Automorphismes de Sn

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

J'avais prévu de faire la version avec les suites exactes mais jsp si j'aurais eu le temps le jour J. En tout cas faut s'entrainer à aller vite sur le lemme.'

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! J'ai suivi la deuxième preuve de Perrin, que je préfère nettement. Elle est, je pense, un peu plus dure, mais plus typée théorie des groupes, et le cas n = 6 apparaît de lui-même comme un changement de structure dans les groupes symétriques plutôt que comme une aberration combinatoire. En conséquence, les recasages ne sont pas exactement les mêmes : ça ne va pas dans la leçon de dénombrement, mais c'est très bien dans la leçon sur la conjugaison dans un groupe.'

Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/'

Je m'inspire de Perrin pour montrer qu'un auto qui préserve les transpositions est intérieur. Par contre, pour la deuxième partie de la preuve, je n'aime pas du tout la version de Perrin qui est inutilement compliquée et très peu détaillée. La version de FGN me paraît bien plus simple, attention par contre à reduire certains détails pour tout faire tenir en 15min.'

- Calcul des automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ pour $n \ eq 6$ par la deuxième méthode proposée dans le Perrin : on utilise les actions de certains centralisateurs ; - Complément sur le cas $n=6$ (on détaille les arguments donnés dans le Perrin). Leçons concernées : 101, 103, 104, 105, 108'

Développement à la fois trop technique et trop long pour mon niveau. J’ai finalement renoncé à le présenter pour ces raisons. Bien qu’il puisse être exposé dans de nombreuses leçons, les autres développements que je propose pour ces leçons sont, à mon avis, bien plus accessibles.'

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

Mixte FGN et Perrin. Je le choisis seulement pour avoir un deuxième développement pour la 105 mais ça se recase ailleurs.'

Le Perrin est vraiment elliptique sur les parties combinatoires que j'ai donc détaillé, mais les preuves sont de mon cru et elles ne sont sans doute pas minimales. Il y a aussi quelques coquilles dans le Perrin que j'ai corrigé mais d'autres ont pu s'y glisser.'

Le Perrin dit que \"c'est facile le dénombrement du centralisateur\" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !'

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C'est une version de ce développement où le seul dénombrement qu'on fait, c'est dire que (Z/2Z)^k est de cardinal 2^k, et donc MA VERSION NE CONVIENT PAS POUR LA LECON 190 !! On démontre toujours la proposition sur l'automorphisme qui transforme les transpositions en transposition. Je pense que c'est un peu plus long et technique que ce qui est fait dans le Perrin, mais si vous n'aimez pas la combinatoire, c'est fait pour vous : on cherche à déterminer des propriétés sur la structure de deux stabilisateurs. C'est pour ça que je pense que CETTE VERSION convient pour la leçon 103 : conjugaison dans un groupe.'

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Recasages : 105,104,101,190,103,108 Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6&p=48a6ceb652824c818e6f7e85f2aa8202&pm=s Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse :https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4'

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Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

103, 104, 105, 108, 190'

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Le Perrin fait ça très bien. Je donne ici une manière supplémentaire de caractériser les transpositions dans S_n, pour $n \ eq 4,6$. Cette manière me semble plus \"élémentaire\" que celles du Perrin (mais ça dépend sans doute des goûts).'

D'après moi pour les leçons : 101, 104, 105, 108 Connaître le cas n = 6 où Aut(S_n) / Int(S_n) ~ Z/2Z NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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Version sans dénombrement'

Mis à jour le 30.05.17'

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