126 - Exemples d’équations en arithmétique.2023

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, il est indispensable de s'intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d'utilisation effective du lemme chinois. Ensuite, la méthode de descente de Fermat et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d'être mis en oeuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est de plus naturel de s'intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis. S'ils le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points sur ces coniques.

Rapport du jury 2020

Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de base servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois. $$$$ Ensuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis. $$$$ S’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur Q ou les corps finis.

Rapport du jury 2019

Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur $\textbf{Z}$ mais aussi des équations dans $\textbf{Z}$/n$\textbf{Z}$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois. Ensuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et mêmeFermat(pour $n=2$ , ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur $\textbf{Z}$ peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis. S’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points sur ces coniques.

Rapport du jury 2017

Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax +by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).

Rapport du jury 2016

Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).

Rapport du jury 2015

Il s'agit d'une leçon nouvelle, ou plus exactement d'une renaissance. On y attend les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. La leçon peut aussi dériver la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n= 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain.

Rapport du jury 2014

Il s'agit d'une leçon nouvelle ou plus exactement d'une renaissance. On attend là les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, avec le lemme des noyaux. A ce sujet, il est important que le candidat connaisse l'image du morphisme du lemme des noyaux lorsque les nombres ne sont pas premiers entre eux. On attend bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).