mathbb{R}$. |
2026-07-23T12:42:15.787317 |
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Une version efficace et simple de l'algorithme de Berlekamp |
Prenez un polynômes $P$ à coefficients dans un corps fini de cardinal $q$. Notre but sera de le décomposer en irréductibles.\r\rL'algorithme de Berlekamp est souvent présenté comme une sorte de théorème qui permet d'exprimer $P$ comme un produit non trivial, et on nous dit d'itérer récursivement l'algorithme afin de scinder en irréductibles chaque facteur.\r\rMais c'est idiot : cela demanderait beaucoup de pivots de Gauss, et dans le pire des cas, on aurait une complexité en $O(q\deg(P)^4)$ (chaque pivot a, en effet, un coût cubique). \r\rCette version ne fait qu'un seul pivot de Gauss. L'algorithme obtenu est très simple à écrire et entièrement suffisant pour scinder un polynôme. Il n'est pas foncièrement différent de ce qui est fait classiquement. Sa complexité est de $O(q\deg(P)^3)$. |
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| 1413 |
Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre |
Un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont de module $\leq 1$ n'a que des racines qui sont racines de l'unité ! Corollaire : on peut plonger dans tous les sous-groupes finis de $GL_n(\mathbb Z)$ dans $GL_n(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ ! \r\rLa preuve du lemme de Kronecker s'inspire de la vidéo de Philippe Caldero (auteur de CVA et NH2G2) sur sa chaîne YouTube : « Kronecker : la méthode à Toto ! ». Elle passe par les matrices compagnon et une utilisation surprenante de la diagonalisablilité. Le développement commence par quelques prérequis utilisant le lemme de Gauss.\r\rCe développement n'est pas vraiment un doublon car il a des recasages un peu différents de la preuve habituelle.\rLe recasage dans Diagonalisabilité se justifie à deux endroits du développement. Le recasage dans Groupe Linéaire se justifie car $GL_n(\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb Q)$. Pour la leçon PGCD/PPCM : on regarde $P\wedge P'$, et on utilise quand même le lemme de Gauss (vous pouvez peut-être remplacer l'application au lemme de Serre par la preuve du lemme de Gauss sur le contenu, supposée admise dans ma version, afin d'encore mieux justifier le recasage). Pour la leçon Combinatoire : il y a un principe des tiroirs et le résultat final s'interprète comme une borne sur le cardinal. |
2026-07-23T12:42:15.786872 |
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| 1414 |
Théorème de Mason \"The Line\" Dixon. |
a) Soit $G$ un groupe fini. On tire deux éléments de $G$ de façon uniforme et indépendante. Alors la probabilité que ces deux éléments commutent dans $G$ vaut soit $1$, soit elle est majorée par $\frac{5}{8}$.\r\rb) Dans le cas du groupe diédral $D_8$ (ou $D_4$) cette probabilité vaut exactement $\frac{5}{8}$.\r\r$\underline{\textit{Ref}}$ : Exercices de mathématiques pour l'agrégation interne - Pulkowski, Montagnon (pages 50-53). |
2026-07-23T12:42:15.786896 |
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| 1415 |
Formule d'inversion de Möbius et dénombrement des polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_q$ |
Il s'agit de démontrer la formule d'inversion de Möbius relative à la fonction de Möbius, et d'en déduire le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$. |
2026-07-23T12:42:15.786913 |
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| 1416 |
Equation de la chaleur |
Il s'agit de résoudre l'équation de la chaleur avec une certaine condition initiale, le résultat est le suivant : \r\rSoit $u_0 : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ non nulle, continue, 2$\pi$-périodique, $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Le problème suivant :\r$$\begin{cases}\r\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\\r\forall x \in \mathbb{R}, u(0,x)=u_0(x)\r\end{cases}$$\rpossède une unique solution continue sur $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$ |
2026-07-23T12:42:15.786953 |
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| 1417 |
Somme des 1/n^2 |
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2026-07-23T12:42:15.786960 |
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| 1418 |
Somme des 1/n^2 (version relation coef racine) |
On démontre que la somme des inverses de carrés vaut $\pi^2/6$, en utilisant des relations coef racines |
2026-07-23T12:42:15.786971 |
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| 1419 |
Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ |
Soit $q=p^n$ avec $p$ premier, $n \in \mathbb{N}^*$. Il s'agit de montrer que le nombre de matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ est $q^{d(d-1)}$. |
2026-07-23T12:42:15.786988 |
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| 1420 |
Suite des Arctan itérés |
Il s'agit d'étudier la suite définie comme suit :\r$$\begin{cases}\ru_0 \in ]0;1]\\\r\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\text{Arctan}(u_n)\r\end{cases}$$\rOn montre rapidement qu'elle converge vers 0, puis on en détermine un équivalent et un développement asymptotique. |
2026-07-23T12:42:15.787011 |
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| 1421 |
Théorème de Cauchy-Lipschitz, cas globalement lipschitzien et cas linéaire |
Il s'agit de démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas où la fonction $f$ est globalement lipschitzienne (voir l'énoncé) et d'en déduire le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. |
2026-07-23T12:42:15.787027 |
2026-07-23T12:42:15.787027 |
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| 1422 |
Etude de la fonction Gamma et lemme d'Euler |
Il s'agit de montrer que la fonction Gamma est bien définie, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$, log-convexe et qu'elle vérifie la relation : $\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. \rOn montre également le lemme d'Euler, qui exprime $\Gamma(x)$ comme une limite. |
2026-07-23T12:42:15.787051 |
2026-07-23T12:42:15.787051 |
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| 1423 |
Etude de la fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup |
On étudie la fonction Gamma en montrant qu'elle est bien définie, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et qu'elle vérifie la relation : $\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$.\rOn montre ensuite le théorème de Bohr-Mollerup selon lequel une fonction qui vérifie ces conditions est la fonction Gamma à une constante multiplicative près. |
2026-07-23T12:42:15.787084 |
2026-07-23T12:42:15.787084 |
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| 1424 |
Théorème de Cartan-Dieudonné (générateurs de O(q) et SO(q)) |
Soit $q$ une forme quadratique définie positive (sa forme polaire est un produit scalaire). Il s'agit de montrer que $O(q)$ est engendré par les réflexions (et de préciser combien de réflexions suffisent pour décomposer $u \in O(q)$) et que $SO(q)$ est engendré par les renversements. |
2026-07-23T12:42:15.787109 |
2026-07-23T12:42:15.787110 |
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| 1425 |
Théorème des extrema liés (par les sous-variétés) |
Il s'agit de montrer le théorème des extrema liés (ou des multiplicateurs de Lagrange) en utilisant le théorème de submersion des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ et la notion d'espace tangent. |
2026-07-23T12:42:15.787131 |
2026-07-23T12:42:15.787131 |
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| 1426 |
Equation de Bessel |
On étudie les solutions développables en série entière en 0 de l'équation $(E) : xy''+y'+xy=0$. On montre qu'il existe de telles solutions puis, étant données $f_0$ la solution DSE de $(E)$ telle que $f_0(0)=1$ et $f$ une autre solution de $(E)$ sur $]0;a[$, on donne une condition nécessaire et suffisante pour que $(f,f_0)$ soit libre (et forme donc une base de solutions de $(E)$). |
2026-07-23T12:42:15.787170 |
2026-07-23T12:42:15.787170 |
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| 1427 |
Critère de Sylvester |
Ce développement présente deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice symétrique soit définie positive : une par les valeurs propres, une autre par les mineurs principaux.\r |
2026-07-23T12:42:15.787194 |
2026-07-23T12:42:15.787194 |
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| 1428 |
Nombre de dérangements de $\mathfrak{S}_n$ |
Il s'agit de dénombrer le nombre de dérangements dans $\mathfrak{S}_n$, c'est-à-dire de permutation sans point fixe. On applique ensuite le résultat à l'étude d'une variable aléatoire qui compte le nombre de points fixes d'une permutation fixée. |
2026-07-23T12:42:15.787226 |
2026-07-23T12:42:15.787226 |
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| 1429 |
Fonction caractéristique caractérise la loi + Théorème de Lévy |
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2026-07-23T12:42:15.787242 |
2026-07-23T12:42:15.787242 |
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| 1430 |
Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ) |
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2026-07-23T12:42:15.787256 |
2026-07-23T12:42:15.787256 |
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| 1433 |
Réciproque de la formule de Taylor |
Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle ouvert et $f: I \to \mathbb{R}$. On suppose qu'il existe des applications continues $a_k : I \to \mathbb{R}$ pour $k=0,...,n$, telles que en posant pour tout $x,x+h \in I$,\r\[\rR_n(x,h)=f(x,h)-\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)\frac{h^k}{k!}\r\]\ron ait pour tout $a \in I$,\r\[\r\lim_{(x,h)\to(a,0)} \frac{R_n(x,h)}{||h||^n} = 0.\r\]\rAlors, $f\in C^n(I)$ et $a_k = f^{(k)}$ pour tout k=0,...,n. |
2026-07-23T12:42:15.787371 |
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| 1434 |
Théorème de Fejér $L^p$ (approximation de l'identité) |
On démontre la version $L^p$ du théorème de convergence des approximations de l'identité. On l'applique ensuite pour démontrer le théorème de Fejér $L^p$ sur les séries de Fourier. |
2026-07-23T12:42:15.787397 |
2026-07-23T12:42:15.787397 |
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| 1435 |
C* n'est pas simplement connexe |
Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega$, on montre que si $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont deux chemins homotopes (dans $\Omega$) alors $\int_{\gamma_{0}} f = \int_{\gamma_{1}} f$. On en déduit que $\mathbb C^\ast$ n'est pas simplement connexe, en appliquant ce résultat à $f(z) = \frac{1}{z}$ et au lacet $\gamma(t) = e^{2 i \pi t}$ |
2026-07-23T12:42:15.787439 |
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| 1436 |
Critère de nilpotence par la trace [doublon] |
Soit $A \in M_n(\mathbb C)$, on montre que $A$ est nilpotente si et seulement si $A^k$ est de trace nulle pour tout $1 \leq k \leq n$\r\r(A l'heure où j'écris ces lignes, il y a déjà un post pour ce développement, mais il n'y a pas d'énoncé et aucun post donc je me permet de faire une nouvelle version) |
2026-07-23T12:42:15.787477 |
2026-07-23T12:42:15.787477 |
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| 1437 |
Tests de primalité |
Enchaînement du critère de Korselt sur les nombres de Carmichael (en expliquant qu'ils sont donc un obstacle au bon fonctionnement du test découlant naturellement du théorème de Fermat), et de l'équivalence qui fournit le test de Solovay-Strassen (en sachant que le critère de Carmichael sert pour cette équivalence, donc ça fait un double lien) |
2026-07-23T12:42:15.787514 |
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| 1438 |
Nombre de points fixes d'une permutation aléatoire (convergences) |
On présente un algorithme pour simuler des permutations aléatoires uniformes, puis on s'en sert pour montrer différentes convergences du nombre de cycles d'une permutation aléatoire, notamment une convergence presque sûre et une convergence en loi.\r |
2026-07-23T12:42:15.787541 |
2026-07-23T12:42:15.787542 |
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| 1439 |
Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq |
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2026-07-23T12:42:15.787552 |
2026-07-23T12:42:15.787552 |
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| 1440 |
Cayley-Hamilton amélioré |
Théorème : \r $ \mu_A \mid \chi_A \mid \mu_A^n $\r\rDémonstration par le polynôme minimal local de u en x et matrices compagnons |
2026-07-23T12:42:15.787573 |
2026-07-23T12:42:15.787573 |
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| 1441 |
Un problème de dénombremement sur les corps finis : Le problème de Kakeya |
Initialement, le problème de Kakeya consiste à retourner une aiguille de longueur 1 sur le plan $\mathbb{R}^2$. La question étant ”Quelle est l’aire minimal à couvrir pour retourner une aiguille”. Généralisant l'idée selon laquelle, lorsque que l’on retourne l’aiguille, on a nécessairement parcouru toutes les directions du plan, on se demande alors, étant donné un espace affine sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ de dimension $n$, combien de points doit-on prendre pour s’assurer d’avoir une droite contenant chacunedes directions de l’espace affine ? Un tel espace est appelé espace de Kakeya.\r\rPlus formellement, on montre que pour tout $K$ espace de Kakeya : \r$\begin{equation}\r|K|\geq \frac{1}{n!}q^n\r\end{equation}$ |
2026-07-23T12:42:15.787628 |
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| 1442 |
Calcul de l'intégrale sur $\mathbb{R}^+$ de $\frac{\log(t^2)}{1+t^2}$ |
On calcule l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{\log(t^2)}{1+t^2}\mathrm{d}t$ par le théorème des résidus |
2026-07-23T12:42:15.787646 |
2026-07-23T12:42:15.787646 |
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| 1443 |
Formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson dans l'espace de Schwartz |
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2026-07-23T12:42:15.787655 |
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