Critère de Weyl
Soit une suite $(u_n)_{n\ge 1} \in [0,1]$. Pour tout $0 \le a \le b \le 1$, on note \r\r$$ X_n[a,b] = |\{ k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n : u_k \in [a,b] \} | $$\r\rLes assertions suivantes sont équivalentes :\r\r- $\forall 0 \le a \le b \le 1, \frac{ X_n[a,b]}{n} \to b-a$ \r- $\forall f \in C^0[0,1] , \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) \to \int_0^1 f$\r- $ \forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{i 2\pi p u_k} \to 0$\r
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.2025 |
| 3 | 202 | Exemples de parties denses et applications.2019 |
| 3 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025 |
| 3 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2025 |
| 3 | 246 | Séries de Fourier. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : EWna
Recasages: 209, 223, 246
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Inspiré de AdrienChd, spécialiste du sujet: je recommande sa version, très complète.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : AdrienChd
Recasages : 223, 209, 246.
Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).
Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.
Références :
Fourier Analysis - Stein, Shakarchi
Oraux X-ENS Analyse 2 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : VK
Dans FGN Analyse 2 la preuve est incomplète, ma version est à la fois plus courte et complète.
<a href=\"https://valentinkil.github.io/files/pdf/Weyl.pdf\">Critère_de_Weyl.pdf</a>
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Pierre Loisel
La fin du développement n'est pas pareil que dans le FGN, là c'est plus propre (faut pas hésiter à faire un dessin pour voir ce que ça donne concrètement).
Attention aux coquilles !
Références :
Utilisateur : Maurer
Références :
Utilisateur : Marie
Mis à jour le 29.05.17
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Victor
Références :
Oraux X-ENS Analyse 2 - Francinou, Gianella, Nicolas