L'équation de la chaleur par les séries de Fourier

Soit $u_0\in L^2([0;1])$ et $(d_n = c_n(u_0))_{n\in\mathbf{Z}}$ la suite de ses coefficients de Fourier.\rAlors: il existe une unique fonction $u\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R};\mathbf{R})$ telle que:\r(1) Pour tout $t\in\mathbf{R}_+^*$, $u(t;.)$ est $2\pi$-périodique.\r(2) $\partial_t u$ et $\Delta_x u$ sont bien définies et continues sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$.\r(3) $\partial_t u = \Delta_x u$ sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$ (équation de la chaleur).\r(4) $u(t;.)$ tend en norme $L^2$ vers $u_0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$