Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Le dev est au recto, lemmes au verso Réf : Queffelec et Queffelec p.219 et 454 Recasage : 230, 243, 245, 261, 264, 266 Remarque : Développement sympa. Il a l'avantage de traiter des proba et de séries entières, et de bien se recaser. Attention dans la leçon 245, soyez près à justifier le recasage. Je vous conseille de faire un plan en 5 items pour plus de clarté. Le dev est un peu long'

J'utilisais surtout ce développement pour 261, éventuellement pour 245. Je suis passé dessus le jour J (pour 261), j'ai donc ajouté les questions du jury à la fin du document. Attention aux éventuelles coquilles !'

- Preuve (pour s'échauffer) de $X \sim \mathcal{P}(\lambda),\, Y \sim \mathcal{P}(\mu),\, X \perp \!\!\! \perp Y \implies X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$ ; - Preuve d'une sorte de réciproque : si $X \perp \!\!\! \perp Y$ sont des v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson. Attention au fait que l'on inclus la loi $\delta_0$ dans les lois de Poisson (sinon il faudrait supposer $X$ et $Y$ non presque sûrement nulles, ce qui ne changerait rien au raisonnement). Attention aussi à la terminologie \"indécomposable\" qui rentre en contradiction avec la notion de lois décomposables (dont fait partie la loi de Poisson) présentée dans Appel \"Mathématiques pour l'agrégation externe : probabilités\". Leçons concernées : 243, 245, 261, 264, 266'

Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/'

Ma version ressemble à celle de Méthivier. Je le recasais aussi finalement de façon abusive dans série de Fourier (246) avec l'expression des coefficients de série de Fourier dans la preuve de Hadamard. '

Je suis passé sur ce développement le jour J pour la leçon 264. J'ai pu tout faire tenir en 15 minutes. On m'a demandé l'idée de la preuve du théorème d'analyse complexe que j'ai admis, je ne savais pas du tout et ça ne m'a pas empêché d'avoir 18 donc pas de panique. On m'a aussi posé une ou deux questions assez basiques sur les séries entières. '

Personnellement, je ne l'ai recasé que dans les leçons de probas car c'est celles que j'ai faites à la fin de l'année et c'était le dev qui me manquait, mais je suis parfaitement d'accord avec les autres recasages (241, 243, 245). Il faut bien s'entraîner plusieurs fois dessus, pour être sûr qu'on a bien tous les arguments. Attention, sur la 2e page il manquait des arguments, que j'ai reportés à la fin (petite étoile noire).'

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024. ATTENTION ! Il y a beaucoup d'erreurs sur les versions de ce développement disponibles sur agreg maths, dues principalement à des tentatives d'adaptation du lemme d'Hadamard.'

Je le mets pour 243, 245, 261, 264, 266. Tout est dans Queffelec-Queffelec avec un lemme préliminaire puis le théorème.'

Presque un copié collé du Queffélec et Queffélec. Je démontre le lemme de Hadamard en préliminaire qui est utilisé dans la preuve. Encore un très joli résultat assez plaisant à démontrer. Attention aux coquilles.'

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Selon moi : pour les leçons 243, 245, 261, 264, 266 faute de mieux. Non testé en oral devant Jury. Si le développement est trop rapide, on peut songer à montrer le théorème préliminaire (pour la leçon 245), ou expliquer pourquoi si X et Y sont indépendantes de loi de Poisson, la somme suit encore une loi de Poisson (faites le avec les séries génératrices) L'argument sur les a_n =0 si n>=2 est inspiré de Queffélec mais j'ai simplifié les arguments. Les Queffélec utilisent un théorème d'Hadamard qu'ils démontrent plus tôt d'une manière similaire'

Développement 2.9 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf '