161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2026

Rapport du jury 2024

Les généralités sur les espaces euclidiens et affines sont supposées connues. La leçon reste contenue dans le cadre des espaces de dimension finie. La notion de distance est abordée dans le cadre de la norme euclidienne : les projections orthogonales doivent être mentionnées. Les déterminants de Gram et des inégalités du type des inégalités d'Hadamard ont toute leur place dans cette leçon. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir justifier qu'une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. Les groupes de similitudes peuvent également être abordés. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent évoquer l'interprétation de l'écart-type comme une distance, et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de GRAM permettent de calculer l'erreur commise dans le cadre de prédictions affines.

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Rapport du jury 2024

Rapport du jury 2022

Cette leçon ne doit pas se restreindre aux seuls cas des dimensions 2 et 3, même s'il est naturel que ceux- ci y occupent une place importante. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir prouver qu'une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. Les candidats peuvent en outre parler de la définition de la distance, de la distance à un sous-espace vectoriel et de déterminant de Gram. Les groupes de similitude peuvent également être abordés. S'ils le désirent, les candidats peuvent évoquer l'interprétation de l'écart-type comme une distance, et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de Gram permettent de calculer l'erreur commise dans le cadre de prédictions affines.

Rapport du jury 2019

Cette leçon ne doit pas se restreindre aux seuls cas des dimensions 2 et 3, même s’il est naturel que ceux-ci y occupent une place importante. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir prouver qu’une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. $\\$ Les candidats peuvent en outre parler de la définition de la distance, de la distance à un sous-espace vectoriel et de déterminant de Gram. Les groupes de similitude peuvent également être abordés. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent évoquer l’interprétation de l’écart-type comme une distance,et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de Gram permettent de calculer l’erreur commise dans le cadre de prédictions affines.

Rapport du jury 2017

La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. Il faut savoir prouver qu’une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines, et savoir composer des isométries affines. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux applications aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3.

Rapport du jury 2016

Rapport du jury 2015

La classification des isométries en dimension 2 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut penser aux applications aux isométries laissant stables certaines objets en dimension 2 et 3.

Rapport du jury 2014

La classification des isométries en dimension 2 est exigible. En dimension 3, les rotations et les liens avec la réduction. On peut penser aux applications aux isométries laissant stables certaines figures en dimension 2 et 3.

Développements

5	Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
5	SO₃(R) et les quaternions
5	Générateurs du groupe Isom(E)
5	S4 est un groupe de pavage
5	Groupes de pavages directs du plan
5	SO3(R) est un groupe simple, connexe et compact
5	Générateurs de O(E) et Isom(E)
5	Point de Fermat d'un triangle
5	Minimum d'une fonction de n variables à l'aide du déterminant
5	Isométries du cube
5	Réduction des isométries
5	Groupe des isométries du cube
5	Théorème de Cartan-Dieudonné (générateurs de O(q) et SO(q))
5	Construire un simplexe avec Cayley-Menger
5	[Doublon : df(x)∈O(E) <=> f isométrie affine]
5	Endomorphismes préservant les m-volumes
4	Trajectoire fermée sur un billard
4	Sphère de M_2(R)
4	Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
4	Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)
4	Générateurs de O(E) et SO(E)
4	Simplicité de SO_3(R)
4	Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
4	Enveloppe convexe de On(R)
4	Points extrémaux de la boule unité de L(E)
4	Générateurs de O(E)
3	Théorème de Dixon
3	Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
3	Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id
3	Le groupe SO3(R) est simple
2	Théorème de Mason \"The Line\" Dixon
2	Matrices et déterminants de Gram
2	Prolongement des caractères
1	Points extrémaux de la boule unité
1	Théorème de Gauss - Markov
1	Réduction des isométries.
1	Théorie de Polya

Plans

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Utilisateur : Admin

test

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Groups and representations

Utilisateur : Fiosa

Cette leçon me faisait très peur, c'est pour ça que je l'ai faite seulement à la fin de l'année. En ce qui concerne les références, la partie I)2)a) sur la distance à un sev peut finalement être prise dans le el Amrani, et la topo du groupe orthogonal est faite dans des livres comme le Rombaldi et un des Caldero il me semble. En développement je faisais finalement "enveloppe convexe de On(R) et SO3(R) est simple.

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Utilisateur : fefe

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Metaplan : I - Distance dans un espace euclidien 1) Définitions 2) Orthogonalité 3) Utilisation du déterminant (DEV 1 : Construire un simplexe avec Cayley-Menger) II - Isométries 1) Groupe orthogonal 2) Isométries affines 3) Générateurs et classifications 4)Isométries conservant une partie III - Notion d'angle 1) Définition 2) Mesure d'un angle (DEV 2 : Point de Fermat d'un triangle) 3) Similitudes J'ai aussi utilisé comme référence Fresnel \"Méthodes modernes en géométrie\" qui n'est pas sur agreg-maths. A mon avis, c'est une des leçons les plus difficiles à préparer. Cette version a été faite sans limite de temps.'

