101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je tire la leçon sur les actions de groupes qui est une de mes leçons préférées. J’ai axé mon plan comme ci : Actions de groupe : généralités a) Premières définitions b) Equations aux classes II) Action d’un groupe sur lui-même a) Action par translation b) Action par conjugaison c) Action par translation des classes III) Actions remarquables sur les matrices et les espaces vectoriels a) Actions sur les groupes de matrices b) Isomophismes exceptionnels Je rentre donc dans la salle confiant. Trois jurys : une femme (J1) et deux hommes (J2 et J3). Les 6 minutes de présentation se déroulent bien, je proposais en développement « Nombre de matrices diagonalisables dans Mn(Fq) » et « Isomorphisme entre PGL2(F5) et S5 », ils ont choisi le second. Pas de souci dans l’exécution du développement. Aucune question sur le développement, aucune question sur le plan. Premiere question : dénombrer le nombre de sev de dimension p dans un Fq espace vectoriel de dimension n. Catastrophe, j’avais déjà vu cette question beaucoup de fois mais je tiens absolument a poser une action de GLn sur les sous espaces de dimension p… par conjugaison ! (Ce qui n’a pas de sens), donc ils me demandent de poser mon action bien proprement, je me rends compte que ça ne va pas, je m’embrouille et au final j’en suis réduit à bugguer sur des matrices de passages, sous le regard impatient de J1 et J2. On passe à autre chose sans conclure. Le reste de l’oral a consisté à tracer pour rattraper mon énorme boulette : _ J2 : Caractérisation de l’orbite pour l’action à gauche de Gln(K) sur Mn(K) ? (Le noyau) _ J2 : Pour l’action à droite ? (L’image) _ J3 : Pour l’action d’équivalence, qu’est ce qui se passe sur un anneau, par exemple Z ? (j’ai pas eu le réflexe de parler des invariants de Smith, dommage ça aurait fait le lien avec Frobenius dont je parlais dans mon plan) _ J1 : un peu de géométrie (stress technique a ce moment la) : quelle notion que vous connaissez bien peut être vu sous le prisme des actions de groupe ? (la c’est devenu devinette) _ Baz : Je sais que l’on peut utiliser les actions de groupes pour trouver des isomorphismes entre certains groupes de permutation et les isométries du cube et du tétraèdre mais je ne pourrais pas en dire plus _ J1 : plus simple _ Baz : peut être le groupe diédral que l’on peut voir muni d’une action naturelle sur le polygone régulier _ J1 : plus simple _ Baz : peut être la notion d’espace affine que l’on peut voir comme la donnée d’un espace vectoriel qui agit de manière simplement transitive sur un ensemble de points. _ J1 : plus simple, niveau collège : l’angle _ Baz : on considère l’action de On(R) sur les couples de vecteur, une orbite est totalement caractérisée par l’angle entre ces vecteurs (je dis ça mais je sais pas vraiment ce qu’elle attendait) _ J1 : Donner des invariants pour l’action par congruence : le rang, le discriminant (de la est venue la classification des formes quadratiques sur R et sur C) Enfin un exercice : que dire de l’action de GLn(R) sur Sn++(R) x Sn++(R) définie par P.(S1, S2)=(PS1P^t, PS2P^t). J’ai dit que par Sylvester, il existe P telle que PS1P^t vaut la matrice identité. A partir de la, je peux faire agir le groupe orthogonal comme je veux ça restera l’identité à gauche, donc j’utilise le théorème spectral pour diagonaliser la matrice de droite. Ainsi, dans toute orbite il y a donc (I_n, D) ou D est diagonale, l’oral s’arrête la dessus.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très impatient au moment de ma boulette du début. Autrement benef franchement.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Les trois heures de préparation se sont bien passées, j’étais plutôt confiant. Petite difficulté au moment de relire les développements à la fin : je les avais pas mal retravaillés et retouchés par rapport aux bouquins donc quand j’ai du relire sur ces derniers c’était un peu compliqué de retrouver le fil, en particulier la fin de mon dev sur l’isomorphisme exceptionnel que je ne faisais pas du tout comme dans Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométrie qui était ma référence. Au final, j’ai réussi à la trouver de tête deux minutes avant la fin. Conseil : travaillez bien avec les bouquins ou ayez bien confiance en votre mémoire. Autrement, j'aurais cru que bugguer sur des matrices de passages plafonnerait d'office ma note à 10 grand max, apparement c'est pas le cas donc bonne surprise.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan défendu en 6 minutes, développement présenté en 14 minutes et 30 secondes. D'abord des questions difficiles sur le développement, notamment sur SL2(R). J'ai eu l'impression qu'on voulait me diriger vers la notion de géométrie projective avec laquelle je ne me sentais pas tout à fait à l'aise. Pour conclure les questions sur le développement, on a essayé de me faire dire (en vain !) : \"le revêtement universel de toute surface de Riemann connexe est une surface de Riemann simplement connexe isomorphe à C, S2 ou à H\". J'ai ensuite eu une question pour clarifier un item de mon plan (un groupe d'ordre 15 est cyclique). Pour les exercices, on m'a d'abord demandé quelles étaient les orbites de l'action de Sn sur lui-même par conjugaison. Ensuite, on m'a demandé combien on avait d'orbites pour l'action de Sn sur les couples d'entiers. L'oral s'est terminé sur la question suivante : combien y a-t-il d'orbites pour l'action de GL4(R) sur les couples (V,W) de sev de R4 tels que dimV=3 et dimW=2 (discussion sur la dimension de l'intersection de V et W).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très aidant, rassurant et sympathique.

