241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
En guise d’intro j’ai parlé des espaces denses dans d’autres et qu’on aimait bien ça pour montrer des théorèmes sur des fonctions régulières et puisqu’après qu’on pouvait approcher nos fonctions par celles ci. Mais avant tout ça il faut définir le mot approcher, en quel sens? J’ai donc parlé de la convergence simple, point par point, puis de la convergence uniforme qui est plus globale et qu’on aime bien avoir car elle apporte certaines propriétés à la limite. I) Suites et séries de fonctions, notions de convergences 1. Suites de fonctions 2. Séries de fonctions (DEV Riesz Fisher) II) Propriétés à la limite des suites et séries de fonctions 1. Continuité 2. Dérivabilité 3. Intégration II) Séries de Fourier (DEV Féjer) Déçu de ne pas avoir eu la place de parler de séries entières, et de fonctions génératrices, et d’avoir oublié de mettre la fonction continue nulle part dérivable. Mais j’ai dû faire des choix niveau place c’était vraiment short pourtant j’écris petit, mais j’aime trop dans un plan mettre plein d’exemples même s’ils sont un peu bêtes. Je me suis quand même retenue de mettre des exemples de séries de Fourier après la définition Je suis passé sur Riesz Fisher. Contente de tomber dessus mais stréssée car il faut être à l’aise en théorie de la mesure. Heureusement j’ai eu le temps de relire pas mal de choses sur ça pendant ma préparation. Au début du dev j’étais stressée de pas avoir introduit de définition propre des espaces L^p, j’ai donc dit à l’oral, en disant que cet ensemble était le quotient des fonctions p intégrable qu’on quotiente par la relation d’équivalence égale presque partout. Et en fait j’ai détaillé beaucoup plus de choses qu’en entraînement, notamment car une des jurés me regardait avec un air très concentré, comme si elle ne comprenait rien à ce que je disais. Au final j’ai fini à l’arrache, mais en 14min57… Ouf On est ensuite directement passé aux questions Questions par rapport au dev: J’ai sûrement oublié des questions et elles ne sont pas forcément dans l’ordre. -Vous dites qu’on peut construire une sous-suite de (f_n) tq en norme p f_phi(n+1)-f_phi(n) soit plus petite que 1/2^n ? -Petite erreur de ma part j’ai dit à l’oral que tout union d’ensemble de mesure nulle était de mesure nulle. Donc après j’ai dit qu’il me fallait une union dénombrable par sigma additivité de la mesure. Puis on m’a demande un contre exemple pour l’union quelconque. J’ai dit que R s’écrit comme union des singletons pour x dans R. -On m’a demandé de repréciser les théorèmes de convergence monotone et Fatou -qu’est ce qu’une limlinf -On m’a demandé de dire une conséquence directe de ma démo, et la j’ai dis que j’avais mis dans le plan: il existe une sous suite qui converge simplement pour presque tout x. On m’a ensuite demandé si dans petit l^p j’avais le même résultat. J’ai répondu que c’était vrai pour tout entier k dans N car le seul ensemble de mesure nulle pour la mesure de comptage est l’ensemble vide. -On m’a demandé de définir la norme dans L infini -une question de complétude mais je me souvient plus lol Demo sur le plan: -Comment démontrer le théorème avec la dérivation terme à terme (jsp le nom de ce théorème) et la j’ai bloqué. Donc elle m’a demandé comment montrer le théorème avec lim de l’intégrale égal intégrale de la limite. Et là en écrivant j’ai su faire. Et après j’ai dis : Ah mais le théorème avec la dérivation en découle, et elle m’a demandé de la démontrer du coup maintenant que je savais comment faire, et je l’ai fait mais assez lentement haha. -J’avais donné un contre exemple au théorème de Dini, mais ils en voulaient un autre où on enlève une autre hypothèse. J’ai parler d’un exemple qui était déjà dans mon plan. Mais en fait mon théorème de Dini était faux (oups ^^). Il manquait la continuité sur la fonction limite. -On m’a demandé la définition du module de continuité (j’avais mis Weierstrass avec les polynômes de Bernstein) et dans quels cas on avait une bonne définition de ce module de continuité (il faut de la continuité uniforme). Exo: Soit (a_n) suite réelle positive décroissante. Et u_n(x)=(a_n x^n)(1-x) sur (0,1). Etudier la convergence de la série de fonction de termes général u_n. Malheureusement, j’ai entendu « suites » et pas « séries », du coup, au bout de deux minutes, elle m’a dit que ce n’était pas ça la question. Donc, au final, j’ai réussi, mais mon cerveau était lent (c’est une série géométrique). L’oral s’est fini là-dessus. Youpiiii, c’était les vacances.