Théorèmes de point fixe compact

Énoncé : Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $K$ un compact de $E$ et une application continue $f\; : \; K \longrightarrow K$. -- On suppose que pour tout $x$ et tout $y$ éléments distincts de $K$ : \begin{equation}\|f(x)-f(y)\| < \|x-y\|.\end{equation} Alors $f$ admet un et un seul point fixe $\alpha \in K$. De plus, pour tout $x\in K$, la suite $(f^n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ des images itérées de $x$ par $f$, converge vers $\alpha$. -- On suppose $K$ de plus étoilé, et pour tout $(x,y)\in K^2$ : \begin{equation}\|f(x)-f(y)\| \leq \|x-y\|.\end{equation} Alors $f$ admet un point fixe. On peut aussi présenter un exemple de convergence arbitrairement polynômialement lente pour le premier théorème.