Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
$\textbf{Théorème.}$ On a les isomorphismes de groupes suivants :
(1) $\textrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathfrak{S}_3$.
(2) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{S}_4$ et $\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\cong\mathfrak{A}_4$.
(3) $\textrm{PGL}_2(\mathbb{F}_4)=\textrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\cong\mathfrak{A}_5$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 191 | Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.2026 |
| 5 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2026 |
| 5 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2026 |
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2026 |
| 4 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 123 | Corps finis. Applications.2026 |
Utilisateur : Axel Bonneau
Recasages: 101, 104, 105, 106, 123
En fonction de la leçon, soit démontrer que le noyau est constitué des homothéties ou le lemme sur les sous-groupes d'indice n de Sn. Avec cette adaptation, ça passe en 14 minutes. Je fais également un tableau avec le cardinal de PGL_n, PSL_n et S_n.
Pour les références, j'utilise principalement le Caldero, le Perrin pour le lemme et le Rombaldi c'est là qu'est démontré que le centre de GL_n c'est les matrices d'homothéties.
Je suis passé dessus le jour J dans la leçon sur les corps finis. Voici les questions posées:
- Quelle est la définition des groupes projectifs linéaires ? (j'avais directement quotienté par les homothéties)
- Comment montrer que le centre de GL_n c'est les matrices scalaires ?
- Quel est le cardinal des racines n-ièmes de l'unité sur F_q ? (j'ai seulement fait le cas n=2)
- Comment montrer le lemme sur les sous-groupes de S_n ?
- Pourquoi ces isomorphismes sont qualifiés d'exceptionnels ? (je conseille les vidéos de Phil Caldero sur le sujet qui explique notamment l'aspect historique)'
Références :
Cours d'algèbre\r - Perrin
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Paviet
Dev assez costaud.
Je le faisais dans 105 avec le point noté 3 à la place des cardinaux en points 1 et 2.
Le lemme n'est pas très dur et se fait soit avec des techniques de corps (dans le livre) pour les leçons de corps, soit avec des techniques de groupes (dans la tête) pour les leçons de groupe. '
Références :
Cours d'algèbre\r - Perrin
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Utilisateur : Méthivier
J'ai détaillé les arguments donnés par Perrin, notamment pour le troisième isomorphisme qui mérite de regarder d'un peu plus près F_4 pour comprendre pourquoi SL(2, F_4) = PSL(2, F_4) = PGL(2, F_4). Attention aux probables nombreuses coquilles'
Références :
Cours d'algèbre\r - Perrin
Utilisateur : Pandou
'
Références :
Cours d'algèbre\r - Perrin
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni