Sommation d'Abel des séries de Fourier

Énoncé : Soit $f$ un élément de ${\mathcal C}_{{\rm pm},2\pi}$. Pour tout élément $r$ de $]0,1[$, la série de fonctions \[ c_0 + \sum\limits_{n \ge 1} \left( {c_n \left( f \right){\mathop{\rm e}\ olimits} _n + c_{ - n} \left( f \right){\mathop{\rm e}\ olimits} _{ - n} } \right){r^n } \] converge normalement sur $\mathbb{R}$. Si $f_r$ désigne sa somme alors : -- $f_r$ converge simplement vers la régularisée $\tilde f$ de $f$ lorsque $r$ tend vers 1 par valeurs inférieures. -- Si $f$ est continue alors $ f_r$ tend vers $f$ lorsque $r$ tend vers $1^-$, uniformément en $x$ sur $\mathbb{R}$.