Équation de Legendre (par les séries entières)

On résoud l'équation de Legendre \[ (1-x^2) y'' -2xy + a(a+1)y = 0 \] où $a \in \mathbb{R}$ via les séries entières. On démontre que les seules solutions de l'équation de Legendre prolongeables par continuité en 1 et -1 sont des polynômes. C'est un résultat très utilisé en physique. Attention le Berthelin est faux concernant l'équation de Legendre