Nombres de Bell

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Dans la 190 je mettais l'argument que vous avez en annexe il fait plus combinatoire. Attention aux coquilles.'

Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

- Formule de récurrence sur les nombres de Bell ; - Expression explicite par les séries génératrices exponentielles et les développements en série entière. Leçons concernées : 190, 243'

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement. Je recommande ce développement.'

Recasages: 190, (241, 243) Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme. Bernis p266, FGN p12 Mon site: https://esuong-maths.fr'

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Pour les leçons : 190, 241, 243'

Développement assez calculatoire, il faut bien le travailler en amont pour pas bugger le jour j'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . J'ai un peu fait un mixte des références et l'ai revu à ma façon. Au final je ne détaillais pas la partie \"intuition\" dans le 1)b) comme c'est écrit ici. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. '

Attention au début de la preuve, un peu technique. Le reste déroule bien. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

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Exemple d'utilisation des séries entières dans la résolution de problèmes combinatoires. (p12)'

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Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$. Alors : -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}. \end{equation} -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$ a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie : $$ \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t). $$ -- Pour tout entier naturel $n$, $$ B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}. $$ Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses'

Mis à jour le 4.06.17'

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