Étude d'une suite de variables aléatoires suivants des lois de Poisson
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson $\lambda_n$. Alors :
1) Soit $Y_n=\prod_{i=1}^n X_i$, $p=\prod_{i=1}^\infty (1-e^{-\lambda_n})$. Alors $(Y_n)_n$ converge vers 0 avec une proba de 1-p. Converge vers $+\infty$ avec une proba de p. Exemples pour $\lambda_n=o(\ln(n))$ et $\lambda_n=2\ln(1+n)$
2) Si $\sum_k \lambda_n^k$ converge, alors $\overline{\lim}X_n = k-1$ ps. Application aux études des valeurs d'adhérences de $X_n$ si $\lambda_n=\frac{1}{n^\alpha}$, $\alpha >0$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications2026 |
| 5 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026 |
| 5 | 261 | Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications. 2026 |
| 5 | 262 | Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 264 | Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 266 | Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.2026 |
Utilisateur : NicoRoad2Agreg
Développement original que j'ai fabriqué en regroupant deux exercices du Kurtzman. Je justifie les recasages par :
Suites numériques : On utilise les lim sup des suites pour déterminer un ensemble de valeurs d'adhérences.
Séries numériques : On utilise à plusieurs reprises Borel Cantelli
Et en proba :
Loi : On travaille autour de la loi de Poisson
Convergence : Tout le dév porte sur la convergence de suites de variables aléatoires. On illustre l'importance de Borel Cantelli pour déterminer des convergences presques sûres.
Variables aléatoires discrètes : On n'étudie que des variables aléatoires discrètes
Indépendance : On utilise à plusieurs reprises le second lemme de Borel Cantelli, qui nécessite l'indépendance.
Je recommande ce développement rigolo :) '
Références :
De l'intégration aux probabilités - Garet, Kurtzman