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Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1. Opérations de groupes 1.1. Qualifications 1.2. Orbites et stabilisateurs 2. Étude des $p$-groupes 3. Le groupe alterné 4. Pivot de Gauss Jury : Vous pouvez revenir sur le début du développement, vous avez écrit $p\wedge |H\cap aSa^{-1}|=1$ Candidat : Ah oui je me suis trompé, je voulais écrire $p\wedge [H:H\cap aSa^{-1}]=1$. J : Et ducoup, si on revient un petit peu avant, vous pouvez être plus précis sur l'équation aux classes, c'est sûrement pour ça que vous avez fait l'erreur. C : Oui, on peut écrire plutôt $[G:S]=\sum[H:H\cap aSa^{-1}]$ J : Vous faites un raisonnement par l'absurde en début de preuve, c'est pas très clair votre formulation. C : Je précise. J : Pourquoi on appelle un groupe simple un groupe simple ? C : Je m'engage sur quelque chose que je ne maîtrise pas mais l'idée est une analogie avec la décomposition en facteurs premiers avec les entiers, les groupes simples jouent le rôle de \"briques\" pour construire les groupes. J : Vous citez le théorème de Wedderburn, au passage la terminologie est pas très bonne puisque aujourd'hui les corps sont supposés commutatifs. Vous avez un exemple de corps non commutatif ? C : Les quaternions, on peut voir ça comme une extension des complexes. J : Vous utilisez dans la preuve de Sylow qu'un groupe se plonge dans un groupe linéaire. Ça marche pour tout groupe ? C : Oui s'il est fini. On va chercher un contre-exemple infini... (Je n'ai pas osé prononcer les mots \"groupe libre\"). J : Si vous savez pas c'est pas grave, la réponse n'est pas simple. J : Vous citez l'algorithme de Gauss, en quoi l'existence de $P$ telle que $PA$ soit triangulaire est importante ? C : Ça permet d'écrire un système linéaire sous forme échelonnée et de résoudre par un algorithme de remontée qui est moins coûteux. J : Et la matrice $P$ vous pouvez en dire ? C : C'est un produit de transvections et éventuellement de permutations si on a des pivots nuls. (Après réflexion je pense que c'était surtout ça qui l'intéressait, pour esquisser les générateurs de $GL_n(\mathbf{R})$). J : Vous faites agir les matrices sur elles-même, c'est un peu redondant. Sur quoi d'autre on peut les faire agir ? C : Des vecteurs ? On peut penser aux isométries qui préservent la norme par exemple. J : On fait agir $GL_n(\mathbf{R})$ sur l'ensemble des compacts convexes de $\mathbf{R}^n$. Je vous laisse définir l'action. C : $A\cdot K=\left\{Ax\mid x\in K\right\}$ Je montre que c'est une action bien définie. J : On fait agir $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ sur la boule unité. Quels est le stabilisateur de la boule ? C : Je propose les isométries, je montre qu'elles stabilisent bien. Réciproquement si je prends $A$ dans le stabilisateur, ... J : En fait il suffira de montrer que c'est bon sur la sphère. C'est bon. J : Si $G$ est de taille $33$ et agit sur $X$ de taille $19$, montrez qu'il existe une orbite triviale. C : Je m'embrouille dans mes arguments et de l'arithmétique débile mais je finis par y arriver. J : Est-ce que vous pouvez me rappeler la définition de $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}_3)$ ? C : Je réponds un quotient de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_3)$ par son centre. J : Oui on définit pas trop comme ça d'habitude. C'est quoi le centre ? C'est les matrices scalaires. Là je me souviens plus trop des questions, l'objectif était de montrer l'isomorphisme avec $\mathfrak{S}_4$. J'ai galéré comme pas possible, j'ai réussi à sortir une action sur les droites vectorielles et puis ensuite c'était un fiasco total. Je comprenais pas grand chose à ce que voulait le jury.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury accueillant. Intervenait quand je disais des bourdes, me laissait tout de même réfléchir un instant avant de m'aider.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai su montrer que je connaissais mon cours, cependant les questions ne volaient pas très haut. Je ne miserais pas sur une note très élevée. Édition : Après avoir pris connaissance de mes résultats et bien ressassé mes oraux, je pense que ce qui m'a valu cette note était un plan simple et modeste de 35 items mais aussi une bonne connaissance du cours. Je ne suis pas à l'aise en algèbre et je l'ai fait comprendre au jury d'entrée de jeux en me plaçant au niveau du programme du concours. Seul le développement n'était pas au programme mais difficile de s'en passer sur cette leçon. Pour le dire vulgairement, je n'ai pas joué au con en proposant des choses qui me dépassaient. C'est le jury qui est venu me chercher sur du hors programme avec ses questions sur les groupes libres et les groupes projectifs, pas l'inverse.