Décompostion de Bruhat et drapeaux
Soit $K$ un corps, $n \geq 1$.\rPour tout $A \in GL_n(K)$, $A$ se décompose sous la forme : $A = T_1P_{\sigma}T_2$\roù $T_1,T_2$ sont des matrices triangulaires supérieures (inversibles) et où $P_{\sigma}$ est une matrice de permutation.\rDe plus, la matrice de permutation $P_{\sigma}$ est unique.\r\rOn peut alors appliquer ce résultat pour obtenir des propriétés sur l'action de $GL_n(K)$ sur l'ensemble des drapeaux de $K^n$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 105 | Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025 |
| 5 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
| 4 | 148 | Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2025 |
| 3 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025 |
Utilisateur : Brunel
J'aime beaucoup ce développement mais il est assez technique et, je dirais-même, un peu compliqué. Il faut bien le travailler et faire les tests votre côté pour vérifier la bonne traduction des opérations élémentaires en produit matricielle. J'ai d'ailleurs pu écrire des bêtises donc ne prenez pas pour vrai tout ce qui est écrit !
Je le prends pour les leçons 105, 106 et 162.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 322 de la référence.
Références :
Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Geoffrey D
Références :
Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Jouaucon
Développement consistant d'une proposition, un théorème et une application faisant intervenir les actions de groupes, les permutations et l'algèbre linéaire.
Développement n°28 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte