Inégalité de Heisenberg

Pour toute fonction $f\in L^2$ sur $\mathbb{R}$, on a l'inégalité suivante :\r$\int_{\mathbb{R}}\lvert xf(x)\rvert^2dx\int_{\mathbb{R}}\lvert \zeta\hat{f}(\zeta)\rvert^2d\zeta\geq\frac{1}{4}\|f\|^4_{L^2}$\r\rLa preuve se fait pour des fonctions de l'espace de Schwarz, puis par densité, en approximant par convolution, et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et des approximations de l'unité sur certaines suites de fonctions.