181 - Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Mon plan pour contexte: I. Ensembles convexes 1. Généralités 2. Séparation (dev 1: Hahn Banach) 3. Projection sur un convexe fermé II. Barycentres 1. généralités 2. lien avec la convexité III. Polyèdres en dimension 3 1. Généralité 2. Classification des polyèdres réguliers IV. Applications affines (dev 2:point de Fermat) Pas de questions ni de remarques sur le développement. Sur le plan le jury m'a fait énoncer le théorème de Carathéodory que j'avais omis (je ne l'avait pas trouvé dans les refs) et m'a fait remarqué que les applications affines sont un exemple trop trivial d'application convexe. Exercices: I. donner une condition nécessaire et suffisante sur A dans Sn(R) pour que X->tXAX soit convexe. Je tente la méthode naïve de prendre une combinaison convexe, vu que c'était un mauvaise piste le jury me guide pour me faire remarquer qu'on regarde une forme quadratique. A partir de la on conclut assez rapidement en utilisant le théorème d'inertie de Sylvester: A=tPDP où P est inversible, D diagonale avec des 1,-1 et 0 sur la diagonale. L'application s'écrit alors tXtPDPX=tYDY est convexe si et seulement si il n'y a que des 1 ou des 0 sur la diagonale de D, c'est à dire si et seulement si A positive. II. Cette fois A définie positive et B un vecteur. Que dire des extremums de X->tXAX+tBX. Calculer la différentielle de façon classique. On trouve 2tXAH+tBH. On en déduit le gradient facilement qui vaut en X 2AX+B. on trouve le point critique qui est unique. C'est un minimum puisque l'application est convexe. III. Donner un algorithme pour déterminer l'enveloppe convexe d'un nombre fini de point. Je ne savais pas faire on n'a pas perdu beaucoup de temps. IV. démontrer le théorème de Gauss-Lucas. Je ne savais pas faire et cette fois le jury ne m'a pas guider du coup j'avanças lentement. L'épreuve s'est terminée durant cette question (une démonstration est faite dans le livre carnet de voyage en algébrie)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury à été sympathique et m'a bien aider dans les exercices.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Beaucoup plus d'exercice que ce à quoi on avait été préparé au cours de l'année dans notre prépa. Je ne avais pas qu'on avait 15 minutes entre la fin de la préparation et le passage pendant lesquelles on peut relire notre plan et nos notes ce qui est sympa.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Montrer que les bissectrices d'un triangle se croisent (Indication : utiliser l'équation normale d'une droite ???) --\textgreater pas su faire :( Montrer que les médianes se croisent. Utilisation de Hahn-Banach ? On prend deux sphères disjointes, $x_0$ un point de la première, $y_0$ le projeté de ce point sur la deuxième, $x_1$ le projeté de $y_0$ sur le première etc. Montrer que ça converge et dire vers quoi. Comment motiveriez-vous la géométrie affine à une classe ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury parlait bien mais n'aidait presque pas.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.