Ordre moyen de l'indicatrice d'Euler et de $\sigma$
Un ordre moyen de $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ mesurable telle que $\sum_{n \leq x } \sim \int_0^x g(t)dt$ pour $x \to +\infty$.
Un ordre moyen de $\sigma(n)=\sum_{d|n} d$ est $x \mapsto \frac{\pi^2}{6}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{\pi^2}{12}x^2 + O(xlog(x))$.
Un ordre moyen de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ est $x \mapsto \frac{6}{\pi^2}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{3}{\pi^2}x^2 + O(xlog(x))$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 4 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications2026 |
| 4 | 224 | Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2026 |
| 4 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026 |
Utilisateur : Vasseur
N'hésitez pas à me signaler la moindre erreur ou coquille par mail. Je n'ai pas directement parlé d'ordres moyens dans ce document, je présente les calculs qui permettent d'aboutir aux développements asymptotiques voulus. Je l'ai rédigé à ma manière en essayant de rendre clair les différentes étapes.. En espérant que cela puisse aider.'
Références :
Utilisateur : Matoumatheux
Un développement qui rentre à merveille dans les leçons suites et développements asymptotiques, pas vraiment calculatoire et qui utilise plein de résultats classiques qui, si vous êtes calés sur leur démonstration, peuvent vous rapporter des points auprès du jury ! Je recommande fortement ! J'ai rajouté dans le pdf l'ordre moyen pour la fonction nombre de diviseurs :
\[
\begin{array}{ccrcl}
\tau & : & \mathbb{N}^* & \longrightarrow & \mathbb{N} \\
& & n & \longmapsto & \displaystyle \sum_{d \text{ }|\text{ }n}1
\end{array}
\]'
Références :
Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres\r - Tennenbaum
Utilisateur : Agnielli
'
Références :
Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres\r - Tennenbaum