223 - Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
On m’a tout d’abord demandé quelques précisions sur le développement (il y avait quelques imprécisions) , sur le développement on m’a aussi demandé comment je faisais pour extraire une sous suite d’éléments de K à partie de ce que j’avais démontré Un exercice en rapport avec le développement : La fonction de [0,1] dans [0,1] définie par f(x)=2x si x<0.5 et 2(1-x) sinon, que dire sur la suite des itérés. On me suggère de tracer la fonction. Je trace la fonction et je vois qu’elle est continue je dis donc que si la suite converge c’est vers un point fixe, on me demande alors quels sont les points fixe, je dis que 0 en est un puis je regarde sur mon dessin si il y a une autre intersection avec y=x : il y en a une donc je fais le calcul exact : 2/3 est un point fixe. On me demande donc de regarder ce qu’il se passe autour de ces points fixes : je dessine les itérés en prenant deux valeurs différents de condition initiale je vois qu’on ne va pas converger vers le point fixe : pour le point fixe 0 on me demande d’expliquer : je dis que si je m’éloigne de ce point car f(x)=2x est donc plus grand que x. On me demande de faire un lien avec la dérivée : je dis que la dérivée aux points fixes est plus grande que 1 donc les points sont répulsif. On me demande de montrer ça : j’utilise les accroissements finis pour montrer qu’on s’éloigne du point fixe. Autre question en rapport avec le développement : est ce que je connais une suite telle que d(un, un+1) tend vers 0 mais la suite ne converge pas ; je donne la suite des sommes partielles de la série harmonique. Ensuite j’ai eu un exercice où je devais montrer qu’une certaine suite de fonction n’admettait pas d’extractrice qui fasse converger la suite pour tout x (c’était une suite du genre e^inx) D’abord on m’a demandé pourquoi à x fixé j’avais bien une valeur d’adhérence : j’ai dit que la suite était bornée donc elle a bien une valeur d’adhérence. Ensuite j’ai du supposer que j’avais une extractrice fonctionnant pour tous les x, en intégrant fn*g sur un segment avec les bonnes hypothèses sur g j’avais la convergence de l’intégrale vers l’intégrale de f*g. Or on m’a fait montrer que l’intégrale de fn*g tendait vers 0 si j’avais g de classe C1 (par ipp) puis si j’avais g dans L1 (par densité). Ainsi on obtenait l’intégrale de f*g qui était nulle pour toute fonction g L1 et nous n’avons pas eu le temps de conclure.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était encore une fois très gentil et aidant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Il n'y a pas eu beaucoup d'exercices, ils étaient moyens sans indication, faciles avec. Exo 1 : Sauriez-vous montrer que $u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ converge en n'utilisant aucun outil théorique sur les séries ? Indication : Considérer $v_n=u_n+\frac{1}{n(n!)}$ Exo 2 : On considère $(u_n)$ une suite réelle positive telle que : $\forall n,p\in N, u_{n+p}\leq u_n+u_p$. Montrer que $\frac{u_n}{n}$ converge Indication : Montrer que ça converge vers $inf \frac{u_n}{n}$

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
J'ai eu pas mal de questions sur mon plan, beaucoup de petites questions qui me faisaient approfondir des items de mon plan. Un des membres du jury (Torossian crois-je) est beaucoup revenu sur le fait que j'avais parlé de suites de v.a réelles dans mon plan.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral était pas terrible, je me suis planté en faisant Stirling ce qui est loin d'être glorieux. Sinon le jury était neutre, il ne semblait ni emballé ni lassé.