149 - Déterminant. Exemples et applications. 2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Jury: 2 hommes , 1 femme. 6mins, j'ai dû finir en vitesse Dev proposés : critère sylvester (choisis) et distance à un sev et inégalité de Hadamard J'ai dû finir le dev en vitesse. Précision sur le DEV. (Oubli de dire que E=R^n) Q: Réexpliquer le sens direct (j'avais un peu cafouillé car j'ai mis une ligne qui servait qu'après) Q: Pourquoi intégrale de 0 à 1 de M(t) est strictement positive ? R: Car M(t) continue sur ]0,1[ et est strictement positif (par le critère de sylvester) Q: Écrire l'énoncé la loi d'inertie de Sylvester au tableau (je l'utilisait 2 fois dans le dev, j'avais pris la preuve du Rombaldi et l'application du Gourdon) R: je l'écris Q: Vous pouvez dire quoi sur le déterminant d'une forme quadratique R: (un peu hésitant) je dis que ça s'appelle dans ce cas la le discriminant, que c'est un invariant de congruence sur C ( C'est complètement faux d'ailleurs c'est le rang sur C). Qu'on a discriminant non nul <=> non dégénéré (def il me semble) et que j'en sais pas plus (elle insiste pas). Q: Un membre du jury me dit alors d'écrire la formule de changement de bases des formes quadratiques et oh miracles P est dans Gn(K) et pas On(K) donc pas même discriminant. Il me demande alors un lien dans des cas particulier de formes quadratiques. R: Si A congrue à B et A def pos, alors B aussi (pareil si def negative) Exo: Calcul d'un déterminant avec a sur la diagonale, et des 1 sur/sous la diagonale. R: je suppose d'abord que a inversible pour essayer un pivot de gauss pour échelonner la matrice pour pouvoir le calcul. Un membre du jury me dit que ducoup j'obtiens un a-1 sur la diagonale donc il faudrait à nouveau une hypothèse etc... Ils me disent alors qu'elles autres méthodes j'ai, je dis développer ligne/colonne car la matrice est presque diagonale. Je fais ça. J'obtiens une formule de récurrence pour le det. Ils me demandent ce que c'est comme relation, je dis suite vectorielle (n'importe quoi hein) ils me disent si je suis sur, je dis \"nan c'est une suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un) Ils me demandent alors la forme du déterminant. Je dis polynôme en a et qu'on a pas besoin d'hypothèse sur a (on aurait pu dire ça direct avec la formule du déterminant d'ailleurs mais bon) Question sur le plan. Q: ils demandent une idée de la preuve C-semblable pour des matrices réelles=> R-semblables. R: je pose P la matrice tq A=PBP^-1 Puis P=P1+iP2 la partie réelle et imaginaire, et P(t)=det(P1+tP2). Je montre que c'est un polynôme en t non nuls donc il existe un réelle tq blablabla. Puis je galère un peu à conclure à après avoir trouvé : P1A=P1B et P2A=P2B (mais je dis qu'on sait pas si P1/P2 inversible car c'est ce qu'on veut montrer) Ils passent à autre chose. Q: lien entre rang et déterminant ? (J'avais oublié de le mettre dans le plan) R: je l'écris au tableau : si rang r, il existe un mineur (pas forcément principal) non nul de taille r. Q: et c'est forcément un carré le mineur ? (elle voulait dire si c'était un carré complet) R:je sais pas (j'avais aucune idée) Q: propriété topologique du rang ducoup ? R: j'en s'avais rien mais je dis que je pense que ça va peut-être être un ouvert. En disant qu'on peut peut être montrer que l'ensemble des matrices de rang r, va être égal à du f^-1{R*} , avec f dépend du déterminant et R* car le mineur est non nul. (aucune idée si c'est vrai par contre) L'oral s'est terminé la.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury aidait quand j'avais pas d'idée. Même si c'était pas la bonne voie, ils encourageaient mes démarches

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La préparation est passé ultra vite et j'ai mis moins d'énoncés que prévu (par rapport à ma préparation) mais j'eu quand même du mal à rentrer dans les 3 pages (l'entête de la première page prend quand même pas mal de place donc prévoyez 2/3 d'une colonne en moins je pense)

