Développement #1325

Titre : Convergence d'une suite lente

Contenu : Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ vérifiant $f(x)=x-\alpha x^{p+1}+\beta x^{2p+1}+o_{x\to 0}(x^{2p+1})$ avec $\alpha\in\mathbb{R}_+^*, \beta\in\mathbb{R}^*, p\in\mathbb{N}^*$. Alors il existe $\eta>0$ tel que $f([0,\eta])\subset [0,\eta]$ et en posant $u_0\in ]0,\eta]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $\gamma:= \dfrac{(1+p)\alpha^2}{2}-\beta\eq 0$, on a\r$$\ru_n = \left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}-\dfrac{\gamma}{p^2\alpha^2}\left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}\dfrac{\ln(n)}{n}+o_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\ln(n)}{n^{1+\frac{1}{p}}}\right).\r$$\r\rOn l'applique, si on a le temps, à $f=\sin,\tan,\ln(1+\cdot),\sinh, etc.$.

Créé le : 23/07/2026 12:42

Mis à jour : 23/07/2026 12:42