Un théorème de point fixe compact

<b>Théorème : </b> Soient $(E,\|\cdot\|)$ un evn (réel ou complexe), $K$ un compact de $E$ et une application continue $f:K\to K$. On suppose que pout tout $x$ et tout $y$ deux éléments distincts de $K$ on a : $$\begin{equation}\|f(x)-f(y)\|<\|x-y\|\end{equation}$$ Alors $f$ admet un unique point fixe $\alpha\in K$. De plus, pour tout $x\in K$, la suite numérique $(f^n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ des images itérées de $x$ par $f$, converge vers $\alpha$.