250 - Transformation de Fourier. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan : I Transformation de Fourier 1 Dans L1 2 Dans S 3 Dans L2 II Applications 1 Equations différentielles (DEV : Schrödinger) 2 Principes d’incertitude (DEV : suédois) 3 Fonctions caractéristiques Défense : analogie (discret/continu) avec les séries de Fourier, introduites historiquement par Fourier pour résoudre la chaleur (il aurait pu faire en sorte qu’il fasse moins chaud pendant les oraux). L1 = cadre naturel, mais pas de stabilité. F échange régularité et décroissance donc S = stable + formule d’inversion, mais trop petit. L2 = prolongement depuis L1 inter L2 pour la définition, pas de formule intégrale, mais beaucoup de symétrie par le prolongement depuis S (\"isométrie\"). \"Il vous reste 15sec\" lorsque c’était le cas (il me restait une phrase à dire). Déroulement du développement : 1) Réduction au cas λ(A) < 1 : je suis allé un peu vite sur cette partie 2) On montre que ppt ξ dans R, $\hat{f}(\xi+k) \ e 0$ pour un nombre fini de k dans Z. J’ai utilisé le théorème de convergence monotone. J’ai dit que par une inégalité de type Markov, $\phi \in L^1(0,1) \implies |\phi|<+\infty$ p.p. dans $[0,1]$. 3) Formule sommatoire de Poisson. J’ai dit à l’oral que les ensembles étaient σ-finis pour pouvoir appliquer un théorème de Fubini. 4) Conclusion, j’ai affirmé que la mesure des zéros d’un polynôme trigonométrique non nul était nulle. Le jury m’a dit \"il vous reste 1min\" lorsque c’était le cas. J’ai fini à 15min15 environ. Questions sur le dév : Q1) Précisez la notation $L^1_1$ R1 : fonctions intégrables sur [0,1] et 1-périodiques. Q2) Expliquez l’argument \"inégalité de Markov\". R2 : On écrit $\{\phi=+\infty\}$ comme intersection des $\{\phi>n\}$ puis la continuité décroissante de la mesure pour conclure. J'ai bien précisé qu'on était sur un ensemble de mesure finie pour pouvoir appliquer la continuité décroissante. Q3) Réexpliquez la fin de votre développement (j’étais allé un peu vite, notamment je n’avais pas écrit ce que voulait dire Z(P) (les zéros de P sur [0, 1]), je ne l’avais dit qu’à l’oral). Q4) Où utilisez-vous que $\xi_0\in E$ ? R4 : Pour dire que P est bien un polynôme trigonométrique (nombre fini de coefficients non nuls). Q5) Vous utilisez le TCM dans la 2e partie. C’était pour faire varier les plaisirs ? R5 : On aurait pu aussi utiliser un théorème de Fubini, mais ici comme le TCM fonctionne et qu’il est plus \"simple\" (car demande moins d’outils pour sa preuve), j’ai plutôt utilisé le TCM. Il a pas trop aimé cette réponse je crois, mais on est passé à autre chose. Questions sur le plan : Q6) Comment montrer le lemme de Riemann-Lebesgue ? R6 : on utilise la densité de $C^1_c$ dans L1. C’est facile pour celles-ci car on peut juste faire une IPP. Q6.5) C’est facile comme résultat, la densité de $C^1_c$? R6.5 : Non. On commence par montrer la densité de $C^0_c$ , ça vient de la théorie de la mesure de Lebesgue. Puis on convole par une approximation de l’unité régulière, on aurait même pu prendre $C^{\infty}$ pour avoir la densité de $C^{\infty}_c$. Q6.75) Connaissez-vous une autre façon de montrer le lemme de Riemann-Lebesgue ? C’est pas grave si vous ne savez pas. R6.75 : J’ai répondu que je ne savais pas. Mais en effet je suis à peu près sûr qu’on peut utiliser la continuité (uniforme ?) des translations dans L1 (ou Lp), qui n’utilise que la densité de $C^0_c$ (à vérifier...) Q7) Pourquoi la transformée de Fourier de l'indicatrice de [a,b] n'est pas L1 ? (J’avais mis dans le plan que c’était égal au sinus cardinal (un peu modifié) et que ce n’était pas dans L1.) Vous pouvez supposer a=-1 et b=1 pour simplifier les calculs. R7 : (Cela revient à montrer que l’intégrale de Dirichlet n’est pas absolument convergente.) On utilise la périodicité du sinus et on se ramène à la divergence de la série harmonique. Q7.5) Pourquoi l’intégrale de 0 à A a un sens ? R7.5 : la fonction est continue donc localement intégrable, elle admet bien une limite en 0 (c’est 1). Q7.75) Y a-t-il une façon simple de calculer la transformée de Fourier du sinus cardinal ? R7.75 : Je dis qu’on a pas accès à la formule d’inversion L1. Je pense que c’est ce qu’ils attendaient. Q8) Que pensez-vous de $\int_0^{+\infty} \sin(x)/x dx$ ? (la même qu'avant sans les valeurs absolues) R8 : Je réponds que c’est l’intégrale de Dirichlet et qu’elle vaut π/2. Q8.5) Comment la calculer facilement avec ce qu’il y a dans votre plan ? R8.5 : Là je bloque. J’avais mis dans mon plan en corollaire de la formule de Fourier-Plancherel la valeur de $\int_0^{+\infty} \sin^2(x)/x^2 dx$. Je l’indique et je dis peut-être comme on sait que F transforme produit en produit de convolution on peut essayer quelque chose. Il me dit ça va être compliqué, servez-vous de cet exemple de façon élémentaire. Je dis peut-être avec une IPP, il est d’accord. Q9) (Plutôt un exo) Vous indiquez dans votre plan que la transformée de Fourier sur L1 dans $C_0$ est injective. Est-elle surjective ? R9 : Je réponds immédiatement que non, et que je sais qu’on peut le prouver avec le théorème d’isomorphisme de Banach. \"En effet on peut le faire comme ça, faites-le.