Théorème de Weierstrass (par la convolution)

- Convergence uniforme de $f \ast \chi_n$ vers $f$ pour une approximation de l'unité $(\chi_n)$ ; - Choix d'une approximation de l'unité telle que $f \ast \chi_n$ soit polynomiale ; - Preuve de Théorème de Weierstrass. Leçons concernées : 201, 203, 209, 228'

Recasages: 201, 203, 209, 228, 239, 241 Passe bien en 15 minutes. Je suis tombé dessus le jour J pour la leçon sur la compacité. Voici les questions posées: - Dans votre définition de la convolution, l'intégrale est sur R, or ici elle est sur [-1/2,1/2]. Comment vous le justifiez ? - Est-ce que l'on pourrait montrer que le coefficient a_n tend vers 0, indépendamment de ce que vous avez fait ? - Qu'est-ce qu'on peut dire du résultat si f est cette fois-ci de classe C^1 ? - Comment vous démontrez le théorème de Heine ? - Est-ce que vous connaissez des applications du théorème de Heine ? Cependant, je n'ai pas eu d'exos utilisant le théorème de Weierstrass.'

J'ai failli l'avoir le jour J. On retiendra qu'il ne marche pas sur C.'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. Gourdon démontre ce thm pour une application f définie sur [-1/2;1/2] puis montre que n'importe quelle fonction peut être ramenée à une telle application. Je trouve plus logique de partir d'une fonction dont on ne contraint pas l'ensemble de définition, et on adapte notre étude et notamment nos polynôme Pn à cette fonction quelconque. Je pars donc de ma fonction f, à support compact quelconque [a;b], puis je fixe un c réel tel que [a;b] soit inclus dans [-c/2;c/2] et enfin je fonctionne comme Gourdon mais avec une normalisation par c dans le polynôme pn.'

Le recasage est indécent, et ça permet de bosser la convolution. Que demander de plus ?'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

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Certains arguments de la preuve étaient requis dans une question de l'écrit de cette année. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Développement plus technique qu'il n'y paraît, surtout la troisième partie de la preuve du théorème. À part ça il n'y a pas pré-requis je trouve donc c'est bien ! Je le prends pour les leçons 201, 203, 209 et 228. La preuve se trouve aux alentours de la page 283 de la référence.'

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Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

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Être précis sur les quantificateurs sans quoi on peut vraiment venir vous embêter sur des détails. '

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/ '

Leçons 201, 203, 209, 228, 234.'

D'après moi pour les leçons : 201, 203, 209 et 228. La dernière partie avec les changements de variable est à mon sens extrêmement pénible. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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Le Gourdon fait le cas à valeur dans C. On peut faire comme ici le cas à valeur dans R et se ramener au cas à valeur dans C en remarquant que x dans C n'est autre que a + ib avec a dans R et b dans R. Ce développement est souvent plus apprécié que sa version probabiliste ;)'