Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)

Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner. Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive. Côté recasages à mon avis: Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre Fonctions usuelles et spéciales Problèmes d'interversion en analyse Fonctions holomorphes Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Utilisation de la méthode de séparer la fonction en 2 sommes de fonctions. L'une méromorphe, l'autre analytique.

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

D'après moi pour les leçons : 207, 235, 239, 245 et 265. Version qui n'utilise pas la relation $\Gamma(z+1)=z * \Gamma(z)$, mais qui explicite $\Gamma$ comme la somme d'une fonction méromorphe sur C et d'une fonction entière. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Prérequis: critère d'holomorphie pour les produits de fonctions holomorphes. Contrairement à d'autres versions, je démontre que Gamma s'étends de façon méromorphe sur C VIA la formule de Weierstrass. Mais il y a beaucoup plus simple (à l'aide des IPP), qu'on peut rajouter, mais cela rallonge le développement déjà assez long ...

Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement : https://www.youtube.com/watch?v=06g-OONgV68&t=2s

En plus du prolongement méromorphe de \Gamma, on démontre la formule de Weierstrass pour en déduire que 1 / \Gamma est une fonction entière.

Cette version permet de montrer que Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur C\-N qui ne s'annule jamais et qui a des pôles simples en les -n, n \in N, de résidu (-1)^n/n!. Elle utilise la formule des compléments, elle-même prouvée avec des techniques de prépa (i.e. élémentaires mais un peu calculatoires). À vous de voir ce que vous voulez prouver et ce que vous voulez admettre (mais maîtriser quand même) pour votre développement. Je n'ai pas de référence pour ce développement mais certains points sont faits dans Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques de Rombaldi.

Fonction gamma page 95 et prolongement sur C page 147