Divergence de la série des inverses des nombres premiers

Un développement classique, tombé dans une partie aux écrits il y a quelques années. Il n'est pas difficile de mon point de vue. Je ne le trouve pas non plus très long, mais à la limite vous pouvez passer à l'oral la preuve de l'équivalent de zeta en 0 quitte à la donner si on vous la demande (je parle du début de l'étape 6), mais j'avais tendance à la faire dans tous les cas. Attention aux coquilles.'

Développement très sympathique, qui se recase dans de nombreuses leçons. Par contre, le développement est assez long. Ne démontrez surtout pas la proposition 2 durant votre exposé. Écrivez directement que $\displaystyle \zeta(\alpha) \underset{\substack{\alpha \rightarrow 1 \\ \alpha > 1}}{\sim} \frac{1}{\alpha-1}$, et précisez à l'oral que cet équivalent se démontre en effectuant une comparaison série intégrale. En revanche, entraînez-vous à rédiger proprement cette comparaison série-intégrale : c'est niveau licence donc vous devez être irréprochable.'

On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement. Côté recasages à mon avis: Séries de nombres réels ou complexes VA discrètes Indépendance en proba Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon \"nombres premiers\" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Divergence de la série des inverses des nombres premiers couplée avec la formule du produit eulérien. C'est la version analytique du théorème fondamental de l'arithmétique.'