102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples que j’avais énoncées dans mon plan ou dans mon développement (par exemple : « qu’est-ce que l’ordre d’un élément d’un groupe ? », « pouvez-vous énoncer le théorème de relèvement C1 ? », etc.). Une partie significative (peut-être dix minutes ?) de l’échange a consisté à redémontrer un lemme que j’avais admis pour la preuve de mon développement, a savoir que dans un groupe abélien fini, il existe un élément ayant pour ordre l’exposant du groupe. J’ai été très fréquemment coupé dans ma démonstration par le jury qui voulait des exemples, des précisions, des liens avec d’autres théorèmes, etc. J’ai également eu beaucoup de demandes de preuves des résultats les plus simples énoncés sans preuve : pourquoi les valeurs d’un caractère d’un groupe abélien fini sont-elles des sommes de racines de l’unité ; démontrer l’existence et l’unicité de la décomposition polaire d’une matrice réelle inversible… Quelques exercices très simples et questions proches de mon plan appelant seulement des exemples ou contre-exemples m’ont été posées, notamment (je ne me souviens pas de tout) : le fait que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d’ordre l’exposant reste-t-il vrai si le groupe n’est plus supposé abélien ? Les noyaux de Dirichlet constituent-ils une approximation de l’unité ? Comment peut-on démontrer les identités trigonométriques de base à partir de la définition du sinus et du cosinus en séries entières ? Le seul exercice un peu élaboré qui m’ait été posé est : que peut-on dire d’un morphisme de groupes (U,×) ⟶ (U,×) (où U est le groupe des racines de l’unité). Je n’ai malheureusement pas réussi à faire l’exercice, pour cause de stress et canicule, et le jury m’a fait passer à autre chose, ce qui fait que j’ai été surpris de ma note…

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Trois jurés qui se répartissaient assez bien les rôles, chaque membre ayant visblement sa préférence dans mon plan, si bien qu’ils m’ont posé des questions sur des sujets assez distincts. Posture assez neutre : ni particulièrement sympathique, ni cassant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je passais l’agrégation en candidat libre, et n’avais jamais fait d’oraux blancs ni assisté à des oraux. C’était ma dernière épreuve, après ma leçon d’analyse et l’épreuve de modélisation. J’ai été surpris par le fait que mes développements, que je connaissais pourtant bien, m’ont « échappé », et j’ai perdu facilement une demi-heure à tenter de retrouver un bout manquant du théorème de Wantzel, que j’ai finalement abandonné pour présenter celui sur les caractères de groupes abéliens finis. Dès lors, assez peu de temps disponible pour relire mon plan, ce qui fait que j’ai laissé quelques erreurs, en particulier sur l’énoncé de mon développement (oubli d’une hypothèse d’abélianité du groupe, je crois) : j’ai donc fait tout mon développement avec l’hypothèse omise, et le jury a semblé offusqué du fait que j’aie incorrectement écrit mes hypothèses. Je me suis rattrapé dès que le jury m’a tendu une perche, mais je pensais avoir beaucoup perdu pour cette raison (spoiler : non). Autre conséquence de ce manque de temps : pas eu le temps de bien réfléchir à ce sur quoi je voulais insister dans ma défense de plan, et ma présentation a donc assez peu apporté à l’écrit. En particulier, je n’ai pas du tout réussi à insister sur la partie qui m’intéressait le plus (cyclotomie et théorème de Wantzel), si bien que je n’ai eu aucune question à ce sujet pendant l’oral. Un point important, qui concerne mes deux oraux : ce sont manifestement les thèmes développés qui étaient proposés dans le rapport de jury qui ont appelé le plus de développements. Je pense qu’il vaut donc mieux ne suivre les pistes proposées dans le rapport qu’à condition d’avoir un peu de bouteille… Cela dit, il paraît clair avec du recul que sur un sujet aussi simple, maîtriser deux développements pertinents assurait de pouvoir avoir une bonne note, les trois heures servant simplement à organiser les idées et exemples venant de multiples champs des mathématiques…