\" Heureusement j’avais regardé vite fait le Li pendant la préparation. Déjà par théorème d’iso de Banach, comme L1 et C0 sont bien de Banach, si F était surjective, alors ce serait un iso. Il faut trouver une suite qui va contredire ceci, je me souvenais de laquelle poser. J'ai quand même pas mal galéré après et je n'ai pas eu le temps de finir l'exo.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux membres étaient très sympas mais ne sont intervenus que 2 fois chacun. Le dernier a été assez déstabilisant. Il était pointilleux sur des détails qui m'avaient l'air pas très importants (exemple j'avais écrit $\int_0^1 \phi$ et il voulait que j'écrive $\int_0^1 \phi(x)dx$), et a insisté tout au long de l'oral sur leur importance...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : - J'ai utilisé le théorème de convergence dominée à la fin, sans justifier (pas le temps) donc ils me demandent de le justifier. - J'ai utilisé le fait que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un contour fermé est nulle, mais sous la forme \"l'intégrale d'une fonction holomorphe d'un point A à un point B ne dépend pas du chemin choisi\", ils me demandent donc d'expliquer pourquoi c'est bien la même chose. - A-t-on une formule d'inversion pour les/des fonctions $L^1$ ? Je réponds que la formule d'inversion reste valable pour des fonctions $L^1$ dont la TF est aussi $L^1$. - Comment montre-t-on l'injectivité de la TF sur $L^1$ ? Je dis que c'est un peu comme la formule d'inversion, on rajoute un noyau gaussien quelque part et on fait tendre le paramètre vers 0. Ils me répondent qu'on peut faire plus simple avec ce qu'on vient de voir. J'explique donc comment faire à partir de la formule d'inversion (version $L^1$). Questions sur le plan : - Preuve de la formule d'échange (dans le cadre $L^1$). Quelle interprétation peut-on en donner ? Je dis que ça montre que la TF est auto-adjointe. Le membre du jury acquiesce, je dis que ce n'est pas exactement ça car ici on est dans $L^1$, il me dit qu'il y a aussi le problème de la conjugaison. Je réponds un truc faux (en gros \"la conjugaison ne pose pas de problème ici\") mais il ne relève pas et on passe à autre chose. - On a l'injectivité de la TF $L^1\to \mathcal C_0^0$ et sa continuité, montrez la continuité. Quelle est la question naturelle ensuite ? Je montre rapidement la continuité et dis que la question naturelle ensuite est la surjectivité (je suis content car je l'avais un peu regardée pendant la préparation même si ce n'est pas dans mon plan). Je dis qu'il faut procéder par l'absurde, utiliser le théorème d'isomorphisme de Banach et appliquer la continuité de l'inverse à la bonne suite de fonctions. J'avais écrit la suite de fonctions sur mon brouillon mais ils m'ont dit de ne pas regarder. J'ai essayé de mémoire mais j'ai pris la mauvaise suite, et ensuite on a passé un certain temps là-dessus car ils voulaient me faire faire les calculs pour que je voie que ça ne marchait pas. Exercice : Calculez $\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 \text{d}t$. Je dis qu'on peut utiliser la formule de Plancherel (car $\sinc$ est la TF d'une indicatrice) et commence à faire les calculs. Ils me demandent pourquoi ces calculs sont bien légitimes. Je réponds que pour le voir il vaut mieux partir de l'indicatrice et \"remonter\" les calculs, ce qui a l'air de les satisfaire. On repart sur une parenthèse théorique : - Pourquoi pouvez-vous écrire la formule de la TF avec une intégrale (définition $L^1$) alors qu'on est dans le cadre $L^2$ ? Je réponds que les deux coïncident sur $L^1\cap L^2$, et avant de le démontrer ils me demandent de préciser mon point de vue, mes notations sur la transformation de Fourier vue sur les différents espaces ($L^1$, Schwartz, $L^2$). Ensuite, je tente de démontrer le fait que les deux définitions coïncident mais c'est assez confus. On me demande si on a vraiment besoin de la densité de Schwartz dans $L^1\cap L^2$ pour le montrer. Je réponds que oui mais ils n'ont vraiment pas l'air convaincus. On retourne au calcul d'intégrale. Je galère sur les constantes, au bout d'un certain temps ils me donnent le résultat. Ils me demandent alors ce que vaut l'intégrale de 0 à $+\infty$ (la moitié, vu que l'intégrande est paire), puis ce que vaut $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}{t} \text{d}t$. Je n'ai pas vraiment d'idée, je parle de coordonnées polaires. Ils me disent de justifier que l'intégrale est bien définie. Je parle alors d'IPP et ils me disent d'en faire une (en dérivant $1/t$ on va avoir du $1/t^2$). Je fais les calculs mais dis qu'en primitivant $\sin$ en $\cos$ j'obtiens un facteur divergeant. Ils me demandent comment y remédier mais j'ai oublié l'astuce (prendre $\cos - 1$). Fin de l'oral.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt sympathique

