Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)

Le recasage est indécent. En plus ça permet de caser cette immondice qu'est la leçon barycentres

p 135 à 140

Je n'ai pas de référence particulière. L'action naturelle de $Isom^+$ sur les diagonales du cube donne immédiatement un morphisme à valeurs dans $\mathfrak{S}_4$ qui se trouve être une bijection : l'injectivité est claire (repère affine conservé) et la surjectivité vient de la réalisation des permutations (par rotation d'angle $\pi$). Enfin, le centre de symétrie implique que Isom $\simeq$ Isom$^+ \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pour le tétraèdre, on réalise les permutations grâce à des réflexions selon les plans médiateurs des paires de sommets. L'injectivité est obtenue par conservation d'un repère affine. Enfin, comme $\mathfrak{A}_4$ est le seul sous-groupe d'indice $2$ de $\mathfrak{S_4}$, on a Isom$^+ \simeq \mathfrak{A}_4$.