Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss

On calcule $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$) On trouve : $$\tau_n = \frac{1+i^{-n}}{1+i^{-1}} \sqrt{n}$$ Le calcul se fait en reconnaissant la somme comme la valeur d'une fonction, et de calculer cette valeur en utilisant les séries de Fourier et le théorème de Dirichlet. Au passage, on détermine la valeur de l'intégrale de Fresnel : $$\int_0^{\infty} \exp(2i \pi x^2) \mathrm dx$$