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve. Puis me disent que je peux quand je le souhaite. Je commence par présenter mon plan de leçon (environ 6'10 - le jury ne m'arrête pas malgré ce léger dépassement). Puis tous les membres du jury étaient d'accord pour prendre mon développement sur le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd sur un corps de cardinal q. Ils me rappellent que je peux regarder BRIÈVEMENT mes notes (ce que je ne fais pas connaissant bien ce développement l'ayant présenté 2 fois au cours de l'année de préparation) Je fais exprès lors de ce développement de passé sous silence le cardlinal de GLn(Fq) qui fera l'objet de ma première question du jury (perche tendue prise). Puis le jury n'ayant pas d'autres questions sur le développement, celui-ci passe aux questions réponses. Voici les différentes questions qui m'ont été posées : 1) Ayant parlé dans la leçon des différentes actions sur les espaces de matrices, donc ayant parlé de la matrice Jr relié à la relation d'équivalence et du rang. Le jury me demande la classe de similitude de Jr. R: Je sèche, ceux-ci me posent diverses questions (en terme de sous-espaces stables etc...). Après quelques échanges, sur avoir seulement 0,1 comme valeurs propres de dimension exactement n-r et r, on arrive enfin au fait que ces matrices sont celles des projecteurs. 2) Montrer que A4 n'est pas engendré par les 3 cycles R: (en posant une action de A4 sur le sous-groupe engendré par les 3 cycles par conjugaison) puis en supposant par l'absurde que cela était le cas, en appliquant la relation orbite stabilisateur, on obtient une contradiction 3) Considérons E un ensemble fini non multiple de p premier et sigma une permutation d'ordre p. Montrer que sigma a un point fixe. R: Passer par l'absurde et écrire la décomposition en cycle à support disjoint de sigma. Or l'ordre de sigma est le ppcm des ordres de cycles à support disjoint. Celui-ci étant p, tout les cycles sont d'ordre p, ou 1. Puis en écrivant l'équation aux classes associé à l'action du sous-groupe engendré par sigma sur E. On obtient une contradiction. (Cette question j'avais toutes les idées, mais un peu de mal à mettre en place, le jury m'a accompagné tranquillement quand je bloquais) 4) Considérons u un endormorphisme diagonalisable de E un K-ev de dimension n. Déterminer la dimension du commutant de u (La j'avoue que j'ai vu ça j'ai totalement bloqué, je voyais pas le lien avec ma leçon, spoiler : y'en avait pas. - j'ai essayé de poser une action par conjugaison depuis le groupe linéaire sur L(E). Mais ça n'aboutissait pas. Le jury m'a conseillé de regardé deux cas extrêmes : a) u une homothétie b) u possède n valeurs propres distinctes) R : dim C(u) = la somme des ( multiplicité des espaces propres) au carré. En s'intéressant à l'écriture matricielle voire : http://mpstar.lamartin.free.fr/fichiers/matieres-640-1413608066.pdf par exemple 5) (On a parlé un moment pendant l'oral d'endomorphismes cycliques à la question 4) donc on est revenu brièvement dessus à la toute fin de l'oral alors qu'il restait 1 minute). Le jury m'a demandé de redonner précisément ma définition d'endomorphisme cyclique : R: il existe x0 dans E, tel que (x0,u(x0),...,u^n-1(x0)) est une base de E. 6) Il restait 10 secondes (le jury me l'a fait savoir en posant la question). Quel x0 conviendrait si on considère u diagonalisable à n v.p simples pour montrer que u est cycliques ? R: x= sommes des x_i où les x_i sont des vecteurs.p associés aux v.p Mon impression en sortant : L'impression d'avoir bien géré mes 6 minutes, d'avoir bien fait mon développement (pas de questions dessus), mais d'avoir bloqué sur les questions, où ils devaient de temps en temps me donner des indications. Spoiler : ne vous écoutez pas toujours, vous êtes le moins bon pour vous juger après une épreuve !! RMQ : 1 visiteur

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très agréable (composé de deux hommes et une femme, et dirigé par un des deux hommes), qui laisse le temps de réfléchir s'il voit que vous cherchez, mais qui n'hésite pas aussi à vous aider si vous bloquer, à vous donner des indications. Jury qui vous conseille d'avoir confiance en vous, que la réponse est là. Très plaisant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est passé comme prévu, pas de surprises, comme lors de la préparation toute l'année. Concernant la préparation, pensez à profiter des 15 minutes de battements pour relire tranquillement vos développements prise en note pendant la préparation, et à revenir sur vos 6 minutes !

