261 - Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications. 2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je fais le plan dans les temps. Dans l'idée : I - Loi d'une variable aléatoire 1) Définitions 2) Indépendance 3) Autour de l’espérance II - Fonctions caractérisant la loi 1) Fonction de répartition 2) Fonction caractéristique 3) Fonction génératrice (DEV : indécomposabilité de la loi de Poisson) 4) Problème des moments (DEV : problème des moments) III - Applications 1) Vecteurs gaussiens 2) Convergence en loi Questions sur le développement : Jury : Commençons par les résultats d'analyse complexe que vous avez utilisés. Comment justifiez-vous l'existence de $F$ ? Moi : On utilise le résultat plus général qui dit qu'une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe, sur lequel elle ne s'annule pas, admet un logarithme holomorphe. Jury : Et savez-vous comment on prouve ce résultat ? Moi (après quelques secondes de réflexion) : On utilise le fait que toute fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe admet une primitive. Puis on l'applique à $f'/f$. Jury : Comment justifiez-vous l'expression intégrale de $a_n r^n$ ? Moi : On utilise l'écriture de $F$ comme somme d'une série entière, on évalue en $re^{it}$, on multiplie par $e^{\pm int}$, on intègre. Ensuite on peut permuter intégrale et somme car on intègre sur un segment la somme d'une série normalement convergente. Jury : Et comment obtenez-vous $\Re(F(0))$ par la suite ? Moi : De la même manière. Jury : Et savez-vous quelle propriété de $F$ fait que l'on a cette égalité entre $F(0)$ et l'intégrale de $F$ sur un cercle centré en $0$ ? Moi (pas sûr du tout, hésitant) : L'harmonicité peut-être... Jury : Oui, c'est ça. Jury : Connaissez-vous d'autres lois qui seraient \"indécomposables\" de la même manière ? Moi : Je n'en suis pas certain, mais je crois que cela fonctionne pour la loi binomiale. Jury : Comment le montreriez-vous ? Moi : De la même manière, à l'aide de la fonction génératrice des moments. Mais là la loi est à support fini, donc on devrait pouvoir se passer de toute la partie analyse complexe. Jury : Oui, en effet. À quoi ressemble la fonction génératrice pour une loi binomiale $(n, p)$ ? Moi : C’est la puissance $n$-ème de la fonction génératrice d'une Bernoulli de paramètre $p$ : $G_X(t) = (1 - p + pt)^n$. Avec les mêmes notations que dans l'énoncé, on devrait donc avoir $G_Y(t)G_Z(t) = (1 - p + pt)^n$. Or $Y, Z$ sont p.s. à valeurs dans $[\![ 0, n ]\!]$, donc $G_Y, G_Z$ sont polynomiales. On en déduit facilement que $G_Y(t) = (1 - p + pt)^k$, $G_Z(t) = (1 - p + pt)^{n-k}$ pour un entier $k\in[\![ 0, n ]\!]$. Jury : Oui, c'est ça. Avez-vous d'autres exemples de lois indécomposables ? Moi : Je ne pense à rien d'autre en discret... Jury : Pas forcément une loi discrète. Moi : Ah, d'accord. Ça devrait marcher pour la loi normale. Jury : Et comment montreriez-vous cela ? Moi : Essentiellement avec le même début, puisqu'on connaît la fonction génératrice d'une loi normale. Jury : Heu... Moi : Pardon, la fonction caractéristique ! C'est quelque chose comme $\exp(-t^2)$ (pour une $\mathcal{N}(0, 1)$). Jury : Oui, c'est ça. Questions sur le plan : - Correction de coquilles. - Question sur l’unicité de la densité à un ensemble négligeable près. - On me demande un exemple de loi ni discrète, ni à densité pour la mesure de Lebesgue. On peut sommer une v.a.r. à densité et une v.a. discrète indépendante. Puis le jury me demande un autre exemple encore, et me suggère une somme infinie $\sum_n X_n / 3^n$ avec $(X_n)_n$ i.i.d. de Bernoulli. Exercice : Jury : On considère $X, Y$ i.i.d., de carré intégrable, avec $\frac{X + Y}{\sqrt 2} \overset{\text{(loi)}}{=} X$. Déterminer la loi en question. Moi : Déjà comme ça j'aurais envie de dire qu'on a une loi normale. On peut prendre la fonction caractéristique, ce qui donne, $X$ et $Y$ étant i.i.d. : \[ \varphi_X(t) = (\varphi_X(t/\sqrt2))^2. \] Donc essentiellement on veut résoudre une équation fonctionnelle. Jury : Est-ce qu'on ne pourrait pas itérer cette équation fonctionnelle ? Moi : Oui, on peut... On obtient : \[ \varphi_X(t) = (\varphi_X(t/2^{n/2}))^{2^n}. \] L'intérieur tend vers $1$, l'exposant vers $+\infty$, on peut juste faire un développement limité... On obtient : \[ \varphi_X(t) = \exp(2^n \log (\varphi_X(t/2^{n/2})) ). \] Et : \[ \varphi'(u) = 1 + u \varphi'(0) + u^2/2 \varphi''(0) + o(u^2) \] car $\mathbb{E}[X^2] < \infty$. Jury : Oui, mais que peut-on dire de $\mathbb{E}[X]$ ? En revenant en arrière ? Moi : Heu... Ah oui, $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[ \frac{X + Y}{\sqrt2} \right] = \sqrt2 \mathbb{E}[X]$, donc $\mathbb{E}[X] = 0$. Donc : \[ \varphi_X(t) = \exp(2^n \log (1 - t^2 \mathbb{E}[X^2] / 2^n + o(1/2^n))) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \exp(-t^2 \mathbb{E}[X^2]). \] Jury : C'est ça, donc on obtient une loi normale centrée. Moi : Oui, centrée mais pas nécessairement réduite.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux hommes, une femme. Très sympathiques, et aidants.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Nous avons eu exactement trois heures de préparation ; c'est à l'issue de ces trois heures que les plans sont récupérés pour être photocopiés. J'ai essentiellement préparé le plan pendant deux heures, puis retravaillé mes développements ensuite.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développment : Q : Comment déduisez-vous que F est holomorphe ? R : Il y avait une fonction F qui s'exprimait comme une intégrale. J'ai oublié de redire en conclusion qu'on utilise le théorème d'holomorphie sous le signe intégral. Q : Vous avez pris z dans $\mathbb C$ ? R : Par erreur, j'ai écrit $\mathbb C$ au lieu de K. En fait $z$ est pris dans un compact $K$ de $\mathbb C$, pas dans $\mathbb C$ tout entier, afin de mener à bien une domination sur tout compact. Q : Pourquoi vous faites la domination sur tout compact ? R : Avec la fatigue et la chaleur, je n'ai pas tout de suite répondu que tout point de $\mathbb C$ est bien sûr inclus dans un compact. Au lieu de ça, j'ai fait des digressions sur la forme que l'on pouvait prendre pour les compacts : des bandes, des disques, etc. Q : Pouvez-vous détailler davantage la domination ? Pas de souci, je suis allé vite à la présentation pour gagner du temps Questions sur le plan : Q : Pendant votre défense, vous avez dit que la fonction caractéristique et génératrice d'une v.a. discrète ont des propriétés similaires. Pouvez-vous développer ce point ? R : j'ai commencé à expliquer que si X et Y sont indépendantes, alors $\phi_{X+Y}$ et $G_{X+Y}$ ont la même propriété de factorisation. Q : Pouvez-vous plus précisément donner le lien entre $\phi$ et $G$ en général ? R : j'ai dit qu'il s'agit de poser $z=e^{it}$ et d'utiliser une définition plus générale de la fonction génératrice, vue comme série entière complexe de rayon de cvg au moins 1 (dans mon plan, j'ai pris une série entière réelle pour $G$). J'ai ensuite mis beaucoup de temps avant de comprendre que le jury attendait que je dise que $e^{it}$ est de module 1, inférieur au rayon de cvg de la série génératrice. Pour y arriver, le jury m'a posé des questions de plus en plus simple ce qui m'a fait beaucoup paniquer, je ne voyais pas où il voulait m'emmener. Questions diverses : Q : Soit U uniforme sur [-1,1]. Caractérisez la loi de $\abs{U}$. R : j'ai calculé sa fonction de répartition. J'ai oublié de diviser par 2 (car [-1,1] est de longueur 2) mais j'ai pu corriger. Q : Quid de la loi de $U^2$ ? R : J'ai modifié mes calculs précédents, je trouve $F(x)=\sqrt(x)$ et je ne reconnais pas la loi (après l'oral je me suis rendu compte que c'était une loi bêta et j'aurais pu le savoir !) Q : Quelle est la densité de $U^2$ ? R : J'ai calculé l'espérance de $\phi(U^2)$ sans dire qui est $\phi$. Un des membres du jury me demande si $\phi$ est ma fonction de répartition, je réponds que non, c'est une fonction continue bornée quelconque. Je me trompe dans le calcul, mais l'aide du jury je trouve le bon résultat. Q : Comment aurait-on pu anticiper ce résultat ? R : J'ai dit que $F$ est la dérivée de $f$ ici. Je voulais bien sûr dire le contraire ! Fin de l'oral.