Etude de suites définies par récurrence

Théorème : Soient un réel $b >0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$. on suppose que : - $f$ est continue, croissante tels que pour tout $x \in ]0,b]$, $f(x) < x$ et $f(0)=0$. - Il existe un réel $ \lambda >0$ et un réel $r >1$ tels que : $$f(x) = x -\lambda x^r + \underset{x \to 0 }{o}(x^r).$$ Pour tout $c\in ]0,b[$ la relation $$\begin{cases} u_{n+1}= f(u_n), \ \forall n \in \N \\ u_0 = c \end{cases}$$ définit une suite $(u_n)$ à valeur dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus $$u_n \underset{n \to + \infty }{\sim}\dfrac{K}{n^{\frac{1}{r-1}}}, \text{ où } K=(\lambda (r-1))^{\frac{1}{1-r}}.$$ Théorème : Dans le cas particulier où $f : x \to \ln(1+x)$, on a le développement asymptotique à deux termes : $$u_n = \dfrac{2}{n}+ \dfrac{2\ln(n)}{3n^2} + \underset{n \to + \infty }{o}\left( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\right)$$