Méthode de Newton

Je fais une version qui montre un résultat plus fort si on rajoute des hypothèses de convexité pour recaser le dev dans la leçon sur les fonctions convexes

Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc. Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas. Côté recasages à mon avis: Suites numériques Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$. Formules de Taylor Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Ce développement est simple, efficace. Il faut par contre avoir bien compris la méthode, savoir l'illustrer avec des dessins, et savoir expliquer \"pourquoi on sait que ça va marcher en posant $F$ comme cela\" (point fixe superattractif, voir exo associé dans le Rouvière). Je ne traitais pas l'exemple dans le développement, je préférais commencer le développement par une explication rapide de la méthode avec un dessin, les tangentes etc...

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Version manuscrite, désolée pour l'écriture . J'avais rajouté le lemme pour insister sur le recassage pour les leçon de convexité mais au final je me suis rendu compte que c'était trop ambitieux et pas nécessaire si l'on explique bien avec un schéma ce qui ce passe et en quoi la convexité nous aide. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Utilisable dans plein de leçons donc ultra classique. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Développement classique. On peut le mettre en oeuvre numériquement (on le fait en option B)

On peut prendre 1-2 minutes au début pour expliquer l'origine de cette méthode (voir l'heuristique du Rouvière à ce sujet).

Leçons 223, 226, 228, 229.

Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence. C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.

Erratum du livre \"L'oral à l'agrégation de mathématiques\" au 15/07/2021