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Dans Lie-Kolchin, où vous servez vous de l'hypothèse \"G non abélien\"? -A la fin on écrit D^(l-1)(G)=D(D^(l-2)(G)), ce qui n'est possible que parce que l>=2, car G non abélien. Montrez le théorème de trigonalisation simultanée dans le cas abélien? -On a plus besoins d'aucune hypothèse sur la partie si ce n'est qu'elle est abélienne. La récurrence ce passera exactement comme dans Lie-Kolchin. Le cas trivial est le cas où tous les éléments sont des homotéthies. Sinon il existe un élément qui a un sous-espace propre non triviale et non tout l'espace, c'est ce sous espace qui permet de conclure par récurrence sur la dimension. Connaissez-vous un exemple de sous groupe résoluble connexe de GLn(C)? -Le sous groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles. Plusieurs définitions équivalentes de groupe résoluble? -Définition par le groupe dérivée et par la suite de sous groupes distingués. Décrire les classes de conjugaison de Sn? -Une classe est déterminée par une partition de n. Les donner et les dénombrer pour n=5. Quels sont les éléments du groupe symétrique qui peuvent s'écrire comme des carrées? -On regarde d'abord ce qui ce passe sur les cycles et on voit que les carrées sont les éléments qui n'ont dans leur décomposition en cycles à supports disjoints que des cycles impairs et des paires de cycles pairs. (Il m'a fallut pas mal d'aide pour celle là) Si l'on choisit uniformément deux éléments dans un groupe fini G peut on estmer la proba qu'ils commutent l'un avec l'autre? -Je n'ai pas réussi à conclure. Si G est abélien la prob est 1 sinon: on écrit ce que l'on cherche à calculer comme un quotient, puis on développe ça comme une somme sur les éléments de G, comme G est abélien #(G/Z(G))>=4, c'est cette inégalité qui pourra nous aider. Pouvez vous montrer que le centre d'un p-groupe est non trivial? -Démonstration classique. Quels sont le groupe d'ordre 49? -Selon le thm de structure des GAF, il n'y a que deux groupes abéliens non isomorphes, tous les groupes d'ordre p^2 sont abéliens. Les groupes d'ordre p^2? -Même réponse il suffit de changer 7 par p. On a une représentation du groupe symétrique via les matrices de permutations, pouvez vous donner toutes les sous-représentations irréductibles de cette représentation? -Soit (ei)_i une base de R^n S_n agit sur R^n par f.ei=ef(i). La droite engendrée par la somme des vecteurs de la base est invariante. L'hyperplan d'équation f(somm(liei))=somme(li)=0 en est un supplémentaire stable. A isomorphisme près la théorie des représentation donne l'unicité. Oui mais pouvez vous montrez que ce sont bien les seules, pas à isomorphismes près? -On finit par y arriver par le calcul.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury aidait beaucoup et était sympathique.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques question de détermination de p-Sylow de groupe donnée comme S4. Détermination des groupes à 2 classes de conjugaison (il n'y a que Z/2Z).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ne laissait rien paraître.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Qqs questions sur le développement: -pourquoi G/H abélien <=> D(G)inclus dans H -pourquoi G/H isomorphe à Z/pZ Surtout des questions sur le plan : -qu'est-ce qu'une action n-2 transitive -démo des isomorphismes exceptionnels (en particulier PSl(2,F3)=A4) -j'avais parlé de représentation par permutation donc ils m'ont demandé de refaire la table de S4 en gros -pourquoi la somme des carrés des degrés vaut le cardinal du groupe ? -un seul exercice : action de On par congruence sur Sn++, quels sont les invariants ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillants, ils sont là pour qu'on donne le meilleur de nous-mêmes.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu de la chance sur le tirage. Les examinateurs ne vont pas chercher la petite bête et vérifient surtout si vous connaissez ce que vous avez mis dans le plan. Il faisait 33°C à Lille à ce moment là (premier jour) donc c'était épuisant.