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai été un peu surpris qu'on ne me laisse pas regarder mes brouillons

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Défense de plan : rien de spécial. Au début de mes 6 minutes j'ai écris au tableau : \"dérivation <-> multiplication ; convolution <-> multiplication\", en expliquant que la TF permet de transformer un problème de dérivation en problème de multiplication via la convolution, ce qui justifie son étude et motive la volonté de reconstruire f à partir de hat{f}. Ils ont apprécié (je crois). Contenu du plan : relativement classique, j'ai fait L1, Schwartz, L2, puis une partie \"résolution d'EDP\" contenant des résolutions explicites (type chaleur par exemple) et la méthode des différences finies (option B, attention c'est une TF discrète donc içi). Développement : Je suis allé trop vite donc j'ai brodé autour et j'ai au final fais 14 minutes. Ils ne m'en n'ont pas tenu rigueur. Je me contentais du cas simple (avec x^2) et 1D. J'ai tout de même expliqué comment passer au cas général comment généraliser en multi-D. Question sur le développement : - détailler la formule intégrale de Taylor. - question sur la détermination principale de la racine carrée, que se passe-t-il si on en prend une autre. même question pour la TF de la gaussienne. (il y a un changement de phase). - Que se passe-t-il si on suppose a intégrable et non C infini (notations du QueZui). (tout se passe bien par densité). Question sur le plan : - Comment calculer la TF de la gaussienne. - Définition de la décroissance rapide. - Preuve de si f et ˆf sont simultanément à support compact, alors f = 0. - Détail sur la convolution et les probabilités. - Pourquoi la TF est injective. - Détail sur l'application du développement à la fonction d'Airy. Exercices : - Trouver les $f \in \L^1$ telles que $f \star f = f$. - Soit $A >0$. On pose $E = \{ f \in L^\infty \cap L^1 \cap \mathcal{C}^\infty, \quad \mathrm{Supp} (\hat{f}) \subset B(0,A) \}$. Montrer que la dérivation de $E$ dans $E$ définit une opération continue. - Pour finir : calcul de $\chi_{[-1,1]} \star \chi_{[-1,1]}$.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très agréable, ils m'ont directement mis à l'aise. Ils semblaient en revanche totalement désintéressé lors du développement. Ils se partageaient bien la parole.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Comme dit par d'autres il faut être 100% au taquet sur ce qu'on met dans son plan car le jury pose des questions sur tout. Après être revenus sur des imprécisions de mon développement, ils m'ont demandé les grandes lignes de la démo que j'aurais faite pour mon 2ème développement. Pourquoi les gaussiennes sont des vecteurs propres pour la transf de Fourier. Un peu de Shannon car j'en avais parlé dans mon plan NB : 4 membres du jury pour la leçon agrég spécial docteurs

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très sympathique et aidant. 3 sur les 4 posaient pas mal de questions et donnaient des pistes si je bloquais

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Il faut être bien à l'heure de la convocation car la prép commence environ 3h20 avant le passage, on a donc eu réellement les 3h de préparation contrairement à ce qui s'était peut-être passé d'autres années. Bien connaître les livres qu'on utilise car en soi chercher dans la biblio de l'agrég ne sert à rien si on ne sait pas quel livre va nous fournir l'info (j'avais un trou sur un morceau de démonstration et sans le livre que je voulais c'était compliqué de retrouver dans un autre. Malgré tout j'ai eu le temps de bien écrire mon plan et revoir les principales démos durant la préparation, puis penser à mon intro et me concentrer pendant qu'ils font les photocopies. Au total j'ai apprécié l'expérience

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Un échange (très) détaillé sera disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Une petite erreur qui aurait pu être évité sur le développement ... Mais surtout deux gros points négatifs sur l’espace de Schwartz et la convolution. De plus il est écrit dans le rapport du jury :La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de L1. Quelques petites erreurs d’étourderies car je voulais répondre vite ... mais je me corrigeais rapidement.J’ai trouvé le jury plutôt \"fermé\" et pas vraiment sympathique, et dont un qui était très rabaissant ... On n’est pas là pour se faire des amis, mais quand même ...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces. On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini. Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi. On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)