Théorème de Fejer

Le dev est au recto, appli et lemmes au verso Réf : El Amrani p.191 - 192 et Zuily Queffelec p. 88 - 89 Recasage : 209, 228, 234, 241, 246 Remarque : Développement classique et à connaître. Connaissez quelques appli (j'en ai mis 3 au verso). Le dev est assez calculatoire, et peut être rapide donc prenez le temps de détailler les étapes. '

Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

Recasages: 209, 246 Je démontre le cas continue pour en déduire ensuite le cas L^p. Attention: la 1ère inégalité dans le point 1 ne permet pas de conclure que sigma_n(f) est continue 2-pi périodique. Cette inégalité est en fait inutile et inutilisée. Je le prends dans le El Amrani mais j'adapte quelques passages que je trouve bizarrement fait dans le livre. Se fait bien en 15 minutes.'

Gourdon page 306 Couplé avec les leçons 209, 241, 246'

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Je suis d'accord avec les recasages (209,246) mais je mettrais 5 étoiles aussi pour 246 : tout de même, ce théorème est le cœur de la théorie des séries de Fourier !! Ma démonstration est un mix entre celle du El Amrani et celle de mon cours de L3/M1. La seule différence est que El Amrani voit $K_N(t)\frac{dt}{2\pi}$ comme une mesure et applique Hölder à l'intégrale contre cette mesure... Je ne fais pas vraiment comme ça mais ça revient au même bien sûr. Le théorème qui suit ne tient pas forcément dans les 15 minutes.'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Les arguments à la fin sont similaires à ceux du théorème de Weierstrass (par convolution). Le premier lemme est une question classique (tombée à l'écrit cette année). Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

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Version manuscrite, désolée pour l'écriture . Développement où je \"triais\" ce que je présentais selon les leçons. Le recassage dans la leçon 244 est peut-être un peu abusé, mais je n'avais pas le temps d'apprendre un nouveau développement et je trouve que c'est quand même une belle illustration de la formule d'Euler. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. '

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.'

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https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine'

Ici on ne démontre que le théorème de Fejer pour les fonctions continues.'

D'après moi pour les leçons : 209 et 246. J'ai rajouté l'application au cas des fonctions $C^0$ et $C^1 pm$. Il semble que le jury apprécie aussi celle à l'injectivité de l'application qui à une fonction $L^1$ associe la suite de ses coefficients de Fourier. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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Le développement est dans le livre Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amari.'

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