Développement #1413

Titre : Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre

Contenu : Un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont de module $\leq 1$ n'a que des racines qui sont racines de l'unité ! Corollaire : on peut plonger dans tous les sous-groupes finis de $GL_n(\mathbb Z)$ dans $GL_n(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ ! \r\rLa preuve du lemme de Kronecker s'inspire de la vidéo de Philippe Caldero (auteur de CVA et NH2G2) sur sa chaîne YouTube : « Kronecker : la méthode à Toto ! ». Elle passe par les matrices compagnon et une utilisation surprenante de la diagonalisablilité. Le développement commence par quelques prérequis utilisant le lemme de Gauss.\r\rCe développement n'est pas vraiment un doublon car il a des recasages un peu différents de la preuve habituelle.\rLe recasage dans Diagonalisabilité se justifie à deux endroits du développement. Le recasage dans Groupe Linéaire se justifie car $GL_n(\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb Q)$. Pour la leçon PGCD/PPCM : on regarde $P\wedge P'$, et on utilise quand même le lemme de Gauss (vous pouvez peut-être remplacer l'application au lemme de Serre par la preuve du lemme de Gauss sur le contenu, supposée admise dans ma version, afin d'encore mieux justifier le recasage). Pour la leçon Combinatoire : il y a un principe des tiroirs et le résultat final s'interprète comme une borne sur le cardinal.

Créé le : 23/07/2026 12:42

Mis à jour : 23/07/2026 12:42