Nombres de Bell

Développement assez calculatoire, il faut bien le travailler en amont pour pas bugger le jour j

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Version manuscrite, désolée pour l'écriture . J'ai un peu fait un mixte des références et l'ai revu à ma façon. Au final je ne détaillais pas la partie \"intuition\" dans le 1)b) comme c'est écrit ici. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Attention au début de la preuve, un peu technique. Le reste déroule bien. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Recasages: 190, (241, 243) Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme. Bernis p266, FGN p12 Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Exemple d'utilisation des séries entières dans la résolution de problèmes combinatoires. (p12)

Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$. Alors : -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}. \end{equation} -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$ a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie : $$ \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t). $$ -- Pour tout entier naturel $n$, $$ B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}. $$ Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Mis à jour le 4.06.17