Méthode de Newton

Le dev est au recto, lemmes et dessin au verso Réf : Dumas p. 19 - 20 et Rouvière p.152 Recasage : 218, 223, 224, 226, 228 Remarque : Développement classique et à connaître (surtout en option B). Je prenais pas assez de temps sur la version du Rouvière, du coup j'ai rajouté avec le Dumas le cas f'(x) = 0. On montre que F se prolonge de manière C1, la suite reste bien def et converge géométriquement. Le dev est plus complet et justifie mieux le recasage dans la 218, la 223, la 224 et la 228.'

Développement rédigé au cours de l'année. Garder un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

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- Convergence quadratique de la méthode de Newton dans le cas général ; - Précision et amélioration dans le cas d'une fonction strictement convexe. Leçons concernées : 218, 223, 226, 228, 229, 253'

Recasages: 218 (un peu abusif), 223, 224, 226, 228, 229 (un peu abusif), 253 (abusif) Certains recasages sont un peu forcés mais c'est pour ça que j'ai pris ce dév. Passe en 14min30.'

C'est un développement très (trop ?) classique. Mais il n'est pas nécessaire d'être original pour être admis au concours, donc ce n'est pas un inconvénient majeur. De mon point de vue, c'est un bon choix de développement, puisqu'il est accessible et rentre dans de nombreuses leçons. De plus, la méthode de Newton figure sur le programme du concours.'

Rouvière page 140 Couplé avec les leçons 218, 223, 226, 229'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.'

Je fais une version qui montre un résultat plus fort si on rajoute des hypothèses de convexité pour recaser le dev dans la leçon sur les fonctions convexes'

Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc. Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas. Côté recasages à mon avis: Suites numériques Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$. Formules de Taylor Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Ce développement est simple, efficace. Il faut par contre avoir bien compris la méthode, savoir l'illustrer avec des dessins, et savoir expliquer \"pourquoi on sait que ça va marcher en posant $F$ comme cela\" (point fixe superattractif, voir exo associé dans le Rouvière). Je ne traitais pas l'exemple dans le développement, je préférais commencer le développement par une explication rapide de la méthode avec un dessin, les tangentes etc... '

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . J'avais rajouté le lemme pour insister sur le recassage pour les leçon de convexité mais au final je me suis rendu compte que c'était trop ambitieux et pas nécessaire si l'on explique bien avec un schéma ce qui ce passe et en quoi la convexité nous aide. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin. '

Utilisable dans plein de leçons donc ultra classique. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

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Développement classique. On peut le mettre en oeuvre numériquement (on le fait en option B)'

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On peut prendre 1-2 minutes au début pour expliquer l'origine de cette méthode (voir l'heuristique du Rouvière à ce sujet).'

Leçons 223, 226, 228, 229.'

Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence. C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.'

Erratum du livre \"L'oral à l'agrégation de mathématiques\" au 15/07/2021'

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