Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut. Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final. J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable. Attention aux coquilles.'

- Calcul du cardinal de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ ; - Calcul de la probabilité asymptotique d'obtenir une matrice diagonalisable lors d'un tirage uniforme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ lorsque $q$ tend vers $+\infty$. Leçons concernées : 101, 123, 152, 190'

Recasage: 101, 106, 123, 152, 190 Attention: le 1er lemme est inutile. En effet, le 2e lemme découle de la définition de la diagonalisabilité, quitte à ce que certains sous-espaces propres soient triviaux. Je fais la version endomorphismes diagonalisables i.e. pas automorphismes. Il suffit juste de rajouter la valeur propre 0. On peut consulter Carnet de voyage en Algébrie pour mieux comprendre certains passages de la preuve. Il se fait en 14min30.'

NH2G2 Tome second Caldero page 66 + Rombaldi page 148. Couplé avec les leçons 101, 106, 123, 152, 190'

Document LateX non vérifié par un professionnel : attention aux coquilles !'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. Dans Rombaldi c'est simplement les automorphismes (donc pas de valeur propre 0). Dans mon développement j'ai ajouté le cas lambda = 0 pour avoir toutes les matrices diag, automorphismes ou pas.'

Un développement sympa qui n'utilise que des techniques classiques. Je prends ce développement pour les leçons 101, 152 et 190. On trouvera la preuve aux alentours de la page 264.'

'

'

'

Fait dans le Rombaldi Algèbre et géométrie 2ème édition. On dénombre ici les matrices inversibles (les automorphismes donc) diagonalisables de Mn(Fq). Recasages : 101, 106, 123, 150, 155, 190.'

Développement très rigolo qui mélange pleins de notions et qui du coup se recase bien (y'a 2-3 recasages abusifs, à vous de juger). Je le prends dans le Rombaldi mais y'a pleins de choses similaires dans le H2G2 (sûrement le tome 2). Attention aux coquilles !'

'

'

J'ai ajouté un équivalent lorsque q tend vers l'infini. Il y a alors 1 chance sur n! de tomber sur une matrice diagonalisable. Ce qui change du cas réel ou complexe où l'ensemble des matrices diagonalisables est de mesure pleine. '

Attention, la référence n'y est pas mais c'est dans le NH2H2 tome 2 !'