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J’ai préféré l’oral d’algèbre. Le jury était sympa et puis j’étais en vacances à la fin, donc mentalement, ça allait mieux. J’ai l’impression néanmoins, après réflexion, que ça ne s’est pas si bien passé. Pas super fan de mon plan, même si j’ai mis pas mal d’exemples et de contre-exemples, et puis les questions que j’ai eues étaient faciles. Au final, j’ai eu une meilleure note en algèbre, donc on ne peut pas trop se fier à nos impressions en sortant. Je pense que le souci avec ma leçon est que j’ai beaucoup moins suivi le rapport du jury. J’avais oublié de le regarder au début de la préparation, tandis qu’en algèbre, je l’ai suivi pour faire mon plan.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Avant de commencer l'oral le jury me rappelle les consignes (6 minutes de présentation, 15 minutes de développement). A la fin de ma présentation, le jury choisit les nombres de Bell comme développement. Je le finis en 14 minute. Voici les questions posées avec des réponses partielles: - Questions sur le développement : Q : êtes vous sûre de la formule écrite au début du tableau (somme liée au dénombrement) R : J'avais oublié de mettre une somme, je corrige donc cette erreur Q : Pouvez-vous nous énoncer le théorème de Fubini utiliser dans ce développement? R : Je donne l'énoncé demandé Q : Pouvez-vous nous justifier l'unicité du développement en série entière? R : J'ai donné la formule des coefficients en précisant que ma fonction devait être de classe C infini et ça les a convaincu Q : Vous avez donner une expression de la fonction sur R en résolvant une équation différentielle. Cette égalité reste-t-elle vraie sur C? R : Oui par le théorème du prolongement analytique dont je rappelle l'énoncé. - Questions : Q : Quel est le rayon de convergence de la série exponentielle? Q : Connaissez-vous d'autres développements en série entière? R : Je donne celui du cosinus Q : Comment le démontrez-vous? R : J'utilise la formule cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2 Q : Donnez l'ensemble des solutions de l'équation exp(iz)=1 R : Je n'ai pas trop su répondre à cette question... J'ai donné des pistes en écrivant z en forme algébrique et en utilisant l'unicité de la forme exponentielle modulo 2 pi et on est passé à une autre question Q : Donnez le développement en série entière de ln(1+x) et son rayon de convergence R : Je donne la formule et dit que le rayon de convergence est 1 Q : Que se passe-t-il sur les bords? R : en -1 la série diverge et en 1 la série converge par le critère spécial des séries alternées (CSSA) Q : Où a-t-on convergence uniforme (et normale) pour une série entière? R : Sur tout compact dans le disque de convergence Q : La fonction x -> ln(1+x) est-elle bien définie sur [0,1]? R : Oui, car le CSSA donne une majoration du reste par son premier terme. On obtient donc une majoration uniforme du reste et donc une convergence uniforme vers 0 ainsi notre série est bien définie sur [0,1] Q : Connaissez-vous d'autres théorèmes de convergence uniforme? R : Le théorème d'Abel angulaire Q : Pouvez vous nous l'énoncé rapidement car manque de temps? R : Je m'embrouille un peu car le manque de temps me fait stressée L'oral s'est terminé là dessus

