Étude du groupe A4
Il s'agit ici de montrer, en exploitant le groupe de Klein, que $\mathfrak{A_4}$ n'est pas simple puis qu'il n'admet pas de sous-groupe d'ordre 6. On prouve au passage deux petits résultats généraux de théorie des groupes.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 105 | Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025 |
| 4 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025 |
| 3 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : Théo S.
J'ai partiellement utilisé l'exemple page 64 du livre mis en référence (seconde édition), mais attention : j'ai réadapté le contenu de l'exemple pour construire mon développement. C'est donc un développement partiellement inventé, cependant il est facile à comprendre et à refaire.
Les énoncés des deux lemmes sont posés comme exercices dans le livre (cf. exercice 4.6 + exercice 1.12 question 1), de plus le dernier est corrigé par l'auteur en page 167.
Le dernier résultat témoigne que $\mathfrak{A}_4$ montre que la \"réciproque\" du théorème de Lagrange est fausse, dans le sens où pour tous entiers positifs $d$ et $n$ tels que $d$ divise $n$, tout groupe d'ordre $n$ n'admet pas nécessairement de sous-groupe d'ordre $d$.
Références :
Théorie des Groupes - Félix Ulmer