Intégrale elliptique et longueur du lemniscate

On note $M$ la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres ; alors, pour $u<v$ deux réels strictement positifs : \r$$I(u,v):= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{u^2\cos^2(\varphi) + v^2 \sin^2(\varphi)}} = \frac{\pi}{2M(u,v)}$$\r\rOn en déduit la longueur du lemniscate de Bernoulli, image par l'inversion de centre $0$ de rapport $1$ de l'hyperbole $\{x^2-y^2=1\}$ (d'équation en coordonnées polaires $r=\sqrt{\cos(2\theta)}$), qui vaut : \r$$\ell = \frac{2 \pi}{M(1, \sqrt 2)} $$\r\rPour poursuivre, on peut déterminer la vitesse de convergence des moyennes vers $M(a,b)$, et en déduire une estimation de l'erreur dans le calcul de la longueur du lemniscate.