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était composé de deux hommes et d'une femme. Il était très bienveillant et m'aidait pour chaque questions lorsque je n'avais pas trop d'idées.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : Q : Est-ce que vous pouvez justifier pourquoi on peut inverser les sommes (somme double du DSE de $e^{e^z}$)? R : Oui. Je cite le théorème d'inversion des sommes (je ne parle pas de fubini). Q : Pouvez-vous le vérifier? R : Je fais le calcul et montre que les hypothèses sont respectées. Questions sur le plan : Q : Dans votre proposition 30... R : ( je cherche la proposition...) Ah! Oui, vous allez m'interroger sur ... blabla (les détails importent peu, en clair on va se retrouver à comparer convergence Lp et p.p.) Q : Oui R : Je dis que je me suis rendu compte de cela après la fin du temps imparti et que je ne sais pas si c'est vrai. Si la convergence $L^p$ implique la convergence $p.p.$ alors c'est vrai mais je dis que j'ai un doute sur la véracité de cette implication (Il fallait réviser les probas...). Je me lance dans la démonstration de l'implication. Q : C'est faux donc on peut plutôt chercher un contre-exemple. R : Je propose des rectangles mais je ne vois pas bien comment on peut ne pas avoir de convergence p.p.. Je dis quelques bêtises qui mènent à la question suivante. Q : Est-ce que R\Q est dénombrable? R : Non (je rigole, je trouve ça drôle que j'ai dit quelque chose proche de ça). Q : Quelle est la mesure de Q? R : 0: Q : C'est le cas d'un ensemble dénombrable en général? R : Oui Q : Pourquoi? R : En combinant la sigma-additivité d'une mesure et le fait que la mesure de lebesgues envoie les points sur 0, on obtient le résultat. Le jury me dit qu'on est proche du contre-exemple mais que l'on va passer à autre chose. Q : Dans votre autre développement vous parlez du fait que les fonctions polynomiales sont denses dans les fonctions continues sur [0,1] pour la norme infinie. Est-ce que c'est vrai pour les fonctions continues sur la réunion de [0,1] et de [2,3]? R : Oui, ça reste vrai. (Quelques secondes pour réflechir...) En effet, si l'on prolonge f sur [0,3] de manière affine entre 1 et 2, on peut appliquer l'énoncé du plan quitte à dilater [0,1]. J'illustre le tout d'un graphique. Q : Graphiquement, comment représente-t-on la convergence uniforme? R : On a une bande de demi-largeur epsilon autour du graph de notre fonction. A partir d'un certain rang, les graphs de toutes nos fonctions polynomiales sont dans cette bande. Je dessine cette bande en pointillés rouges. Q : Donc visuellement on voit que la restriction de notre fonction prolongée de manière affine est bien limite uniforme de fonctions polynomiales (il voulait conclure avec un peu plus de détails graphiques apparemment). Vous utilisez des résultats d'inversion de sommes. Avez-vous des résultats d'inversion de somme et intégrales? R : Je cite fubini et parle des cas positifs et intégrables selon la mesure produit. Je dis qu'on peut toujours voir une somme comme une intégrale et que c'est déjà ce que l'on a fait à la première question sur le développement. Q :Pouvez-vous donner le rayon de convergence de la série des $\frac{x^{4n+1}}{((4n)!}$? Calculez la valeur de cette série en $x$ dans le rayon de convergence. R : Le rayon de convergence c'est ... (pense l'infini) ... Bon je vais plutôt faire les calculs comme ça on sera sûrs. Je fais une majoration par l'exponentielle sur l'axe réel, je trouve bien un rayon infini. Pour la valeur, je dis que ça me rappelle ch et sh. Q : Quel est le DSE de cosinus? R : Je le dis à l'oral. Q : Ils me demandent de l'écrire. R : Ah! Ah je vois! J'utilise donc ch(x) et sh(x) pour trouver l'expression (que j'ai d'abord proposé à l'oral mais il manquait un facteur 1/2, j'ai donc fait les calculs au tableau). Exercice : Q : Soit an une suite complexe et sa série entière associée de rayon 1. Supposons que la somme des an converge. Que peut-on dire de la série entière quand z tend vers $1^-$ par l'axe réel? R : ... Q : Déjà, avez-vous une idée de ce qu'il se passe? Y-a-t 'il convergence? R : Je dis que ça ne me parait pas très probable car la $\sum |a_n|$ n'est pas nécessairement convergente. Des compensations peuvent faire en sorte que tout ne se passe pas bien. Q : Traitons donc d'abord le cas où $\sum |a_n|$ converge. R : je me perds un peu et je fais apparaitre des modules en trop, mais, après quelques cquestions du jury, je montre que la limite est $\sum an$ en $1^-$. Q : Et donc dans le cas où $\sum a_n$ converge? R : Je dis que c'est certain que l'on n'a pas de convergence normale puisqu'une suite alternée donne immédiatement un contre-exemple. Néanmoins, on peut toujours espérer avoir convergence uniforme. Je sèche un peu ... Q : Quels outils on a pour étudier des suites dans un evn? R : J'ai dit qu'on pouvait montrer qu'elle était de cauchy pour la norme infinie. Q : Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy (j'ai eu la même question l'an dernier, sachez donc définir Banach, suite de cauchy,...)