DA à 3 termes des log itérés

On considère $u_0\in R_+^\ast$, et $u_{n+1}=\ln(u_n+1)$ pour $n\ge 0$. On veut trouver un développement asymptotique à 3 termes pour $(u_n)_n$. Plus précisément, on montre qu'il existe $C\in R$ tel que $u_n=\frac{2}{n}+\frac{2}{3}\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{C}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$. Un développement pas ultra intéressant mais pas débile non plus, qui possède un recasage qui, lui, est intéressant, notamment pour les leçons pas intéressantes du tout.