Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)

Soit $G$ un groupe fini et $p$ premier tel que $|G| = p^a m$ avec $a$ un entier non nul et $m$ premier à $p$. On note $n_p$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors $n_p$ est non nul et divise $m$. De plus $n_p = 1 [p]$ et tous les $p$-Sylow sont conjugés. Ce développement présente une démonstration de ce théorème à l'aide du principe de récurrence. Il existe une autre démonstration utilisant des actions de groupes.