Développements de sinus, cotangente et cosécante en produit et sommes infinis du point de vue holomorphe

On démontre les égalités classiques $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod\limits_{n = 1}^{+\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2})$, $\pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{2 z}{z^2 - n^2}$, et $\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z - n)^2}$ avec des théorèmes sur les fonctions holomorphes.