Théorème de Danskin

Soient $N,M \in \mathbb{N}^{\ast}$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}^N$, et soit $K \subset \mathbb{R}^M$ un fermé non vide. On se donne une fonction $\phi : \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^M \rightarrow \mathbb{R}$ continue. Soit $f : \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction définie par : \[ \forall x \in \mathbb{R}^N \quad f (x) = \max_{y \in K} \phi (x, y) . \] On pose : \[ \forall x \in \mathbb{R}^N \quad Z (x) = \{ y \in K \ | \ f (x) = \phi (x, y) \} . \] On suppose qu'il existe un voisinage $V$ (ouvert) de $x_0$ tel que : 1) $Z$ n'est pas vide sur $V$ ; 2) $\underset{y \in V}{\bigcup} Z (x)$ est borné ; 3) Les gradients \"partiels\" $\ abla_x \phi$ par rapport aux $N$ premières variables de $\phi$ existent sur $V \times K$ ; 4) La fonction $(x, y) \longmapsto \ abla_x \phi (x, y)$ est continue sur $V \times K$. Alors : 1) $Z (x_0)$ est non vide ; 2) $f$ est bien définie et différentiable au sens de Gateaux sur un voisinage de $x_0$, et sa dérivée directionnelle en $x_0$ dans la direction $h \in \mathbb{R}^N$ s'écrit : \[ \mathcal{D}_h f (x_0) = \underset{y \in Z (x_0)}{\max} \mathcal{D}_h \phi (x_0, y) . \] En particulier, si le maximum de $\phi (x_0, \cdot)$ est atteint en un unique point $y_0$ (i.e. $Z (x_0)$ est un singleton), alors : \[ \mathcal{D}_h f (x_0) =\mathcal{D}_h \phi (x_0, y_0) . \] On présente également une application sur la distance signée.