Développement #1284

Titre : Théorème de Wiener-Ikehara

Contenu : C'est un joli développement qui mélange plusieurs aspects de l'analyse (un peu calculatoire) : Séries de fonctions, transformation de Fourier (de manière assez surprenante !), interversion de symboles (convergence dominée, monotone) et des estimations non triviales. \rAttention, je pense qu'il faut être vraiment à l'aise de base avec les séries de Dirichlet pour les éventuelles questions de jury et surtout ce développement peut mener à une pente assez glissante car on peut prouver le théorème des nombres premiers ensuite (typiquement si le jury demande un exemple d'application de ce résultat).\r\rSoit $\displaystyle{F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{ n^{s}}}$ une série de Dirichlet avec $b_n \geqslant 0$ pour tout $n \geqslant 1$. On suppose que : \r\r - La série de Dirichlet $F(s)$ converge pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mathcal{R}\textit{e}(s) > 1$,\r - $F$ peut être prolongée en une fonction méromorphe sur le demi-plan $\{ s \in \mathbb{C} \vert \Re(s) \geqslant 1\}$ et de plus $F$ ne possède pas de pôle excepté en $s=1$ où son résidu vaut $R > 0$.\r\r\rAlors on a l'estimation suivante quand $x \to +\infty$ : \r\[B(x):=\sum_{n \leqslant x} b_{n}=R x+o(x). \]

Créé le : 23/07/2026 12:42

Mis à jour : 23/07/2026 12:42