Automorphismes de Q8 par SL2(F3)
Le groupe $Q_8$ étant le groupe des quaternions (d'ordre $8$), on montre que
$$\text{Aut}(Q_8)\simeq\mathfrak S_4$$
en utilisant le fait qu'il n'y a qu'une seule copie de $Q_8$ dans $\text{SL}_2(\mathbb F_3)$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2026 |
| 5 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2026 |
| 5 | 150 | Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.2026 |
| 5 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2026 |
Utilisateur : Étienne A.
Ce développement se trouve intégralement dans le livre \"Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses\" d'Alain Debreil et Rached Mneimné (pages 115, 116 et 117).
Attention aux quelques détails qui ne sont pas écrits dans le livre (matrices qui commutent avec les matrices dont la trace est nulle, Q8 est caractéristique dans SL2(F3), preuve de l'isomorphisme entre PGL2(F3) et S4).'
Références :