? R : Je donne la définition. Q : Qu'est-ce qu'un Banach? R : Définition Q : Quand est-ce que les suites de cauchy convergent? R : Dans les Banach... Mais c'est dire que si elles convergent, alors elles convergent, ce qui n'est pas passionnant... Je parle des R espaces vectoriels de dimension finie. Q : Est-ce qu'ici on a un banach? R : Oui, en se ramenant au fait que R est un banach, on peut montrer que Q : Oui, donc c'est un Banach. Comment se traduit ici le critère de cauchy pour notre série? R : J'écris ce que ça veut dire. Le jury m'indique que l'oral est fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Neutre mais tirant vers le côté positif dans leur attitude (hochements de tête, confirmation de ce que je disais en le présentant autrement,...). Le jury aidait juste ce qu'il fallait et ne faisait pas remarquer les erreurs, préférant poser une question qui me permettrait de me rattraper. Contrairement à mon oral d'algèbre où le jury était plus fouillis, les questions de ce jury paraissaient millimétrées. Elles évaluaient mes connaissances tout en donnant une piste pour avancer sur l'exercice/question.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Cela s'est passé exactement comme je l'imaginais, des questions quand il y en a besoin pour avancer et qui cherchent à cerner mon niveau, du temps pour réfléchir, des questions sur le plan et ses erreurs,...

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'étais quasiment à la fin de mon développement lorsque le jury m'a indiqué que le temps était déjà écoulé, et m'a proposé de conclure. J'ai ainsi pu finir. J'ai eu le droit à plusieurs questions sur mon développement, que ce soit pour revenir sur des points que j'avais énoncés rapidement à l'oral, pour avoir plus de précision sur des théorèmes que j'utilisais, ou pour démontrer des points que j'avais admis initialement par manque de temps. Il y a eu ensuite une bonne vingtaine de minutes de questions sur mon plan, principalement sur les exemples que j'avais donnés. Il vaut mieux donc bien connaître la démonstration des exemples qu'on cite. Voici les différentes questions que j'ai eues: Q: Quels éléments de votre développement vous garderiez dans le cas où f est C1 par morceaux? Q: Vous citez Hölder à un moment, vous l'appliquez à quelles fonctions? Q: Comment montrez-vous que Dn (noyau de Dirichlet) et Kn (noyau de Fejer) ont cette forme? Q: Comment montrez-vous que l'intégrale de Dn vaut 1? Par la formule sin(..) ? Q: Vous dites que la limite de x^n sur [0,1] n'est pas continue donc il n'y a pas convergence uniforme, mais comment on montrerait le résultat sans les théorèmes de continuité? Q: Vous avez dit qu'une fonction continue et périodique était uniformément continue, pourquoi? Q: Votre autre développement parlait de la densité des polynômes dans C([a,b]), y a t'il encore cette densité si nous ne sommes plus sur un segment? Quel est alors l'adhérence des fonctions polynomiales dans R? Exercice: On définit S(x) = Somme(n=1 à inf (-1)^n / (n+x)). Q: Donner l'ensemble de définition de S Q: Montrer sur S est dérivable sur ]-1, inf[ Q: Quelle est la limite de S en -1. Comme je ne trouvais pas, le jury m'a suggéré d'utiliser le fait que la série soit alternée

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très gentil, les questions s'enchainaient mais je n'ai jamais senti de pression durant cet oral. Un des membres semblait agréablement surpris qu'il y ait une sous-partie sur les séries de Fourier. Le jury aide, mais n'en dit pas trop, ils veulent voir les différentes réflexions qu'on peut avoir avec une petite indication.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Mieux que je ne le pensais. Il y avait 3 spectateurs mais on ne se rend pas du tout compte de leur présence. J'avais beau connaître plutôt bien le plan de cette leçon j'ai fini de l'écrire au bout des 2H45, avec moins de précision sur les derniers théorèmes que j'écrivais.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.