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury parfaitement neutre et froid. Il m'arrivait de mal comprendre une question, et une fois que je déroule une réponse hors sujet, le jury tire un léger rictus avant de me recadrer.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je suis déçu de ne pas avoir pu exprimer mes connaissances en proba. Contrairement à l'épreuve de la veille (Algèbre/Géométrie), j'ai bien pris le temps de me reposer après la fin de la préparation car j'étais à l'aise sur la défense de plan et mes développements.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Sur le développement, un membre du jury m'a demandé comment je justifiais le développement limité de l'exponentielle qui apparaît quand on écrit la fonction caractéristique dans le TCL, il voulait me faire dire quelque chose en lien avec l'analyse complexe, mais j'ai pas su quoi... Je parlais, dans Lévy, de la densité de $\mathcal{C} ^\infty _c$ dans $\mathcal{C}_c$. J'ai du le justifier, j'ai construit une approximation $\mathcal{C}^\infty$ avec $$\exp(\frac{-1}{1-x^2})\chi_{]-1,1[}(x)$$ que j'ai convolée avec $f$, et j'ai dit que le support d'une convolée était inclus dans la somme des supports. J'ai aussi écrit la majoration uniforme, ce sont des intégrales découpées après le théorème de Heine. Sur le plan : à l'aide de la fonction génératrice, montrer qu'une somme de deux Poisson est une Poisson de paramètre la somme. J'avais oublié la fonction géné de la Poisson, et même la proba de Poisson avec le stress. Un jury m'a dit : \"écrivez le DSE\" de exp et j'ai retrouvé et j'ai fini la question. Dans mon plan je parlais de : loi discrète, loi continue. Ils m'ont demandé un exemple de loi ni discrète, ni continue. J'ai commencé à parler de somme infinie parce que ça me rappelait un truc, il m'a dit \"plus simple\". Alors j'ai sommé un Dirac et une densité, j'ai proposé $$\frac{1}{2}\delta_0 + \lambda e^{-\lambda x} \chi_{[0,\infty[}(x)dx$$ qu'ils m'ont fait renormaliser (le tout mesure $3/2$, donc mutliplier par $2/3$). J'avais mis dans mon plan qu'il n'existait pas de mesure sur $N$ telle que les mutliples de $n$ mesurent $1/n$, ils m'ont demandé la preuve, je la connaissais, c'est un corollaire de la divergence de la série des inverses des premiers. Enfin, un exercice, donnez un équivalent, lorsque $n\rightarrow \infty$, de $$A_n = \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}.$$ Il faut utiliser le TCL, et passer à la limite dans les probas.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
très gentil, une dame ne parlait pas trop. les deux autres étaient dynamiques et aidants.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Il y avait deux visiteurs. C'était mon premier oral sur les 3 jours : convoqué 7h30, tirage 7h45, fin du plan 10h45, interrogation de 11h à 12h. l'avantage de passer premier de la journée, c'est qu'il fait moins chaud !

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai eu quelques questions sur le developpement, par exemple préciser le fait que l'espace des mesures de proba sur $R^{d}$ est métrisable compact pour la convergence étroite. Sinon, deux exos : un sans rapport avec la leçon, et un sur les fonctions caractéristiques. Que dire d'une v.a. réelle dont la fonction caractéristique vaut 1 en un $t \textgreater 0$ ? -\textgreater La loi charge les 2k*Pi/t.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est bien passé. J'ai été surpris par le 1er exo qui n'avait pas beaucoup de rapport avec la leçon (calcul de densité marginale).