Étude de deux suites récurrentes

On donnera un équivalent de la suite définie par $u_0 > 0$ assez petit et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = x-ax^\alpha + o(x^\alpha)$ où $a > 0$ et $\alpha > 1$. On regardera les cas particuliers de $f = \sin$ et $f = \ln(1+.)$. \r\rOn calculera ensuite un développement asymptotique de la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = u_n + e^{-u_n}$.