Suite des Arctan itérés
Il s'agit d'étudier la suite définie comme suit :\r$$\begin{cases}\ru_0 \in ]0;1]\\\r\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\text{Arctan}(u_n)\r\end{cases}$$\rOn montre rapidement qu'elle converge vers 0, puis on en détermine un équivalent et un développement asymptotique.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 224 | Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2025 |
| 5 | 226 | Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025 |
| 4 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
Ce développement a l'avantage de ne pas être le sempiternel \"sinus itérés\" qui épuise le jury... Son gros désavantage est d'être introuvable en tant que tel dans une référence... Par contre, le Bernis propose un développement concernant une \"méthode générale\" pour étudier une suite récurrente lorsque la fonction $f$ vérifie certaines conditions et possède un développement limité d'une certaine forme, ce qui est le cas de la fonction Arctan. Il s'agit donc juste d'appliquer cette méthode dans ce cadre particulier.
Le développement n'est donc pas très difficile une fois qu'on a bien compris la méthode (se concentrer sur l'heuristique : pourquoi calcule-t-on cela ? Analogie discret-continu...) mais est très calculatoire ! Il faut donc s'entraîner beaucoup de fois, et apprendre par cœur le résultat (qui finit par rentrer à force de le refaire)
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition - Julien Bernis, Laurent Bernis