Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
La loi de réciprocité quadratique stipule que \r\r$$ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{ \frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} } $$\r\roù $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs.\r\rCe développement propose une démonstration utilisant classification des formes quadratiques sur un corps finis.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 121 | Nombres premiers. Applications.2025 |
| 5 | 170 | Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.2025 |
| 4 | 123 | Corps finis. Applications.2025 |
| 3 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 3 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
| 3 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.
Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Demesmay
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : EWna
Recasages: 121, 123, 190
Je ne la mets pas dans la 170, car l'intervention des formes quadratiques prend vraiment 1 ligne sur toute la preuve; ce serait un recasages scandaleusement abusif.
Je me suis inspiré du document de abarrier, j'y ai apporté quelques précisions.
Rombaldi [2e édition] p 431
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Burel
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Cours d'algèbre - Perrin
Utilisateur : Lavos
Il ne faut pas traîner pour le faire rentrer en 15 minutes sans occulter un argument. Ayez quelques exemples d'applications en tête pour le plan/les questions, c'est un résultat très utile (et pour l'anecdote, un des préférés de D. Perrin)
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Marie N
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Titi le mathématicien
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/
Références :
Utilisateur : F.A.
D'après moi pour les leçons : 101, 121, 123 et 170.
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Clement T
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : abarrier
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Pyrène
Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
https://www.youtube.com/watch?v=8w25x8a9a6c
Références :
Utilisateur : Clémentine
Références :
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Utilisateur : Mathieu Dutour
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Tom
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Clément
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni
Utilisateur : Victor
Références :
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 - Caldero, Germoni