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'étais très satisfait de mon plan, basé majoritairement sur… Berhuy (!! bien content de l'avoir amené, malgré son poids) : I — Déterminants : définitions a. Déterminant d'une famille de vecteurs b. Déterminant d'un endomorphisme c. Déterminant de matrices -> avec l'interprétation géométrique (cf. BMP) et un dessin en annexe (cf. annexe graphique du plan d'EWna!) II — Calcul explicite de déterminants a. Mineurs et cofacteurs b. Pivot de Gauss c. Cas pratiques (déterminant par blocs, matrice circulante) III — Applications a. Polynôme caractéristique b. Résultant 42 items en tout, qui m'ont rempli les trois pages. J'ai fait un (je trouve) bon oral, une intro sympa et fluide. Le dev s'est presque bien passé. Presque… Questions : - J'ai passé un mauvais quart d'heure sur une phrase innocente dans le dev Bézout faible, mais qui ne l'est pas : « Si $(x,y)$ est un zéro commun de $P$ et $Q$, alors $x$ est l'une des racines de $Res_Y(P,Q)$, $y$ est l'une des racines de $Res_X(P,Q)$. » [cf. Foissy, Ninet] Non seulement je m'étais perdu dans mes notations au tableau, puis j'avais confondu (et j'ai longtemps confondu $Res_Y$ et $Res_X$)… et surtout je n'avais pas cette proposition dans mon plan, donc il m'a demandé de la redémontrer à partir de mon plan, ce que je ne savais pas faire. C'est la Proposition 7.2.2 dans Fleury 2nde édition : mettez la dans votre plan ! Elle est pas difficile à démontrer mais elle est technique et utilise la représentation du résultant via l'isomorphisme avec les coefficients de Bézout [cf. von zur Gathen, Gerhard], bref… Visiblement la seule femme du jury n'était pas au point avec le résultant, j'entendais le jury qui discutait technique derrière moi. Après quinze minutes de tentatives, ils passent à autre chose en disant « <i>C'est un point technique.</i> » - Dans mon intro j'avais dit que le calcul du déterminant par la formule explicite était en complexité « exponentielle » (alors que j'ai écrit $O((n+1)!$) opérations). Ils m'ont demandé de redétailler ces calculs, puis m'ont demandé si j'étais sûr avec mon « exponentielle ». J'ai dit oui, ils m'ont demandé de comparer la factorielle et l'exponentielle, j'ai commencé à dire que factorielle était inférieur à l'exponentielle, puis pour me ressaisir j'ai fait un graphe qui m'a corrigé. « <i>Et mathématiquement, vous le prouvez comment ?</i> » J'ai écrit n! / e^n, je veux prouver que ça tend vers +inf, ils m'ont demandé « <i>quel outil de L1 utiliser ?!</i> » je ne savais pas, j'ai dit qu'on devait utiliser la formule de Stirling, mais que je ne la connaissais pas (« <i>Y a du e, du n, du 2pi, une racine carrée… mais je ne saurai pas la retrouver</i> ») super - Comment montrer que det(M) = det($^t m$) ? -> via la formule explicite, et le changement de variable j <- sigma(j) qui est bien valide car on somme sur tous les j donc on ne change pas le det avec une permutation des j - Dans mon plan j'avais mis en exemple « Les symétries sont diagonalisables ». Comment faire via le déterminant (et le polynôme caractéristique) ? Alors là je dis qu'une symétrie vérifie s² = Id, donc s annule X² - 1, puis je me perds en disant (mais quoi, Id != 1, donc pourquoi!?) et ce sont eux qui me rappellent que quand on étudie un polynôme d'endomorphisme, le coefficient constant est mis en face de Id… bref super [j'ai l'impression que je me suis beaucoup auto-saboté durant mon oral] Mais comment utiliser le déterminant ? On me demande alors la définition géométrique d'une symétrie, je donne celle d'une symétrie… orthogonale ! Mais dans le cas d'un espace pas nécessairement euclidien ? Eh bien je redécouvre, avec l'aide du jury, le concept de symétrie par rapport à un sev, parallèlement à un autre… Bon, j'avais fait des dessins, donc j'espère qu'ils notent la tentative de recherche. Après toutes ces élucubrations, je dis que matriciellement en prenant des bases de V et W, alors la matrice admet des 1 sur le sev V, -1 sur le sev W, donc voilà. - Exo : soit u,v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, v nilpotent, uv = vu. Montrez que det(u+v) = det(u). D'abord j'ai commencé avec Dunford sur u + v mais u, v ne sont pas des polynômes en u donc c'est pas nécessairement ça. Ils me disent que commencer avec un exemple, je pars sur les homothéties, pour lesquelles det(u+v) = det(λid + v) ie. le polynôme caractéristique de -v évalué en λ, or -v est nilpotent car v l'est, donc son polynôme caractéristique est X^n, d'où det(u+v) = λ^n. Le temps était écoulé. (ils m'ont dit qu'ensuite j'aurais dû prendre un inversible, puis après généraliser ça par densité)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Trois personnes (2 hommes, une femme). Neutre, aucun sourire contrairement aux deux précédents jurys. Ils m'ont posé des questions, j'ai répondu ou non, l'oral s'est conclu. La personne qui m'a posé la question était quand même intéressée que je demande comment finir l'exercice.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai fait : 45 minutes pour réécrire les titres et sous-parties de mon plan, puis les deux devs (dont suites de polygônes que j'avais dû connaitre par cœur car Isenmann-Pécatte était interdit cette année-là), puis 1 h 45 sur le plan, 10 minutes à faire des dessins en annexe. J'ai passé les dernières minutes à me reposer (pour éviter d'avoir un coup de barre comme le 1er jour), préparer mon intro, et surtout relire la preuve du fait que les formes n-linéaires alternées forment un espace vectoriel de dimension 1, car j'avais peur que le jury m'interroge dessus.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions autour du développement, sur des passages où j'ai été un peu rapide en laissant les calculs de côté. Et une petite bêtise que j'avais écrit dans un des lemmes du développement et dont la preuve (bonne) ne correspondait pas à ce que je voulais montrer. Pas trop de questions sur le plan, plutôt des exercices. Un développement de déterminant, une application sur Mn(Z), applications dans le plan R2 et applications en lien avec le développement.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était globalement sympathique, il aidait si besoin et pas du tout cassant. Il faut dire que c'était durant la semaine de la canicule et que les épreuves étaient éprouvantes pour tout le monde.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprise particulière dans le déroulement. Attention 3h c'est très court, même si je connaissais mon plan et mes développements, on a peu de temps pour tout écrire. Mon objectif était d'obtenir la moyenne, en ce sens, maîtriser son plan son développement et répondre à quelques questions m'ont assuré du résultat.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Montrer det(fog)=det(f)det(g) Sur quels corps det est continue? Donner un exemple où l'on a exactement dd' points dans le théorème de bezout ( P= (x-x_1)...(x-x_d) et Q=(Y-y_1)...(Y-y_d') ) GLn(R) est il connexe par arcs, puis montrer que non. Et Gln(C) , avec une idée d'une demo.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aide

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.