Théorème de Brauer
Soient $K$ un corps et $n$ un entier. On note $P_\sigma$ la matrice associée à la permutation $\sigma$ de $\mathfrak{S}_n$. Soient $\sigma$ et $\sigma' \in \mathfrak{S}_n$. Alors $\sigma $ et $\sigma'$ sont conjugués si et seulement si $P_\sigma$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables dans $M_n(K)$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 108 | Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.2025 |
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 105 | Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025 |
| 3 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
| 2 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 2 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2025 |
| 2 | 148 | Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2025 |
| 1 | 149 | Déterminant. Exemples et applications.2025 |
| 1 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025 |
Utilisateur : CloudSea
Un développement vraiment cool qui fait le lien entre de l'algèbre linéaire et de l'arithmétique.
La version que j'ai démontre le résultat en caractéristique quelconque. A ce propos, bien faire attention à un truc : On a besoin d'être en caractéristique nulle pour que D soit inversible MAIS on s'en sert uniquement pour montrer l'équivalence entre les mi(sigma) et les cj(sigma). Donc la démonstration fonctionne bien en caractéristique quelconque pour le corps sur lequel on considère les matrices de permutation.
Références :
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier
Utilisateur : CouZaert
On montre la caractérisation des classes de conjugaison dans $S_n$, puis on l'applique pour démontrer le théorème de Brauer.
C'est une version qui fait intervenir une égalité entre deux polynômes caractéristiques et une étude de multiplicité des racines pour aboutir à la conclusion. On fait plus que toucher de l'herbe, on se roule dedans.
N'allez pas trop vite lors de l'oral, sinon le développement risque d'être trop court !
Le Fresnel-Matignon fait dans le même exercice la démonstration du théorème de Brauer dans le cas $\mathbb K$ de caractéristique quelconque, et on peut voir que c'est beaucoup BEAUCOUP plus dur.
Références :
Algèbre et géométrie - Fresnel, Matignon
Utilisateur : auntyyye
Recasages : 105,106,101,108
Développement très sympa, permet de parler des matrices de permutations (une application est l'existence dans le théorème de Sylow)
Il y a une partie de la démo dans le Beck qui touche pas d'herbe : il faut penser à utiliser l'unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Q[X].
Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/fffe793f-5951-4166-a899-d2ee9b4d7bfc/Theoreme_de_Brauer.pdf?id=7cbf3bee-8e32-40cb-8c5b-55d9c729d629&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=2aVbSv0pkXJpNdWJyvF3lkqWNVCV4zIkHsX7jWgn-Mw&downloadName=Théorème+de+Brauer.pdf
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Utilisateur : Marvin
Je n'ai pas trouvé de références intéressante sur le sujet. Néanmoins, le développement n'est pas trop dur, donc ce n'est pas très grave.
Références :
Utilisateur : Julie
Il est fait dans le Fresnel Matignon : Algèbre et géométrie, 81 thèmes pour l'agrégation de mathématiques.
Références :
Algèbre et géométrie - Fresnel, Matignon
Utilisateur : Agnielli
Références :
Utilisateur : Tom
Références :