Fonction caractéristique C1 sans moment

Théorème: Soit $(b_n)_{n\geq 0}$ une suite décroissante qui tend vers 0, on pose $\phi_n(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}b_k \sin(kt)$. Alors $\phi_n$ converge localement uniformément sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$, et on a l'équivalence suivante:\r\[(nb_n\rightarrow 0)\Longleftrightarrow (\phi_n\text{ converge uniformément sur }\mathbb{R})\]\r\rCorollaire: Soit $C^{-1}=\sum\limits_{k\geq 2}\frac{1}{k^2 \log(k)}$, et $\mu$ la distribution de probabilité sur $\mathbb{Z}$ définie par $\mu(n)=\frac{C}{2n^2 \log(|n|)}$. Soit $\phi$ sa fonction caractéristique, alors $\phi\in\mathcal{C}^{1}$ et $\mathbb{E}[|\mu|]=\infty$.