Caractérisation d'un élément algébrique, structure des nombres algébriques et résultant

<b>Version adaptée pour la leçon 125, 141, 144 et 148</b> On montre le théorème de la base télescopique : <b> Théorème. (de la base télescopique).-</b> Soient $K\subseteq L\subseteq M$ une tour de corps. Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel et $(f_j)_{j\in J}$ base de $M$ en tant que $L$-espace vectoriel. Alors $(e_if_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M$ en tant que $K$-espace vectoriel. De plus si $[L:K]<+\infty$ et $[M:L]<+\infty$ alors $[M:K]=[M:L][L:K]$. Puis la caractérisation d'un élément algébrique : <b>Théorème.-</b> Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. Soit $\alpha\in L$. On a équivalence entre : (i) $\alpha$ est algébrique sur $K$ (ii) $K[a]=K(a)$ (iii) $[K[a]:K]<+\infty$. On montre finalement : <b>Théorème.-</b> Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$. <b>Version adaptée pour la leçon 127, 141, 144 et 149 (ou encore 148)</b> On montre les deux lemmes : <b> Lemme.-</b> Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(P(X-Y),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda+\mu$ <b> Lemme.-</b> Si $\alpha$, $\beta\in L$ sont deux nombres algébriques sur $K$, annulés respectivement par les polynômes unitaires $P$ et $Q$ de degré $n\geq 1$ et $m\geq 1$ dans $K[X]$ alors le résultant : $R(X)=\mathrm{Res}_{K(X)}(Y^nP(\frac{X}{Y}),Q(Y))$ est un polynôme unitaire de degré $nm$ dans $K[X]$ qui annule $\lambda\mu$ <b> Conséquence.-</b> Soient $K$ un corps et $L$ une extension de corps de $K$. L'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est une sous-$K$-algèbre de $L$.