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Géométrie

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Géométrie\r

Utilisateur : C. Bergeron

Leçon axée géométrie, mais où il est possible de mettre un petit peu d'algèbre via le groupe orthogonal. Je trouve intéressant de faire le cas des petites dimensions, car la classification des isométries affines y est assez simple. Mon plan manque d'exemple, il faut en ajouté un peu plus à mon goût. Mes devs : Enveloppe convexe de On(R), Classification des pavages directs du plan Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items. '

Références :

Géométrie

Algèbre et géométries

Algèbre\r

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre L3\r

Géométrie\r

Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX

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Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe. Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J. '

Références :

Géométrie\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Géométrie

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Utilisateur : lemaire

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Plan réalisé avec la collaboration de Beluga et relu par un professeur. Vous trouverez également ma défense de plan. J'ai eu cette leçon le jour J et j'ai refait la même chose en enlevant la partie quaternions.'

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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Mathématiques L2

Algèbre et géométrie\r

Petit guide de calcul différentiel\r

Utilisateur : Naïl

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Utilisateur : Théo L

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Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

Références :

Géométrie

Cours d'algèbre\r

Algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : DaTiCo

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Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

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Utilisateur : Jeanclaudedu77

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J'aime pas.'

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Algèbre\r

Cours d'algèbre\r

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Statistique mathématique en action

Géométrie

Utilisateur : kureru

Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente. I. Distances et normes 1) Généralités 2) Projections orthogonales 3) Isométries II. Groupes O(E), Isom(E) 1) Pptes des isométries + réduction 2) Groupe O(E) + Topologie (DVT : Conv(On(R))) 3) Groupe Isom(E) III. Cas particuliers 1) Symétrie orthogonales, réflexions (DVT : générateurs de O(q)) 2) Cas en dimension 2 et 3, classification et étude de SO3(R) (DVT : quaternions) 3) Isom affine conservant une partie '

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Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Plan semi détaillé. Je suis pas un grand fan de géométrie affine. J'aime beaucoup le Tauvel Géométrie mais je sais pas si tout le monde peut apprécier. Je dis beaucoup de choses sur la géométrie/isométrie affine mais peut être un peu trop. En tout cas il y'a ce qu'il faut pour redémontrer chaque proposition. Peut-être que la leçon est trop longue ducoup ...'

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

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Utilisateur : Tintin

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Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine). N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Références :

Tout-en-un MPSI

Analyse\r

Algèbre et probabilités

Géométrie

Oraux X-ENS Algèbre 3\r

Tout-en-un MP/MP*

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Théorie des groupes (bis)

Cours d'algèbre\r

Algèbre et géométrie\r

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !'

Références :

Utilisateur : Mathis Lemay

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Pas facile facile cette leçon... Beaucoup de choses se trouvent dans le livre de Ladegaillerie, mais ce dernier, bien que très riche, est assez difficile à lire surtout quand on est peu à l'aise en géométrie affine comme moi... Pour le DEV 1, attention au cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard, qu'il faut faire soigneusement car il est souvent bâclé dans les références que j'ai trouvées. Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en petite dimension à partir d'une matrice (vectorielle) ou d'un système (affine) Les tableaux en annexe sont un peu nuls, il y en a des mieux faits dans le Garnier ou le Combes que j'ai mis dans ma version de la leçon 191.'

Références :

Géométrie\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 161. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Références :

Géométrie

Algèbre linéaire\r

Algèbre\r

Cours d'algèbre\r

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Objectif Agrégation

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Géométrie

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Algèbre linéaire\r

Algèbre\r

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

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Utilisateur : Agent B0

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Géométrie\r

Algèbre\r

Cours de géométrie

Algèbre et géométrie\r

Utilisateur : Pandou

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Géométrie

Algèbre et géométrie\r

Introduction to Lie Algebras and Representation Theory

Cours d'algèbre\r

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Tau] Géométrie : Tauvel [Gri] Algèbre linéaire : Grifone [Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre'

Références :

Géométrie\r

Algèbre linéaire\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

131 Développements pour l’oral

Utilisateur : Maurer

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Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Plan que je n'ai pas eu le temps de terminer. Pour compléter le III : 1. Classification pour n=2 2. Classification pour n=3 3. Isométries préservant des parties (dans cette partie, groupe diédral et isométries du cube)'

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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : abarrier

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Utilisateur : Owen

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Algèbre et géométrie\r

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Cours de géométrie

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.'

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Utilisateur : Victor

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Utilisateur : Promo ENSL 2016

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