Critère de Weyl
Soit une suite $(u_n)_{n\ge 1} \in [0,1]$. Pour tout $0 \le a \le b \le 1$, on note
$$ X_n[a,b] = |\{ k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n : u_k \in [a,b] \} | $$
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $\forall 0 \le a \le b \le 1, \frac{ X_n[a,b]}{n} \to b-a$
- $\forall f \in C^0[0,1] , \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) \to \int_0^1 f$
- $ \forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{i 2\pi p u_k} \to 0$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications2026 |
| 3 | 202 | Exemples de parties denses et applications.2019 |
| 3 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2026 |
| 3 | 246 | Séries de Fourier. Exemples et applications.2026 |
Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX
Développement intéressant mais que j'ai abandonné au final parce qu'il ne se recase pas très bien.'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : 20160
Le rapport absout les candidats qui veulent recaser leurs développements sur les séries dans la leçon sur les suites. Je me rallie à cette autorisation fortuite, mais pour ne pas trop avoir l'air d'un forceur, j'ai sélectionné à côté ce joli développement dont j'avais toujours entendu parler et qui permet d'explorer le sujet des suites équiréparties, qui de plus sonne bien comme une partie d'un écrit. Le développement en lui-même étant trop faible, j'ai rajouté une application aux $(n\theta)_n$ qui ouvre la porte à des tas de saloperies (peu désagréables) mais relève le niveau. Enfin l'interprétation probabiliste permet de fournir les plans des leçons concernées.'
Références :
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés - Houkari
Utilisateur : EWna
Recasages: 209, 223, 246
Page 47
Inspiré de AdrienChd, spécialiste du sujet: je recommande sa version, très complète.
Mon site: https://esuong-maths.fr'
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : AdrienChd
Recasages : 223, 209, 246.
Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).
Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.'
Références :
Fourier Analysis - Stein, Shakarchi
Oraux X-ENS Analyse 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : VK
Dans FGN Analyse 2 la preuve est incomplète, ma version est à la fois plus courte et complète.
<a href=\"https://valentinkil.github.io/files/pdf/Weyl.pdf\">Critère_de_Weyl.pdf</a>
'
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Pierre Loisel
La fin du développement n'est pas pareil que dans le FGN, là c'est plus propre (faut pas hésiter à faire un dessin pour voir ce que ça donne concrètement).
Attention aux coquilles !'
Références :
Utilisateur : Marie
Mis à jour le 29.05.17'
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas